1、第五章第五章 时间序列时间序列 趋势预测法趋势预测法 2 内容提要 v 第一节 时间序列趋势预测法概述 v 第二节 简易平均法 v 第三节 移动平均法 v 第四节 指数平滑法 v 第五节 趋势 外推 法 v 第六节 季节指数法 第一节 时间序列趋势预 测法概述 4 一、 基本概念 1、时间序列 b 时间序列是指某种经济统计指标的数值， 按时间先后顺序排列起来的数列。 b 时间序列是时间 t的函数，若用 Y表示，则 有： b Y=Y（ t）。 b 时间序列按其指标不同，可分为绝对数时间序 列、相对数时间序列和平均数时间序列三种。 b 绝对数时间序列是基本序列。可分为时期序列 和时点序列两种。 b
2、 时期序列是指由反映某种社会经济现象在一段 时期内发展过程的总量指标所构成的序列。如 各个年度的国民生产总值。 b 时点序列是指由反映某种社会经济现象在一定 时点上的发展状况的指标所构成的序列。如各 个年末的人口总数。 2、时间序列分析预测法 是将预测目标的历史数据按照时间的顺序 排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化 趋势，外推预测目标的未来值。 时间序列数据原则 A、 数据完整性 B、 数据可比性 C、 数据一致性 应用时间序列趋势预测法的前提假设 A、 假设事物发展总存在一个过程 B、 假设事物只发生量变而不发生质变 C、 假设时间是影响预测目标的唯一变量 鉴于上述三点前提假设、决定了
3、时间 序列分析方法只适用于近期与短期的市场 预测，不适用于中期与长期的市场预测。 二、时间序列的影响因素 一个时间序列是多种 因素综合作用的结果。 v 长期趋势变动 v 季节变动 v 循环变动 v 不规则变动 1、长期趋势变动 长期趋势变动又称倾向变动，它是指伴随着 经济的发展，在相当长的持续时间内，单方 向的上升、下降或水平变动的因素。 它反映了经济现象的主要变动趋势。 长期趋势变动是时间 t的函数，它反映了不可 逆转的倾向的变动。长期趋势变动通常用 T表 示， T=T（ t）。 图 5.1 时间序列数据长期趋势变化曲线 2、季节变动 季节变动的周期性比 较稳定，一般以年为 单位作周期变动。
4、 季节变动是时间的函 数，通常用 S表示， S=S（ t）。 图 5.2 时间序列数据季节变化曲线 3、循环变动 循环变动是围绕于长期趋势变动周围的周 期性变动。 即循环变动是具有一定周期和振幅的变动 。 循环变动是时间的函数，通常用 C表示， C=C（ t）。 图 5.3 时间序列数据循环变化曲线 4.不规则变动 不规则变动是指由各种偶然因素引起 的随机性变动。 不规则变动通常用 I表示， I=I（ t）。 三、时间序列因素的组合形式 时间序列变动是长期趋势变动、季节变动、循 环变动和不规则变动四种因素综合作用的结果 。四种因素组合的形式有多种，有以下两种基 本形式。 1加法型 Y=T+C+
5、S+I 2 乘法型 Y=T C S I 四、时间序列预测的步骤 （ 1）绘制观察期数据的散点图，确定其变化 趋势的类型。 （ 2）对观察期数据加以处理 （ 3）建立数学模型。 （ 4）修正预测模型。 （ 5）进行预测。 第二节 简单平均法 简易平均法，是将一定观察期内预测目标的时 间序列的各期数据加总后进行简单平均，以其 平均数作为预测期的预测值。 此法适用于静态情况的预测。 这类预测方法是预测技术中比较简易的方法。 它个仅易懂、计算方便，而且也容易掌握。 常用的简易平均法有算术平均法、加权平均法 和几何平均法。 一、算术平均法 算术平均法，就是以观察期数据之和除以 求和时使用的数据个数 (或
6、资料期数 )，求得 平均数。 式中： 运用算术平均法求平均数，有两种形式： （ 1） 以最后一年的每月平均值，或数年的每月平 均值，作为次年的每月预测值。 如果通过数年的时间序列显示，观察期资料并无显著 的长期升降趋势变动和季节变动时，就可以采用此方法。 (2)以观察期的每月平均值作为预测期对应月份 的预测值。 当时间序列资料在年度内变动显著，或呈季节性变化 时，如果用上一种方法求得预测值，其精确度难以保证。 例 5.1： 假设食盐最近四年的每月销售量如表 5.1所示，预测 2008年的每月销售量。 如果以 2007年的每月平均值作为 2008年的每 月预测值； 如果以 20042007 年的
