1、GeoGebra 使 用 入 门 数 字 式 的 坐 标 平 面 系 统 GeoGebra 使 用入门 1 目录 安装 3 基本概念 . 5 跨系统、跨平台 5 使用者接口 5 输出 6 重要的网络资源 7 基础操作 8 1- 新点、交点、中心点 . 8 2- 直线、线段、向量 . 10 3- 垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹 . 13 4- 多边形、正多边形 . 20 5- 圆形、扇形、圆弧 . 22 6- 角、斜率 . 26 7- 对称、平移、旋转 . 28 8- 数值滑杆、文字 . 34 9- 对象的属性设定 . 37 进阶操作范例 38 1- 直线方程式、函数 . 38 2- 动态
2、文字处理、代数式定义处理：if 语 法 的 应 用 39 3- 参数曲面(Curve) 41 4- 序列物件(Sequence) . 42 5- 自订工具列管理 . 45 附录：以代数式建立对象之指令速查表 47 2 GeoGebra 使 用入门 安装 Windows 接口下的安装 请先到 GeoGebra 的网站： http:/www.GeoGebra.org/cms/ ( 若要阅 读中 文画面， 请将 下拉式选 单切 换到 Chinese。) 这画面中包含大部分的资源 ， 如 Help 、 中文讨论区 等 。 从 WebStart 画 面 中 进 行 安 装 ， 可 以 保 证 安 装 到
3、 目 前 最 新 的 版 本 ， 而 下 载 页 面 ， 则 列 出 目 前 最 稳 定 的 版 本 。 本 说 明 建 议 读 者 可 以 WebStart 方 式 进 行 安 装 ， 点 选 启 用 GeoGebra这个连结，画面会导向到WebStart页面，步骤如下页： GeoGebra 使 用入门 3 按下GeoG ebra WebStart按钮后，因为 GeoGebra 是 在 Java 环 境 下 执 行 的 软 件 ， 若 您 的 计 算 机 没 有 安 装 Java 环 境 ， 则 画 面 会 自 动 导 向 到 Java 安 装 网 页 ， 若 您 的 计 算 机 没 有 J
4、ava 环 境 ， 且 浏 览 器 没 有 导 向 到 Java 安 装 网 页 ， 您 可 以 自 行 输 入 网 址 ： 来 进 行 在 线 安 装 ， 该 网 站 上 有 详细的安装说明。 结束 Java 的安装后 ， 若您是以 GeoGebra WebStart 按钮进行安装 ， 则 会 自动进行 GeoGebra 的安装 ， 若 浏览器没有自动进行安 装 ， 则您可以考虑切换到 下载页面下载 GeoGebra 的各系统版本进行安装。 4 GeoGebra 使 用入门 基本概念 跨系统、跨平台 GeoGebra 是一个在 Java 虚拟机器环境上执行的解析几何作图程序 ， 可以 说是一
5、个数字式的平面直角坐标系统 。 所以用 GeoGebra 做出来的动态图文 件 ， 可 以 轻易的在不同操作系 统 ， 如 Windows、 Linux、 FreeBSD、 Mac 等不同的操作 系统上 执 行 。 或 可 以 在 不 同 执 行 平 台 ， 如 Microsoft IE、 Mozilla Firefox 等 不 同 的 网 际网络浏览器上，完整而无碍的执行。 使用者接口 GeoGebra 使 用入门 5 我们大概可以把 GeoGebra 这样的动态几何软件 ， 想成一个 数字式的坐标平 面作图程序。这样的程序里，包含了两个主要区域，即代 数 区 、 几何区 。 几何区 负责显
6、示对象，如点、线、角、函数图 形 、 方 程 式 图 形 、 参 数 曲 面 图 形、轨迹、文字、布尔值等，可以让使用者以直觉的方式操作与体验。 代数区 负责 列出对象的数学式型态的定义，都 是 一 般 数 学 课 本 中 所 熟 悉 的 描 述 形 式 。 例 如 点 是 以 P (2,3) 、 直 线 方 程 式 以 L： 2x 3y 5 的 形 态 将 其 显 示 。 对 于 每 一 个 对 象 ， 可 以 用 鼠 标 在 几 何 区 的 移 动 功 能 下 选 取 或 代 数 区 中 直 接 选 取 ， 之 后 可 以 按 鼠 标 右 键 点 选 出 它 的 属 性 窗 口 ， 进 行
