频率抽样设计法.doc

1、第 7 章 FIR 数字滤波器的设计方法 IIR 数字滤波器最大缺点：不易做成线性相位，而现代图像、语声、数 据通信对线性相位的要求是普遍的。正是此原因，使得具有线性相位的 FIR 数字滤波器得到大力发展和广泛应用。 1 线性相位 FIR 数字滤波器的特点 FIR DF 的系统函数无分母，为 ，系统频 1010)()(NnniizhzbH 率响应可写成： ，令 ，H(w)称 10)()(Nnjwnjwehe)(jwe)(wjeH 为幅度函数， 称为相位函数。这与模和幅角的表示法有所不同， H(w)为可正可负的实数，这是为了表达上的方便。如某系统频率响应 ，如果采用模和幅角的表示法， 的变号相当

2、)(jweHwje34sin w4sin 于在相位上加上 ，从而造成相位曲线的不连贯和表达不方)1(j因 便，而用 这种方式则连贯而方便。)(wje 线性相位的 FIR 滤波器是指其相位函数 满足线性方程：)(w （ 是常数）)(, 根据群时延的定义，式中 表示系统群时延， 表示附加相移。线性相位 的 FIR 系统都具有恒群时延特性，因为 为常数，但只有 0 的 FIR 系 统采具有恒相时延特性。 问题：并非所有的 FIR 系统都是线性相位的，只有当它满足一定条件时才 具有线性相位。那么应满足什么样的条件？从例题入手。 例题：令 h(n)为 FIR 数字滤波器的单位抽样相应。 时 h(n)Nn

3、或0 =0，并假设 h(n)为实数。 （a） 这个滤波器的频率响应可表示为 （这是按幅)()(wjjweHe 度函数和相位函数来表示的，不是用模和相角的形式） ， 为实数。 （N 要分奇偶来讨论） （1） 当 h(n)满足条件 时，求 和 （)1()nNhn)( ）w0 （2） 当 h(n)满足条件 时，求 和 （)() )(wH ） （b） 用 表示 h(n)的 N 点 DFT)(kH （1） 若 h(n)满足 ，证明 H(0)=0；)1(nhn （2） 若 N 为偶数，证明当 时，H(N/2)=0。 解：（a） 10)()(njwnjweheH （1） ，当 N 为奇数时，h )1(1)1

4、(0 )()( Njwjwjwjwjw eheehe 2 1230)1( )()( NjwNnnNjwjn ee 21)21(230 )21()21( ) NjwNjwNn nNjwNnjw eheeh )( )()(cos) 230)1(Hehwjnj 其中幅度函数： )(wH 230 )21()(cos)(Nn Nhnwh 得到 1n令 得)( )21(cos)21(12 hnNnhn n令 到 )(wH21021 cos)()(cos)( NnNn wnhhnh ， ， 210)(Nnwa)21()(Nha 。2 1,1),21()( NNhna 所以 ，得出 ，jweH0cos)(nw

5、ja)(wH210cos)(Nna 。得出第一类 FIR DF 的特点：N21)( 恒相时延，相位曲线是过原点的曲线； 可通过 h(n)灵活设计幅度函数的零点位置； 幅度函数对频率轴零点偶对称 ，对 点偶对称)()wH 。)2()wH （1） ，当 N 为偶数时，1nhn)(jwe20)1()(Nnnjwjne 120)( )21(cos(NnjwNnwhe )(Hj 其中 )( 120120 21)(cos)()(cos)(NnNn wnhnwh 得到 令 H ， 2121 )21(cos)()(cos)(NnNn nwbwh 所以 ，得出)(jeH21)()(nNj )(H ， 。 21)

6、2(cos)(NnwbwN21)( 第二类 FIR DF 的特点： 恒相时延，相位曲线是过原点的直线； 幅度函数对频率轴零点偶对称 ；)()H 幅度函数对频率轴 点奇对称 。由 的连2w)( 续性， 点一定是幅度函数的零点。即 时， 在 z=-1 处有零点；因此这)(0)()21(cos znw 类滤波器不适合高通或带阻滤波器。 （2） ，当 N 为奇数时)()h 推导省略，结果是 ，)(wH21sin)(Nnc)21()nhc 。wNw21)( 第三类 FIR DF 的特点： 恒群时延，有 附加相移，相位曲线是截距为 、斜率为 的221N 直线； 幅度函数对零频点奇对称 ，零频是 的零点；)