7、月平均值作为 2008年 的月预测值。 可以看出，选择观察期的长短不同，预测值 也随之不同。所得预测值和实际销售值之间有差 异。如果差异过大就会使预测值失去意义，所以 ，必须确定合理的误差。 月 年 2004 2005 2006 2007 1 328 330 298 335 2 331 324 317 321 3 360 348 328 346 4 318 360 330 363 5 324 327 323 329 6 294 342 348 327 7 342 360 342 368 8 348 357 351 350 9 357 321 318 341 10 321 297 336 312
8、 11 330 318 354 327 12 348 354 358 351 年合计 4001 4038 4003 4070 月平均 333.4 336.5 333.7 339.2 表 5.1 食盐年销售额及平均值 单位：千元 v 首先，用下列公式估计出预测标准差。 式中： v 然后，计算某种可靠程度要求时的预测区间。 以 2007年的月平均值 339.2千元作为 2008年 的每月预测值，标准差为： 在 95%的可靠程度下， 2008年每月预测区 间为 339.2 1.812x17.03， 即 308.84370.06 千元之间。 以四年的每月平均值 335.7干元作为 2008年的 每月预
9、测值，标准差为： 在 95的可靠程度下， 2008年每 月预测值区间为 335.7土 1.96x2.78， 即在 330.25341.15 千元之间。 例 5.2： 某商店汗衫的销售量如表 5.2所示，预测第四年每 月的销售量。 月 年 第一年 第二年 第三年 同月平均 1 16.0 17.3 20.1 17.8 2 19.0 21.0 22.0 20.7 3 21.3 23.0 25.0 23.1 4 25.0 27.0 29.2 25.7 5 32.8 36.0 38.5 35.8 6 65.2 70.2 77.0 70.8 7 99.0 107.0 118.0 108.0 8 131.0
10、 140.2 152.8 141.3 9 80.5 87.2 94.0 87.2 10 38.0 41.4 45.0 41.5 11 22.2 24.0 26.0 24.1 12 18.4 19.8 22.5 20.2 年合计 47.4 51.2 55.8 表 5.2 某商店汗衫销售量统计表 单位：百元 二、几何平均法 几何平均法，就是运用几 何平均数求出发展速度， 然后进行预测。 适用于呈一贯上升或一贯 下降且环比速度大体一致 的数据。 几何平均数，就是将观察期 n个资料数相乘，开 n次方，所得的 n次方根。 设 x1， x2， x3为观察期的资料，则其几何平均数 为： 式中： 例 5.3：
11、 某企业 19942007 年的销售额资料如表 5.3所示，预测该企业 2008年的销售额。 观察期 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 销售额 71 81 83 90 89 87 92 96 100 95 145 105 120 142 表 5.3 某企业 1994-2007的销售额 单位：万元 （ 1）以上年度为基期分别求各年的 环比指数 。 （ 2）求环比指数的几何平均数，即发展速度。 （ 3）利用平均发展速度进行预测。 或 观察期 实际销售额 环比指数（ x） lgx 1994 71.00 1995 81.00 114.00 2.057
12、1996 83.00 102.00 2.011 1997 90.00 108.00 2.035 1998 89.00 99.00 1.995 1999 87.00 98.00 1.990 2000 92.00 106.00 2.024 2001 96.00 104.00 2.018 2002 100.00 104.00 2.018 2003 95.00 95.00 1.978 2004 145.00 153.00 2.184 2005 105.00 72.00 1.860 2006 120.00 114.00 2.058 2007 142.00 118.00 2.073 /n 2.023 表