7、 此 对 象 各 个 属 性 的 调 整 编 辑 ， 如 名 称 、 定 义 、 样 式 、 大 小 、 装 饰 、 显 示 条 件 、 显 示 型 式 、 在 几 何 区 的 显示状态等 ， 接口简单易懂 ， 极易操作 。 另外此区将对象分成 自变对 象 、 应 变 对 象 两 类 ， 例 如 直 线 可 能 就 是 两 个 点 的 应 变 对 象 。 而 不 管 是 自 变 对 象 或 应 变 对 象 皆 可 以 被 归 类 于 辅 助 对 象 ， 并 可 在 菜 单 中 设 定 是 否 在 代 数 区 中 显 示 出 来。 对象的建立方式，可以用直觉的几何方式 或精确的代数定义方式 来建
8、立。 几 何 建 立 方 式 ， 为 先 选 取 上 方 功 能 按 钮 后 ， 在 窗 口 上 方 列 右 侧 即 会 出 现 其 使 用 方 式 说 明 ， 使 用 者 依 照 其 规 范 操 作 即 可 ， 所 以 原 则 就 是 先 选 功 能 ， 再 依 规 则 操 作 。 代数 建 立 方 式 则 为 在 下 方 输 入 列 ， 直 接 以 指 令 方 式 输 入 ， 例 如 建 立 一 个 点 为 A=(3,2) ，其余对象的输入语法，可以查阅菜单中的 说明 ，或先 以几何 方 式 建 立 后 ， 在 其 属 性 窗 口 中 ， 查 阅 其 定 义 也 可 以 ， 这 是 比 较
9、 简 易 的 方 法 。 对 于 已经制作完成的 ggb 档，也可以在播放按钮区调整每个对象播放的顺 序。 输 出 制作完成的档案，将以.ggb的扩展名 储 存 ， 此 外 也 可 以 用 图 档 、 网 页 等 形态另外汇出 。 或将 ggb 文件直接内嵌于动态网页中 ， 并 在 网 页 浏 览 器 中 直 接 操 作 。 另外 GeoGebra 也支持 LATEX 数学式标示语言。 6 GeoGebra 使 用入门 基础操作 1. 新点、交点、中心点 范例图 8 GeoGebra 使 用入门 各编辑区方法列表 方法 物件 几何建立 代数建立范例 新点 点选新点 ，再以鼠标点出位 置。 A=
10、(3,2) 交点 点选交点 ，再以鼠标点出两 个对象后建立。 A=Intersecta, b 直线 a、b 的交 点。 中心点 点选中心点 ，再以鼠标点出 两个点后建立，或点出一线段。 C=MidpointA, B 点 A、B 之中 点。 C=Midpoints 线 段 s 之中点。辅助说明 以几何操作方式建立新点，仅 需先选择工具按钮中的新 点 ， 然 后 直 接 在 几何显示作图区中之适当位置按下鼠标左键 ， 即完成新 点 建 立 。 若 以 代 数 式 建 立 ， 则使用一般在平面坐标上点的表示法 ， 键入 A=（3,2 ） 这样的指 令 ， 即完成一个名 为 A 且坐标为（3,2）的点
11、。 以几何操作方式建立交点的方式比较多元 ， 凡 是 两 对 象 间 有 交 点 者 ， 皆 可 以 在 选 择 交 点 功 能 按 钮 后 ， 连 续 点 选 出 二 个 对 象 来 完 成 操 作 。 而 若 以 代 数 式 建 立 ， 原则是以 A=Intersect对 象 1,对 象 2， 这 样 的 指 令 来 完 成 。 而 其 中 的 对 象 1、 对象2，可以是直线、 圆锥曲线、 函数等对象。而有些交点会出现二个，系统会分 别 以 1、 2在 下 标 标 示 表 示 之 ， 例 如 两 个 相 割 圆 的 交 点 有 二 个 ， 则 上 述 指 令 会 产 生 两点 A1、A2
12、。 以几何操作方式建立中点，需 先选择工具按钮中的 中 心 点 后 ， 再 点 选 两 点 或 一 线 段 对 象 ， 即 完 成 中 心 点 建 立 。 代 数 式 则 以 M=midpoint 点 , 点 或 M=midpoint线段s 这样的指令来建立。 GeoGebra 使 用入门 9 2. 直线、线段、向量 范例图 10 GeoGebra 使 用入门 各编辑区方法列表 方法 物件 几何建立 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 直线 点选直线 ，以鼠标点出两点 后建立。 L=lineA,B 线段 点选线段 ，以鼠标点出两点 后建立，或点出起点，再指定长 度。 a=segmen