7、()(wH)( 对 奇对称 ， 也是 的零点。2)(wH （2） ，当 N 为偶数时1)(nhn 推导省略，结果是 ，)(w21)2(si)Nnd)2(nNhd 。w 第四类 FIR DF 的特点： 恒群时延，有 附加相移，相位曲线是截距为 、斜率为 的2221 直线； 幅度函数对零频点奇对称 ，零频是 的零点；)()(wH)( 对 偶对称 。2)(wH （b） kNjek|)( （1） ，当 ，不论 N 为奇数还是0|)0wj )1()nhn 偶数， 中都含有 项， ，所以 。(jeH(si0|wjeH0)(H （2） ，N 为偶数)1)hn ，)(jwe21)21(cos)(nwj Nnh

8、 ，因为（ ）是 的奇数倍，因此wjeHN|)()2/( 21Nn 0，即 。1cosn0)/( 问题：FIR DF 线性相位的条件是什么？ 总结四种 FIR DF 的特点： 当 h(n)为实数且偶对称时，FIR DF 为恒相时延，相位曲线是一条过原 点、以 为斜率的直线。信号通过这类滤波器后，各种频率分21N 量的时延都是 。当 N 为奇数时，时延 是整数，是采样间21N 隔的整数倍，采样点时延后仍是采样点。但当 N 为偶数时，时延 不是整数，采样点时延后就不在采样点位置上了，这在某些应21 用场合会带来一些意外的问题。同时，N 为偶数时， 点是幅度的零 点，不能做高通、带阻滤波器。一般情况

9、下，第一类 FIR DF 特别适 合做各种滤波器。 当 h(n)为实数且奇对称时，FIR DF 仅是恒群时延。相位曲线是一条截 距为 2，以 为斜率的直线。信号通过该滤波器产生的时延1 也是 个采样周期，但另外对所有频率分量均有一个附加的 90 度N 的相移。单边带调制及正交调制正需要这种特性。因此这种滤波器特 别适合做希尔伯特滤波器以及微分器。 FIR 滤波器的极点都在原点上，而 h(n)是因果稳定的有限长序列，因此 H(z)在 有限 z 平面上是稳定的。线性相位 FIR DF 的零点有自己的特点：它们必定 是互为倒数的共轭对。证明如下： （线性相位）)1()nNhn （z 变换的性质）)(

10、)(1)(HzN 如果 是一个零点，代入上式有i 0)()(1)(iNii zz0i ，则 也是零点。0)(1izH必 有 1iz 因为零极点总是成共轭对出现（有理分式特性） ， 所以 ， 也是零点。*i*1)(i 所以 ， ， ， 都是零点。izii*1)(iz 2 窗函数设计法 因为 ，对 FIR 系统而言，冲击响应就是系统函数的系 10)()(NnnzhzH 数。因此设计 FIR 滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的一段 冲击响应作为 H(z)的系数，冲击响应长度 N 就是系统函数 H(z)的阶数。只 要 N 足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。一般这种时域设计、 频域检

11、验的方法要反复几个回合才能成功。 2.1 设计原理 设计目标：设计一个线性相位的 FIR DF； 已知条件：要求的理想频率响应 。)(jwdeH 是 w 的周期函数，周期为 ，可以展开成傅氏级数 )(jdeH2)(jwdeH ，其中 是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。 njndh)(hd 但不能用来作为设计 FIR DF 用的 h(n)，因为 一般都是无限长、非因)(nhd 果的，物理上无法实现。 分析：为了设计出频响类似于理想频响的滤波器，可以考虑用 h(n)来近似 。)(nhd 窗函数的基本思想：先选取一个理想滤波器（它的单位抽样响应是非因果、 无限长的） ，再截取（或加窗）它的单位