13、5.4 年销售额及几何发展速度 单位：万元 三、加权平均法 加权平均法，就是在求平均数时，根据观察 期各资料重要性的不同，分别给以不同的杖 数后加以平均的方法。 其特点是：所求得的平均数，已包含了长期 趋势变动。 公式： 例 5.4 观察期 销售额 xi 权数 wi xiwi 2003 40 1 40 2004 60 2 120 2005 55 3 165 2006 75 4 300 2007 85 5 425 315 15 1050 表 5.5 某商店 20032007 年销售额及加权值 单位：万元 很显然，用算术平均法求得的平均数作为 预测值过低，不能反映商店 销售的发展趋势。 第三节 移
14、动平均法 移动平均法是将观察期的数据，按时间先后 顺序排列，然后由远及近、以一定约跨越期进 行移动平均，求得平均值。 每次移动平均总是在上次移动平均的基础上 ，去掉一个最远期的数据、增加一个紧挨跨越 期后面的新数据，保持跨越期不变，每次只向 前移动一步，逐项移动，滚动前移。 这种不断 “吐故纳新 ”，远期移动平均的过程 ，称之为移动平均法。 移动平均法 简单移动平均法 加权移动平均法 一次移动平均法 多次移动平均法 一、一次移动平均法 （一）一次移动平均法原理 例：当 n=5时： 一次移动平均值的简便递推公式： N越大，修匀的程度也越大，波动也越小，有 利于消除不规则变动的影响，但同时周期变动
15、难 于反映出来；反之， N选取得越小，修匀性越差， 不规则变动的影响不易消除，趋势变动不明显。 但 N应取多大，应根据具体情况作出决定。实 践中，通常选用几个 N值进行试算，通过比较在不 同 N值条件下的预测误差，从中选择使预测误差最 小的 N值作为移动平均的项数。 （二）一次移动平均法步骤 计算一次平均数 ，放在跨越期时间序 列的中间； 计算一次平均值的变动趋势值 ； 求平均变动趋势值 ； 计算绝对误差、平均绝对误差 ； 求出预测模型 。 预测值 =最后一项的一次移动平均值 +最后一项的一次移动平均值距离预 测值的间隔数 *平均趋势变动值 例 5.5： 某省公路交通部门 19881998 年
16、货物周 转量如表 5.6所示。预测 1999年的货物周转量 。 年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 周转量 13.58 16.67 15.04 15.91 16.42 15.76 13.85 13.26 14.02 14.83 15.20 表 5.6 某部门货物周转量 单位：亿吨 /公里 二、加权移动平均法 加权移动平均法是根据跨越期内时间序 列数据资料重要性不同，分别给予个同 的权重，再按移动平均法原理，求出移 动平均值，并以最后 项的加权移动平 均值为基础进行预测的方法。 权重确定原则：近重远轻 例 5.6：
17、我国 19791988 年原煤生产量如 excel表 所示。若选择跨越期 n 3， 权重分别为 1， 2， 3， 试用加权一次移动平均法预测 1989、 1990年的原 煤产量为多少 ? 第四节 指数平滑法 指数平滑预测方法是移动平均预测方法加以 发展的一种持殊加权移动平均预测方法。它可 分为一次指数平滑法和多次指数平滑法。 一般常用于时间序列数据资料既有长期趋势 变动又有季节波动的场合。 一、一次指数平滑法 （一）一次指数平滑法原理 一次指数平滑法是以最后一次指数平滑值为 基础，确定市场预测值的一种特殊的加权平均法 。 （二）一次指数平滑法的特点 指数平滑法是以首项系数为 ， 公比为（ 1一
18、 ）的等比数列作为 权数的加权平均法。体现了 “ 近重 远轻 ” 的赋权原则。 各权数之和为 1。 预测值是前一期预测值加上前期 预测值中产生的误差的修正值。 （三）平滑系数的确定 由预测模型可见， 起到一个调节器的作用 。如果 值选取得越大，则越加大当前数据的比 重，预测值受近期影响越大；如果 值选取得越 小，则越加大过去数据的比重，预测值受远期 影响越大。因此， 值大小的选取对预测的结果 关系很大。如何选取 值呢？通常 值的选取类 似于移动平均法中对 N的选取，即多选几个 值 进行试算，选择使预测误差小的 值。 （四）初始值的确定 式中 S0（ 1） 称为初始值，不能直接求得，一 般是事先
19、指定或估计。 一次指数平滑法的初值的确定有几种方法： 取第一期的实际值为初值 取最初几期的平均值为初值 例 5.7： 某商店 l9821991 年销售额资料如 excel 表所示，试用一次指数平滑法预测 1992年销售额 为多少万元。己知： 1=0.2， 2=0.5， 3=0.8， S0（ 1） =x1=400。 （ 1）确定初始值 S0（ 1） =400 （ 2）选择平滑指数 1=0.2， 2=0.5， 3=0.8 （ 3） 计算一次指数平滑值 （ 4） 确定平滑指数 （ 5） 确定预测值 二、二次指数平滑法 （一）二次指数平滑法原理 v二次指数平滑法是在一次指数平滑的基础上再 进行一次指数