13、tA,B 射线 点 选 射 线 ， 以 鼠 标 点 出 两 点 。 b=RayA,B 起点 A 通过 B 点的射线。 c=RayA,v 起点 A 且方向为 v 向量方向射线。 向量 点选向量 ，以鼠标点出已知 两点，或一点及一向量。 u=VectorE,F 从点 E 到点 F 的向量。 a=VectorA 点 A 的位置向量(原点到 A 点的向量) 辅助说明 以几何操作方式建立直线 ， 仅需先选择工具按钮中的 直线(过两点) 按 钮 ， 然 后 直 接 在 几 何 显 示 作 图 区 中 之 两 个 适 当 位 置 ， 分 别 按 下 鼠 标 左 键 ， 即 完 成 二 个 新点及过此二点之直
14、线 。 或可以鼠标选取二个已知点 后 ， 建 立 通 过 此 二 点 之 直 线 。 而 若 以 代 数 式 建 立 ， 则 键 入 L=Line点 对 象 1,点 对 象 2 这 样 的 指 令 ， 即 完 成 一 个 名为 L 且通过此二点对象之直线。 GeoGebra 使 用入门 11 以几何操作方式建立线段，需 先选择工具按钮中的 线段(过两点) 按钮， 其 余 程 序 与 直 线 之 建 立 大 致 相 同 ， 差 别 只 是 结 果 显 示 为 一 个 以 两 个 点 对 象 为 端 点 之线段。 以几何操作方式建立射线，需 先选择工具按钮中的 射线(过两点) 按钮， 其 余 与
15、直 线 之 建 立 大 致 相 同 ， 差 别 只 是 结 果 显 示 为 一 个 以 点 对 象 1 为 起 点 ， 指 向 点 对象 2 之射线。或者可以选择一个点对象与一个向量对象，建立出射线对象。 以几 何操作方式建立向量，需 先选择工具按钮中的 向量( 过两点) 按钮， 其 余 与 直 线 之 建 立 大 致 相 同 ， 差 别 只 是 结 果 显 示 为 一 个 以 点 对 象 1 为 起 点 ， 指 向 点物件 2 之向量。或者可以只选择一个点对象来建立出该点对象之位置向量。 12 GeoGebra 使 用入门 3. 垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹 垂直线、并行线范例图 G
16、eoGebra 使 用入门 13 各编辑区方法列表 方法 物件 几何建立 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 垂直线 点选垂直线 ，以鼠标点出已 知一点及一直线或是一向量后建 立。 L=PerpendicularC,a 通过点 C 且垂直于 a 的直线。 L=PerpendicularC,u 通过点 C 且垂直于向量 u 的直线。 并行线 点选并行线 ，以鼠标点出已 知一点及一已知直线后建立。 L=lineC,a 通过 C 点且平行于 a 直线的直线。 辅助说明 以几何操作方式建立垂直线， 需先选择工具按钮中的垂 直 线 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 ， 点
17、 选 一 直 线 及 一 点 后 ， 则 建 立 通 过 此 点 且 垂 直 于 该 直 线 之 垂 线 。 或 可 点 选 一 直 线 及 一 向 量 后 ， 则 建 立 通 过 此 点 且 垂 直 于 该 向 量 之 垂 线 。 而 若 以 代 数 式 建 立 ， 则 键 入 L=PerpendicularC,u， C 为 点 对 象 ， u 为 直 线 对 象 向 量对象 ， 这 样的指令 ， 即完成一个名为 L 且通过 C 且垂直于u直线或向 量对象之垂 线。 以几何操作方式建立并行线， 需先选择工具按钮中的并 行 线 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 ， 点 选
18、 一 直 线 及 一 点 ， 建 立 通 过 此 点 且 平 行 于 该 直 线 之 平 行 线 。 而 若 以 代 数 式 建 立 ， 则 键 入 L= Line点 对 象 ,直 线 对 象 这 样 的 指 令 ， 即 完 成 一个名为 L 且通过此点且平行于该直线之并行线。 14 GeoGebra 使 用入门 中垂线、角平分线范例图 各编辑区方法列表 方法 物件 几何建立 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 中垂线 点选中垂线 ，以鼠标点出已知 两点，或一已知线段。 L=LineBisectorA,B 线段 AB 的中垂线 L=LineBisectors s 线段的中垂线 角平分