12、抽样响应得到线性相位因果 FIR 滤 波器。这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器。 例 1：设截止频率为 的理想 FIR 低通滤波器，其理想频响是cw ，其中 称为采样延)(jdeHwcj,01 时。对应的 由下式求出：nhd 注意： 关于 对称，这对设计线性相位的 FIR DF 很重要。)(nhd 为了从 中得到 FIR 滤波器，可以对 进行截取，如果要得到)(nhd 一个线性相位、因果的 FIR 滤波器，则设截取后得到的 h(n)的长度为 M，h(n) 一定满足 这种操作称为“加窗” 。h(n)可看作是 和 的乘积)(nhdw)()(wnhd 其中 根据 的不同定义，可得到不同

13、的窗函数。在上例中)(nw 称为矩形窗。 在频域中，因果 FIR 滤波器响应 由 和窗响应)(jweH)(jwd 的周期卷积得到。即 。矩形窗的窗)(jweWj jjeW 谱 )(j ，它的幅度2 110 )/sin( NjwjwNNnjwnjwN eeeR 函数为 。当 很小时，)2/si()(MW ，这是一个 函数，每隔/)in/inwNwsinc 正负交替一次。N/2 由卷积定义得到 )(jeHdeWwjjd)()21 ccccwNj Njj dWee)(212/)sin(21)(21 卷积结果如图 7-8 所示。 比较加矩形窗后的低通频谱和理想低通频谱可得到以下结论： 加窗使过渡带变宽

14、，过渡带的带宽取决于窗谱的主瓣宽度。矩形窗情 况下的过渡带宽是 。N 越大，过渡带越窄、越陡；/4 过渡带两旁产生肩峰，肩峰的两侧形成起伏振荡。肩峰幅度取决于窗 谱主瓣和旁瓣面积之比。矩形窗情况下是 8.95，与 N 无关。 工程上习惯用相对衰耗来描述滤波器，相对衰耗定义为 )0(/lg20)(/)(lg20)( HweHwAjjw 这样两个肩峰点的相对衰耗分别是 0.74dB 和-21dB。其中（-0.0895）对应 的点的值定义为阻带最小衰耗。 以上的分析可见，滤波器的各种重要指标都是由窗函数决定，因此改进 滤波器的关键在于改进窗函数。 窗函数谱的两个最重要的指标是：主瓣宽度和旁瓣峰值衰耗

15、。旁瓣峰值 衰耗定义为： 旁瓣峰值衰耗20lg(第一旁瓣峰值主瓣峰值) 为了改善滤波器的性能，需使窗函数谱满足： 主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带； 第一副瓣面积相对主瓣面积尽可能小，即能量尽可能集中在主瓣，外 泄少，使设计出来的滤波器的肩峰和余振小。 但上面两个条件是相互矛盾的，实际应用中，折衷处理，兼顾各项指标。 2.2 几种常用的窗口函数 1 矩形窗 )()(nRwN 2 三角窗 12120)( NnNn 它是由两个长度为 N2 的矩形窗进行线性卷积而得到。 3 汉宁（hanning ）窗，也称升余弦窗 101cos)(nnw 它的思路是：通过矩形窗谱的合理叠加减小旁瓣面

16、积。上式可写成 )(21)(21)( 12nRenRwNjNnjN 对应的频谱为 )(25.0)(5.0)(5.0)( 1212NwjRNwjRjwRjw eWeeWe 式中 是矩形窗谱。当 N 较大时， 近似等于 ，这样jR 1 可看作是三个不同位置矩形窗谱的叠加。叠加付出的代价是主瓣)(jwe 增宽一倍，得到的好处是旁瓣峰值衰耗由-13dB 增加到-31dB。 4 海明（hamming ）窗 10)12cos(46.05.)( Nnn 海明窗是海宁窗的修正，系数稍作变动使叠加后效果更好。 5 布莱克曼（Blackman）窗 10)14cos(8.)cs(.2.)( nw 是 5 个矩形窗谱

17、的叠加。 6 凯塞（Kaiser）窗 0)(/)1()( 020 NnINnIn 相关参数见书上的表。 2.3 窗口法的设计步骤和实例 窗口法的基本思想：根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器长度 N 和窗函数 ，使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣。)(nw 窗口法的设计步骤： 给定理想频响函数 ；)(jwdeH 根据指标选择窗函数。确定窗函数类型的主要依据是过度带宽和阻带 最小衰耗的指标； 由 求 ，加窗得)(jwde(nhd )()(nwhnd 检验。由 求 ，求 是否在误差容限之内。)(nh)jweH)(jwe 例 1：书上 354例 7-1 例 2：用窗口法设计一个满足下列指标的线性相位