20、平滑。并根据一次、二次的最后一 项的指数平滑值，建立直线趋势预测模型，并用 之进行预测的方法，称之为二次指数平滑预测法 。 v 当时间序列的变动呈线性趋势时，可采用二次 指数平滑法。 （二）二次指数平滑法的计算方法 例 5.8： 某公司 l9801994 年销售收入 yt资料如 excel表所示，试用二次指数平滑法预测 1995年和 1997年销售收入各为多少万元。 （ 1）确定初始值 S0(1)=S0(2)=yt=676 （ 2）选择平滑指数 =0.3 （ 3） 计算一次、二次指数平滑值 （ 4） 计算待定系数，建立预测模型 （ 5） 确定预测值 第五节 趋势外推法 趋势外推法是根据经济变量
21、（预测 目标）的时间序列数据资料，揭示其 发展变化规律，并通过建立适当的预 测模型，推断其未来变化的趋势。 趋势外推预测法是研究经济变量的 发展变化相对于时间之间的函数关系 。 根据函数关系的形态不同，可分为 直线趋势外推法、曲线趋势外推法及 指数趋势外推法三种。 一、直线趋势外推法 是一种最简单的趋势外推方法。 适用于时间序列观察值呈直线上升或下降时 ，其长期趋势就可用一直线来描述，并通过该 直线趋势的向外延伸，估计其预测值。 直线趋势外推法可分为 直观判断法 和 拟合直 线方程法 两种。 它是将时间序列观察值数据按时间先后在平面 坐标图上一一标出，以横轴表示时间，纵轴表 示某预测变量，描出
22、散点图，并根据其走向， 用目测徒手画出一条拟合程度最佳的直线。然 后沿直线向外延伸，即可进行预测。 随手画出的拟合直线是否是最佳的拟合直线、 会直接影响预测精度。 直观法简便易行，不需要建立数学模型，也不 需要进行复杂计算的优点也是明显的。 例 5.9： 某家用电器厂 19851995 年的利润总额如 表 5.7所示，试用直观法预测 l996、 1997年的利润 总额各为多少万元 ? 年份 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 利 润 额 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020 表 5.7 某家用电器厂 198519
23、95 年利润额数据表 单位：万元 图 5.4 直观绘制直线图 v 模型 v当时间序列的发展趋势呈线性时，可采用 直线趋势模型进行预测。 v直线趋势模型为： v 特点 v拟合直线方程的一阶差分为一常数 。 即： v拟合直线对时间序列内各数据不论其远近都 同等看待。 v拟合直线消除了不规则变动因子的影响，反 映了预测目标长期发展过程的平均变化趋势。 v 方法 v用最小二乘法建立拟合直线进行预测。 图 5.5 拟合直线方程法原理图 在拟合直线外推法中自变量 t代表时间序列 的时间编号。所以，我们可以通过对时间序列 的编号技巧使计算过程更加简便。 v 当时间序列的项数为奇数时 ,设中位数为零 ,等差
24、为 1,建立 t的时间序列。即取 t的值为 ， -2， -1 ， 0， 1， 2， ； v 当时间序列的项数为偶数时 ,设中位两数的值分 别为 -1和 1,等差为 2,建立 t的时间序列。即取 t的 值为 ， -5， -3， -1， 1， 3， 5， 。 简化式： 例 5.10： 某地 1992-2000年化肥销售 量如表 5.8所示，试用直线趋势外推 法中的拟合直线方程法预测 2004年 该地的化肥销售量。 年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 销售量 265 297 333 370 405 443 474 508 541 表 5.8
25、 某地化肥销售量 单位：吨 二、曲线趋势外推法 在很多情况下，市场的供求关系由于受众多因素的影 响，其变动趋势并非总是一条简单的直线方程，往往 会呈现不同形态的曲线变动趋势。 曲线趋势外推法是指根据时间序列数据资料的散点图 的走向趋势，选择恰当的曲线方程，利用适当的方法 确定曲线方程的待定参数，建立曲线预测模型，并用 它进行预测的方法。 常见的曲线趋势外推法有 二次曲线法 、三次曲线法。 二次曲线外推法是研究时间序列观 察值数据随时间变动呈现一种由高到低 再升高 (或由低到高再降低 )的趋势变化的 曲线外推预测方法。由于时间序列观察 值的散点图呈抛物线形状，故也被称之 为二次抛物线预测模型。