19、线 点选角平分线 ，以鼠标点出已 知三点，或二直线。注意在点的选 取顺序，是以有向角的观念，以逆 时针方向顺序选取之。 L=AngularBisectorA,B,C 以 B 为顶点的角 ABC 的角平分 线 L=AngularBisectorg,h 直线 g 和 h 的角平分线 GeoGebra 使 用入门 15 辅助说明 以几何操作方式建立中垂线， 需先选择工具按钮中的中 垂 线 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 ， 以 鼠 标 点 出 已 知 两 点 ， 或 一 已 知 线 段 后 ， 则 建 立 通 过 此 二 点 之 线 段 之 中 垂 线 ， 或 已 知 线 段
20、 之 中 垂 线 。 而 若 以 代 数 式 建 立 ， 则 键 入 L=LineBisector点 对 象 1,点 对象2 或 L=LineBisector线 段 对 象 这 样 的 指 令 ， 即完成一个名为 L 且通过此二点或该线段之中垂线。 以几何操作方式建立角平分线 ，需先选择工具按钮中的 角平分线 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 ， 以 鼠 标 点 出 已 知 三 点 ， 或 二 直 线 。 注 意 在 点 的 选 取 顺 序 ， 是 以 有 向 角 的 观 念 ， 以 逆 时 针 方 向 顺 序 选 取 之 后 ， 则 建 立 此 三 点 所 构 成 角
21、之 角 平 分 线 ， 或 二 直 线 所 构 成 角 之 角 平 分 线 。 而 若 以 代 数 式 建 立 ， 则 键 入 L=AngularBisector点对象1,点对象2,点对象3 这样的指令，即完成一个名为 L且 通 过 以 此 三 点 所 构 成 角 且 以 点 物 件 2为 顶 点 之 角 平 分 线 。 或 键 入 L=AngularBisector直 线 1,直线2 这 样 的 指 令 ， 即 完 成 一 个 名 为 L 且 以 二 直 线 为 边之角平分线。 16 GeoGebra 使 用入门 切线、轨迹范例图 各编辑区方法列表 方法 物件 几何建立 代数建立范例 （建立
22、时最好包含自订对象名称） 切线 点选切线 ，以鼠标点出一点 及一已知函数 。 (函数做法见进阶 操作范例，或参看右方代数式说 明) f(x) 在点 A 时的切线 注意 f 为一函数 ， 其中 点 A 的 x 坐 标 值当然必须为 f 函数之定义域中 的 元素 。 例如 ， 可透过下列代数式建 立 一 函 数 ， 及 此 函 数 上 某 一 点 之 切 线 。 f(x)=3x2+1 A=pointf GeoGebra 使 用入门 17 L=tangentA,f 轨迹 点选轨迹 ，以鼠标点出一已 知点，及其相关点各一。这个功 能在表面上，就是点选两个点。 但是要注意的是这二个点的关系 为何 ， 可
23、详参右方的代数式说明 。 L_1=LocusB,A 依据在某对象上之 一点 A 所控制的 点 B 的轨迹线。 注意 B 应定义为 A 的相关表达式 ， 且 A 应为某对象上的一点。 例如 ， 可透过下列一连串代数式 ， 定 义出在 A 所在对象上方 3 单位的轨 迹 图形。 f(x)=3x2+1 A=pointf B=A+(0,3) L_1=locusB,A 即可做出 L_1 为 f 向上平移 3 单位 的 拋物线图形。 辅助说明 以几何操作方式建立切线，需 先选择工具按钮中的 切线 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显示作图区 中 ， 以鼠标点出一点及一已知函数(函数做法见进阶操作范例 ， 或