18、低通 FIR 滤波器： （通带波动） （ 为通带截止频率）dBRwpp25.0,.p （阻带最小衰减）Ass3 解：海明窗和布莱克曼窗均可提供大于 50dB 的衰减。选择海明窗，因为 过渡带窄些，从而具有较小的阶数。 （1） 给定理想频响 )(jwdeH 设 ，根据已知的条件可近似出 eccjjwd,0)( 。25./spc 因此 ，要使设计的 FIR 滤波器为线性相位，)(in)(whcd 则 为 。21N （2） 确定窗的形状，根据过渡带宽确定 N 选择海明窗，其阻带最小衰减为-53dB。所要求的过渡带宽 。海明窗过渡带宽满足 ，得出 66。1.0psww6.N 32.52N （3） 确定

19、 FIR 滤波器的 h(n) )(652cos(4.05.).32(.0sin)()( nRhn Nd 时域和频域的图形如下： 2.4 线性相位 FIR 高通、带通、带阻滤波器的设 计 P355359 自学 3. 频率抽样设计法 总结窗函数法： （1） 从时域角度出发，用 来近似 ，从而 逼近)(nh)(d)(jweH 。)(jwdeH （2） 有限长， 无限长，存在截取，用什么样的窗来截取会nh)(d 有不同的过渡带、阻带最小衰减。相对而言，三角形窗、海明窗、 汉宁窗效果比矩形窗好，因为它们在边缘处不是陡然下降的。 目的：设计 FIR DF，只要能求出 或 或 即可。注意：所)(jweH(z

20、)nh 设计的滤波器的两个重要指标：过渡带带宽和阻带最小衰减。 已知：理想 DF 特性 。)(jwd 思路：(a) (窗函数法)(jdeHnh(jwe (b) (频率抽样法)jw)kd)Hj 步骤： （1） ；给定理想频响)(|)(2edNkwjd )(jwde （2）令 ， 为实际 FIR DF 的 的抽样值，即Hj ，k=0，1，N-1 （确定采样)(k)(dNkwjde2|)( 点数，对理想频响采样得 H(k)） ； （3） 已知 求 或 ，用内插公式得到 FIR 系统函数)(z)(jH 根据 IDFT 有 ， 10NknkWnh 对于 FIR 系统，有 ，结合两式得： 10)()(nn

21、zhz （） 101)(NkkzHzH 从上式可看出：当采样点数 N 已知后， 便是常数，只要采样值NW 确定，则系统函数 就可确定，要求的 FIR 滤波器就设计出来)(k)(z 了。上式形式的 FIR 滤波器很容易以频率采样型结构实现。 频率采样法的步骤可归纳为： （1） 给定理想频响 ；)(jwdeH （2） 确定采样点数，对理想频响采样得 ；)(kH （3） 代入（）式中，即得 FIR 系统函数。 下面讨论频率采样法设计出来的 FIR DF 的性能。 3.1 线性相位 FIR DF 的约束条件 若 ，其中 、 分别是对幅)(2|)()( kjkNwjdeHekHk)( 度函数 和相位函数

22、 的第 个抽样。 因为 是实数，所以 一定满足共轭偶对称式（3-59）：)(nh)(k （1）)()(NkHk 又因为线性性， 满足对称性，所以对一般滤波用的第 1、2 类 FIR 滤nh 波器，必须满足条件： （2）NkwkN)(|21)(2 对于正交网络、微分器（第 3、4 类 FIR 滤波器，必须满足条件： （3）kkkNw)1(2|)( 综合以上条件，只有当 满足式（1） ， 满足式（2） 、 （3）之一时，)(H)( 才有线性相位。如果理想频响 给得不好或采样点位置安排得不恰)jwde 当，都将得不到线性相位。只有当 满足上面的约束条件时，对(j 0， 区间上抽取一半频率样点，而其余