26、v 模型 v 特点 二次曲线方程的 二阶 差分 是一个常数。 二次曲线趋势外推预 测法适用于时间序列数 据呈抛物线形状上升或 下降，且曲线仅有一个 极点的情况下使用。 年次 （ t ） 观 察 值 （ Yt ） 一 阶 差 分 二 阶 差 分 1 a+b+c 2 a+2b+4c b+3c 2c 3 a+3b+9c b+5c 2c 4 a+4b+16c b+7c 2c 5 a+5b+25c b+9c 2c 表 5.9 二次曲线的差分 v 方法 最小二乘法 三点法 最小二乘法 三点 法 在时间序列资料中选取三个代表点；根据 三个点的坐标值建立由三个二次曲线方程组成 的联立方程组；求解方程组得到三个
27、参数值。 Step1.选点 v 当时间序列的项数 N为奇数时，并且 N15时，在时间序 列的首尾两端及正中各取五项，分别求出加权平均数 ，权数根据时期的远近，分别取 1、 2、 3、 4、 5，以加 重近期信息在平均数中的比重。 v 当时间序列的项数为奇数时，并且 9N15时，在时间 序列的首尾两端及正中各取三项，权数根据时期的 远近，分别取 1、 2、 3，分别求出三个加权平均数。 v 当时间序列的项数为偶数时，可去掉第一项，余下按 项数为奇数时处理。 Step2.求加权平均数 设由远及近的三点坐标分别为： 则五项加权平均时 ： 三点坐标分别为： 同理，三项加权平均时 ： 三点坐标分别为：
28、将三点坐标值代入二次曲线预测模型，得： Step3.建立方程组 ,求解参数 五项加权平均 三项加权平均 例 5.11： 某地 1992-2000年水产品的收购量如表 5.10 所示，试用三点法预测 2003年该地水产品的收购量 。 年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 收购量 54.5 64.1 76.4 92.4 110.7 132.2 156.6 183.6 214.0 表 5.10 某地收产品收购量 单位：千吨 根据时间序列资料计算一阶差分和二阶差分。从计 算结果看，二阶差分序列要比一阶差分序列平稳。因此 ，建立二次曲线模型。 三
29、、指数趋势外推法 对数趋势法用于时间 序列数据按指数曲线规 律增减变化的场合。 运用观察值的对数与 最小二乘法原理求得预 测模型的方法。 v 模型 环比发展数度为常数。即： v 特点 v 方法 最小二乘法 或三点法 例 5.11： 1989年以来某地居民储蓄存款余 额数据如 Excel表所示。预测该地居民 2001年的储蓄存款余额。 分析时间序列的环比发展速度，可 见各环比发展速度值大体相等，因此采 用指数曲线模型进行预测。 第六节 季节指数法 v 季节变动是指由于自然条件和社会条件 的影响，经济现象在一年内随着季节的 转变而发生的周期性变动。 v 季节变动预测法就是以时间序列为基础 ，通过建
30、立季节变动模型来预测未来季 节变动的状况。 季节变动 分类 季节变动根据其变动特征可分为两类，水平 型季节变动和长期趋势季节变动。 水平型季节变动是指时间序列中各项数值的变化 是围绕某一个水平值上下周期性的波动。 长期趋势季节变动是指时间序列中各项数值一方 面随时间变化呈现季节性周期变化，另一方面随着 时间变化而呈现上升或下降的变化趋势。 通常用来度量季节变动的指标是季节指数（ SI）。 季节指数是用百分数或系数形式表示的季节变动指 标。又称季节比率。 水平型季节变动： 季节指数 =各年同季（月）平均数 /总平均数 长期趋势季节变动 : 季节指数 =各年同季（月）平均数 /趋势值 季节指数 方
31、法 同期平均法 （水平型季节变动） 平均数趋势整理法 （长期趋势季节变动） 环比法 （长期趋势季节变动） 同期平均法 同期平均法是预测水平型季节变动的方 法。它通过对不同年份中同一时期数值求平 均数，来剔除不规则变动，得出季节变动模 型进行预测。 同期平均法的基本步骤如下： 1.收集连续三年以上的各期历史数据 2.计算各年同期平均数和总平均数； 3.计算季节指数； 4.建立预测模型，进行预测。 例 5.12： 某地历年各季度背心的销售量如 Excel表。试预测 2001年各季度的销售量。 （ 1）根据时间序列资料绘制散点图 （ 2）计算各年同季平均数 （ 3） 计算各年季平均数 （ 4） 计算总平均数 （ 5） 计算季节指数 （ 6） 建立季节变动预测模型，进行预测