24、 参 看以 下说明 )。 注意 f 为一函数 ， 其中点 A 的 x 坐标值当然必须为 f 函数之定义域 中 的 元 素 。 例 如 ， 可 透 过 下 列 代 数 式 建 立 一 函 数 ， 及 在 其 上 某 一 点 之 切 线 ： f(x)=3x2+1、 A=pointf 、 L=tangentA,f 。 则建立出函数 f 在点 A 之 切 线 L。 以几何操作方式建立轨迹，需 先选择工具按钮中的 轨迹 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 ， 以 鼠 标 点 出 一 已 知 点 ， 及 其 相 关 点 各 一 。 这 个 功 能 在 表 面 上 ， 就 是 点 选 两
25、 个 点 ， 但 是 要 注 意 的 是 这 二 个 点 的 关 系 为 何 。 在 代 数 式 中 下 指 令 L_1=LocusB,A， 意 指 依 据 在 某 对 象 上 之 一 点 A 所 控 制 的 点 B 的 轨 迹 线 。 注 意 B 应 定 义 为 A 的 相 关 表 达 式 ， 且 A 应 为 某 对 象 上 的 一 点 。 例 如 ， 可 透 过 下 列 一 连 串 18 GeoGebra 使 用入门 代数式 ， 定义在 A 所在对象上方 3 单位的轨迹图形 ， f(x)=3x2+1、 A=pointf、 B=A+(0,3)、 L_1=locusB,A， 可 做出 L_1为
26、 f 向上平移 3 单位的拋物线图形 （注 ： 像 L_1 这样的标记，底线后的第一个字符为下标）。 4. 多边形、正多边形 GeoGebra 使 用入门 19 范例图 各编辑区方法列表 方法 物件 几何建立 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 多边形 点选 多 边 形 ， 以鼠标点出若 干点后建立。 Poly1=PolygonA,B,C,. 由给定 点 A、B、C 所围成的多边形 20 GeoGebra 使 用入门 正多边形 点选 正多边形 ， 以 鼠标点出 两点及输入一数值 n 后建立。 Poly1=PolygonA,B,n,n3 包括点 A、B 的正 n 边形，注意用 此 方法
27、建立 时 ， 若 n 值本身又是由 一滑 杆 ， 或其它对象控制之值 ， 则各 边及 顶点是以动态出现的现象呈现。 辅助说明 以几何操作方式建立多边形， 需先选择工具按钮中的多 边 形 或 正 多 边 形 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 ， 以 鼠 标 点 出 已 知 或 实 时 新 建 的 若 干 点 ， 最 后 再 点 选 回 第 一 个 点 之 后 建 立 。 或 点 选 正 多 边 形 ， 以 鼠 标 点 出 已 知 两 点 及 输 入 一 数 值 n 后 建 立 。 注 意 此 动 作 其 实 只 是 建 立 了 此 多 边 形 之 各 顶 点 ， 然 后 顺
28、 便 建 立了依附在这些点上的边及整个多边形的物件。 5. 圆形、扇形、圆弧 GeoGebra 使 用入门 21 圆形范例图 各编辑区方法列表 方法 物件 几何建立 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 圆 点选圆() ，以鼠标点出已 知二点、或已知一点及输入一数 值为半径、或点出已知三点后建 立。 c=CircleM,r 圆心 M 且半径为 r 的圆。 c=CircleM,s 圆心 M 且半径为 s 的长度的圆 ， 其 中 s 为一已知线段。 c=CircleM,A 圆心 M 通过点 A 的圆。 c=CircleA,B,C 通过三 点 A、B、C 的圆。 22 GeoGebra 使
29、用入门 辅助说明 以几何操作方式建立圆，需先 选择工具按钮中的圆() 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 ， 以 鼠 标 点 出 已 知 二 点 或 实 时 新 建 的 二 点 ， 或 是 点 出 已 知 三 点 及 或 实 时 新 建 的 三 点 ， 或 是 点 出 已 知 一 点 及 输 入 一 数 值 为 半 径 ， 皆 可 建 立 一 圆 。 相 关的代数式为输入 c=CircleM,r， 则可建立圆心 M 且半径为 r 的圆 ， 其中 r 为一 已知数 值 。 c=CircleM,s， 可建立圆心 M 且半径为 s 的长度的圆 ， 其 中 s 为一已 知 线 段