23、的一半根据约束条件强行推出。 3.2 FIR DF 的频率响应 根据设计出来的 ，可得出频响)(zH jwe10/2)(NkjwNkjjwe 10 )21()(21sin)(Nk NkjH 10)(Nkkw 其中： 。上式是由)2(w)21()2(1sin Nkwje 离散谱求连续谱的内插公式， 是内插函数，它的图形近似 sinc.。) 滤波器频谱 等于以理想谱抽样值 为权值的、以 为中心)(jweH)(kHkN2 位置的 N 个 sinc.函数之和。由采样点恢复出来的谱 与理想谱)(jwe 相比，在采样点上是完全吻合的，这是由 sinc.函数特点决定的，)(jwde 它在 （ ）处的幅度都是

24、零，一个样点扥诶插函数对其它样点的k20 值没有任何干扰。但在两样点之间， 的值是各样点的内插函数在)(jweH 该处值的叠加，与 相比可能有误差。采样点之间频谱误差的大小)(jwde 与样点的疏密有关，更与相邻两个样点值变化的大小有关。理想频谱曲线 越光滑平坦，样值变化越小，则误差越小；采样点越密，相当于相邻样值 的变化越小，误差越小。如果理想频响曲线变化剧烈，甚至有不连续点， 则内插所恢复的值与理想值的误差就很大，在不连续点旁边就会出现由 sinc.函数造成的肩峰和振荡，这和窗口法是一样的。 3.3 改善滤波器性能的措施 如果给出的理想低通滤波器在通带的频谱 等于 1 而阻带为)(jwde

25、H 0，则不论样点 N 取得如何密，在临界频率处总有两个幅度突变的样点， 它们之间的落差为 1。于是阻带边缘产生反冲和阻尼振荡，其最大幅度取 决于 sinc.函数，是个固定的值。这样设计出来的滤波器的阻带最小衰耗 固定为-20dB，与矩形窗一样。 增加采样点数 N 不能改善阻带最小衰耗。改善阻带衰耗的唯一办法是 加宽过渡带。具体方法是：在通、阻带交界处人为地安排一到几个过 渡点，其值介于零和 1 之间，这样可减小样点间的落差，使过渡平缓， 反冲减小，阻带最小衰耗增大。经验表明：每多加一个过渡点，过渡 带宽增加 ，最优情况下阻带衰耗可增大 2030dB。/2 兼顾过渡带宽和阻带最小衰减。增加采样

26、点，同时在通、阻带交界处 安排过渡点。 频率采样法特别适用于设计窄带选频滤波器。 （回顾窄带选频滤波器的 特点）因为这时只有少数几个非零值的 ，计算量大为降低。但)(kH 由于频率抽样点的分布必须符合一定规律，在规定通、阻带截止频率 方面不够灵活。比如当截止频率 不是 整数倍时会产生较大cwN/2 逼近误差，因而该方法的应用不及窗口法普遍。 其中： （画出在单位1,.),(0,)()*/2kHekHNkj 圆上的采样可知） )(jwe10)2()Nk （P113)2()21()2(1sin Nkwje 式 3-93，3-95 ） 得 ，式中)(jweH1012 )2(sin)(Nk kNjwj

27、 kwe 只与相位有关， 与幅度有关。下面画kNjwje 12 )(21sikN 出 的图形。因为对 k 求和，所以共有 N 项 ，分别)2(1sinkNw sin() 为： ， ， 。 。 。 ， 。21sin)2(siNw)1(21sinNw 在 点上，只有一个抽样值，即在抽样点上， 在 上kN )(jeHk 就等于 ，在两个抽样点的频率之间的值为各抽样函数的加权值。)(H 对 的一个周期进行抽样，抽样点间间隔为 ，因为具有对称性，jwde N2 所以考虑半个周期 即可。0 结论：用 ， 在)(jd)(kd)(H)(jwe)(jH 上与 在 上一样，在其他 值处的值是 N 个kN2jweN