30、。 c=CircleM,A， 可 建 立 圆 心 M 且 通 过 点 A 的 圆 。 c=CircleA,B,C， 则 是可建立通过三点 A、B、C 的圆。 扇 形 、 圆弧范例图 GeoGebra 使 用入门 23 各编辑区方法列表 扇形 点选扇形() ，以鼠标点出 三点(第一点为圆心)后建立，或 任意三点来建立一通过此三点的 扇形。 c=CircularSectorM,A,B 圆心为 M， 起点为 A、 终点为 B 的扇 形，注意 A、B 两点点选的顺 序，是 采用逆时针方向 的有向角观 念。 弧 点选圆弧() ，以鼠标点出 三点(第一点为圆心)后建立，或 任意三点来建立一通过此三点的 弧
31、。 c=CircularArcM,A,B 圆心为 M，起点为 A、终点为 B 的 圆 弧，注意 A、B 两点点选的顺序， 是 采用逆时针方向 的有向角观念。 c=CircumcircularArcA,B,C 依序 通过 A、B、C 三点的圆弧。 辅助说明 以几何操作方式建立扇形，需 先选择工具按钮中的 扇形() 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 ， 以 鼠 标 点 出 已 知 一 点 为 圆 心 及 圆 上 两 个 已 知 点 或 新 建 二 点 ， 又 或 者 是 直 接 点 出 任 意 三 点 ， 皆 可 以 建 立 一 扇 形 。 相 关 的 代 数 式 输 入 为
32、 c=CircularSectorM,A,B， 可建立圆心为 M ， 起点为 A ， 终点为 B 的 扇形 ， 注 意 A、B 两点点选的顺序，是采用逆时针方 向 的有向角观念。 弧的建立与扇形的建立方式大 致相同，唯需注意通过三点 A、B、C 的圆弧， 三点的点选顺序，是采用逆时针方向 的有向角观念。 24 GeoGebra 使 用入门 6. 角、斜率 GeoGebra 使 用入门 25 范例图 各编辑区方法列表 方法 物件 几何建立 代数建立范例（ 建立 时 最 好 包含 自 订 对 象名 称 ） 角 点选 测量角度 ， 以 鼠标点出已 知三点后建立。 =AngleA,B,C 以 B 为顶
33、点 ， 线段 BA 和线段 BC 为两 边的夹角，注意 A、 C 二点的 点选顺 序，是采用逆时针方向的有 向角观 念。 斜率 点选 斜率 ， 以鼠标点出已知直 m=slopeL 26 GeoGebra 使 用入门 线后建立。 而斜率，其虽然为一数值，但在 几何区中会以一小直角三角形呈 现其意像。 已知直线 L 之斜率。 辅助说明 以几何操作方式建立角，需先 选择工具按钮中的测 量 角 度 按 钮 ， 虽 然 其 功 能 名 为 测 量 角 度 ， 但 其 为 建 立 一 角 对 象 。 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 ， 以 鼠 标 点 出 已 知 一 点 或 新 建 一 点 A
34、 为 起 始 点 ， 及 一 已 知 点 或 新 建 点 B 为 顶 点 ， 再 点 出 已 知 一 点 或 新 建 一 点 C 为 末 端 点 ， 则 可 建 立 一 角 对 象 。 注 意 通 过 A,B,C 三 点 的 角 ， 三 点 的 点 选 顺 序 ， 是 采 用 逆 时 针 方 向 的 有 向 角 观 念 。 相 关 的 代 数 式 输 入 为 c=AngleA,B,C，可建立起始点为 A，末端点为 C，顶点为 B 的角。 以几何操作 方式计算斜率，需 先选择工具按钮中的 斜率 按 钮 ， 以 鼠 标 点 出 已 知 直 线 后 建 立 。 而 斜 率 其 虽 然 为 一 数 值
35、 ， 但 在 几 何 区 中 会 以 一 小 直 角 三 角 形 呈现其意像 。 若以代数式建立 ， 则 键入 m=slopeL ， 因 其为一数值 ， 终究不 是一 个图形，所以通常斜率数值在几何区中建议隐藏其图示。 7. 对称、平移、旋转 GeoGebra 使 用入门 27 范例图对称 各编辑区方法列表 方法 物件 几何建立 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 点对称 点选 点对称 ， 以鼠标点出已知 一点、或已知直线或已知多边 形， 及其对称点后建立出该已知 点 、 直 线或多边形的点对称图形 。 C=MirrorA,B 以 B 为对称点 ， 做出点 A 的对应点 C L=Mi
36、rrorg,B 以 B 为对称中心 ， 作直线 g 之线对 称 图形 L P=Mirrorp,B 以 B 为对称中心 ， 将多边形 p 作对称 。 线对称 同上，但对称中心改为直线。 同上，但对称中心改为对称轴。 28 GeoGebra 使 用入门 辅助说明 以几何操作方式建立对称对象 ，需先选择工具按钮中的 线对称 或 点 对 称 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 ， 以 鼠 标 点 出 已 知 点 或 已 知 直 线 或 已 知 多 边 形 ， 及 其 对 称 轴 (点 )后 建 立 出 该 已 知 点 、 直 线 或 多 边 形 的 线 (点 )对 称 图 形 。
37、相 关 的 代 数 式 输 入 为 ， 对 称 对 象 名 称 A=Mirror原 对 象 A ,线 对 象 或 点 对 象 ， 可 建 立 以线对象或点对象为对称中心，相对于原对象的新对称对象。 平移范例图 GeoGebra 使 用入门 29 各编辑区方法列表 方法 物件 几何建立 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 平移 点选 平移 ， 以鼠标点出已知物 件，如点、线、多边形等及一向 量后建立。 A= TranslateA,v 以向量 v 平移点 A a= Translatea,v 以 向量 v 平移直线 a poly= Translatepoly,v 以向量 v 平移多边形 p
38、oly 辅助说明 以几何操作方式建立平移对象 ，需先选择工具按钮中的 平移 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 ， 以 鼠 标 点 出 已 知 点 或 已 知 直 线 或 已 知 多 边 形 ， 及 其 平 移 向 量 后 ， 建 立 出 该 已 知 点 、 直 线 或 多 边 形 的 平 移 图 形 。 相 关 的 代 数 式 输 入 为 平 移 后 对 象 名 称 A= Translate 原 对 象 A,向 量 v， 可 建 立 将 原 对 象 以 向 量 v 为 基 准 ， 所 建立的新平移后对象。 30 GeoGebra 使 用入门 旋转范例图 GeoGebra
39、使 用入门 31 各编辑区方法列表 方法 物件 几何建立 代数建立范例 （建立时最好包含自订对象名称） 旋转 点选 旋转 ， 以鼠标点出已知 对象如点、线、多边形等，再 点选一旋转中心，并输入角度 建立旋转后的对象。 A= rotateA,B 以 B 为旋转中心，将 A 旋转角度 a = rotatea,B 以 B 为旋转中心 ， 将线段 a 旋转角度 poly= rotatepoly,B 以 B 为旋转中心 ， 将多边形 poly 旋转 角 度 辅助说明 以几何操作方式建立旋转对象 ，需先选择工具按钮中的 旋转 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 ， 以 鼠 标 点 出
40、已 知 点 或 已 知 直 线 或 已 知 多 边 形 ， 及 其 旋 转 中 心 点 ， 再 输 入 一 旋 转 角 度 后 ， 建 立 出 该 已 知 点 、 直 线 或 多 边 形 之 旋 转 后 的 图 形 。 相 关 的 代 数 式 输 入 为 ， 旋 转 后 对 象 名 称 A= rotate 原 对 象 A,旋 转 角 度 , 旋 转 中 心点 B ，可建立将原对象以旋转中心点 B 为基准，旋转角度后，所 建立之新的 旋转后对象。注意其旋转角度是以逆 时 针 有向角度量的。 32 GeoGebra 使 用入门 8. 数值滑杆、文字 GeoGebra 使 用入门 33 范例图 各编
41、辑区方法列表 方法 对象 几何建立 代数建立范例 数值滑杆 点选 数值滑杆 ， 设 定起始值、终值及增 量后建立。 无法由代数式建立。 文字 点选 插入文字 ， 输 入文字后建立。 点选 插入文字 后会出现一文字编辑视 窗 ， 在其中可运用各式的代数对象 ， 及以 类程序语法组成一文字字符 串 ， 并可选择是 否搭配 Latex 表示式来呈现 。 有关 Latex 表示式可参阅教学网页。网址为 http:/edt1023.sayya.org/tex/latex123/latex123.html 34 GeoGebra 使 用入门 输入 可能的输出结果 “第一句，这是静态文字“ 这是静态文字 “