28、2 抽样函数的加权叠加而成。 线性相位：（只要是 FIR DF，就容易设计成相位线性） 对于线性相位滤波器，有 1,.0),1() nhn 其中正号对应 1 型 2 型，负号对应 3 型 4 型滤波器。这样 可表示成)(kH )(kH)(kHjreN （1） 为奇数，则Nnhn),1() ，其中 关于 对称，即 jweHwje2)(Hw)(wH ，令 时有)2(k jwe kkjjNj e)()(2 )(H kNkHNHkk )(2)2()( （2） 为偶数，则 Nnhn),1()(w)(kNkH 最后可计算 。从而得出 H(z)或 。也可以根据)()(kIDFT)(jweH 对称性对内插公式

29、进行化简得出 H(z)或 的计算公式。如书上（7-)(jw 111）式和（7-112）式。 频率抽样设计法的基本思想：给定理想滤波器 ，先选择滤波器长)(jde 度 N，然后对 在 0 到 2 上的 N 个等间隔频率上采样，根据式子 )(jwdeH ，通过对样本 的内插，得到)(jwe10/2)(Nkjwkjj e )(kH 实际响应 。脉冲响应 h(n)可根据 得出。如图j )(IDFTnh 所示： 图：频率采样技术图解 从上图可以看出： 在采样频率上的逼近误差为零，即在采样点上，理想滤波器和实际滤 波器的相应幅度值一样； 其余频率上的逼近误差取决于理想响应的形状：理想响应的轮廓越陡， 则逼

30、近误差越大； 靠近带的边缘的误差越大，在带内的误差越小。 例 1：用频率抽样设计法设计一个满足下列指标的线性相位低通 FIR 滤波 器： （通带波动） （ 为通带截止频率）dBRwpp25.0,.pw （阻带最小衰减）Ass3 解：选择抽样点数为 N=20。则在 、 处分别有一个抽样样本，对应ps 的 。即 ， 。,2k20.pw320.sw 因此在通带 上有 3 个样本点，在阻带 上0 ws 有 7 个样本点。因为 N=20， ，这是一个 2 型线性相位滤5.921N 波器。 例 2：设计一个线性相位 FIR 数字低通滤波器， .0c （1） 取 N33，不加过渡点； （2） 取 N33，加

31、一个过渡点； （3） 取 N65，加二个过渡点。 解：（1）采样频率间隔为 ， 的位置在3/2/cw ，即 和 之间，其对称点位置是 ，25.8)3/(5.08k9)(kN 即 和 之间。对理想低通采样，可得49k25)3( 和,01kHk 160,32)()(kN 利用共轭对称性，可得 点的采样值。以上数据可综合成7325,4908,)(3232kekHkjkj 代入式 中，可得 。见图。)(jwe10)()Nk )(jweH （2）加一个过渡点 325,4.01,9,5.80)(32332kekekHkjjjkj 代入计算 的式中，可得 。见图。)(jwe)(jw （3）取 N65 点，

32、应在 ，即 和c .16/.016k 之间，其对称点为 48、49。17k 3219,018,65.780,)(4654kekkHjjj 以上列出一半点，另一半点模相等，幅角相反。代入计算 的式中，)(jweH 可得 。见图。)(jweH 三种情况下过渡带宽分别为： 最小阻带衰耗分别为：,6583,4 20dB，40dB ，60dB 。滤波器阶数分别为：33 阶，33 阶，65 阶。 结论：由此例可见，同时采取增大 N 和增多过渡点是有效的。 例 3：用频率抽样法设计一个理想带通滤波器，其通带频率为 500-600Hz， 采样频率是 ，频域采样点数 N 为 33。Hzfs30 解：先计算通带的数字频率和序号： 3120/62/ 521ssfw 频率样点间隔是 ，所以通带的样点序号 是 至3k5)/(1w ，其对称点位置是 。6)2/(28,7 比较 IIR 和 FIR 的优缺点： IIR：1）可利用成熟的 AF 理论； 2）相同的指标下，实现采用的滤波器的阶次较低 3）要么有混叠现象（使幅度特性难于满足要求） ，要么有相位的非线 性（在现代数字系统中，数据传输、图像处理等都要求线性相位） FIR：1）幅度特性可以随意设计； 2）可有严格的线性相位特性； 3）h(n)为有限长，不存在稳定性问题； 4）可借助 FFT 来实现； 5）实现采用的滤波器的阶次较高，因为多采用非递归结构。