42、第二句，参用 A 点坐标 = “ + A A 点坐标= (3.05, 2.54 ) “第三句，参用线段 a = “ + a + “ cm “ 线段 a = 5.87 cm 1. 若全句皆没有双引号，则全句以纯字符串视之。 2. 与 双 引 号 一 起 运 用 时 ， 可 加 入 如 ifexpression,“文 字 A“,“文 字 B“， 这样的式子，增加其动态显示的效果，且字符串的连接以加号串接之。 3. 在文字输入窗口中，要使用 Latex 表示式，要点选 Latex 勾选框。 GeoGebra 使 用入门 35 辅助说明 以几何操作方式建立数值滑杆对象 ，需先选择工具按钮中的数 值 滑
43、 杆 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 任 意 位 置 点 击 后 ， 会 出 现 一 数 值 滑 杆 设 定 窗 口 ， 其 中 要 填 入 者 ， 有 起 始 值 、 终 值 、 增量 及 数 值 角 度 选 择 钮 。 其 余 属 性 如 大 小 颜 色 等 ， 可 随 个 人 喜 好 设 定 ， 填 妥 后 按 确 定 ， 即 建 立 一 数 值 滑 杆 对 象 。 此 对 象 目 前 无 法 由 代 数 式 建 立 。 注 意 数 值 滑 杆 内 之 起 始 值 、 终 值 、 增 量 等 ， 皆 无 法 以 变 量 设 定 ， 须 以 明 确 的 数 字 设
44、定 之 。 这 通 常 是 给 使 用 者 控 制 各 项 数 值 大 小 的 工 具 ， 以 便 能 做 出 各种动态呈现的图形。 以几何操作方式建立文字对象 ，需先选择工具按钮中的 文字 按 钮 ， 然 后 在 几 何 显 示 作 图 区 中 任 意 位 置 点 击 后 ， 会 出 现 一 文 字 编 辑 窗 口 ， 在 其 中 可 运 用 各 式 的 代 数 式 对 象 ， 及 类 程 序 语 法 组 成 一 文 字 字 符 串 ， 并 可 选 择 是 否 搭 配 Latex 表 示 式来呈现(有关 Latex 表示式请参阅相关教学网页 )。 注 意 ， 若 全 句 皆 没 有 双 引
45、号 ， 则视为纯字符串。若与双引号一起运用时，可加入如 ifexpression,“文 字A“, “文 字 B“， 这 样 的 式 子 ， 增 加 其 动 态 显 示 的 效 果 ， 且 字 符 串 的 连 接 须 以 加 号 串 接 。 在 文 字 输 入 窗 口 中 ， 要 使 用 Latex 表 示 式 ， 记 得 一 定 要 点 选 Latex 勾 选 框 ， 系 统 才 会 将 字 符 串 转 译 成 正 确 的 数 学 式 ， 以 增 加 可 读 性 ， 这 对 阅 读 者 来 说 ， 是 一 个 很 方 便的界面。 36 GeoGebra 使 用入门 9. 对象的属性设定 对于任
46、何一个对象，都有其相对应的属性。这些属性大致包含有以下四类： 1. 一般： 包 含 对 象 名 称 、 对 象 的 代 数 式 定 义 、 显 示 与 否 、 名 称 或 数 值 的 显 示 方 式 、 是否设定为辅助对象等。其中名称、代数式定义这二项在造出对象时，大概 就已经被使用者所指定好 。 例如圆 c=circle(A,2)， 其中 c 就是这个圆的名称 ， circle(A,2)是这个圆 c 的定义 。 其余关于显示与否 、 名称或数值的显示方式 、 是否设定为辅助对象等，则可随使用者设定勾选。(如下图一) 2. 颜 色 ： 顾名思义，此即为对象颜色的设定。(如下图二) 3. 样 式
47、 ： 包含线宽等级及填色的比例设定。(如下图三) 4. 进阶： 通常是伴随一个布尔变量或布尔表达式，去设定此对象要显示与否的条 件，若此条件被设定，则在前面一般设定中显示对象与否的勾选框便自动失 效。另外有随着不同对象会出现的不同属性，如代数式显示方式、数值滑杆 设定、文字字号等，使用者可逐一实验。(如下图四) 图一 图二 图三 图四 GeoGebra 使 用入门 37 进阶操作范例 1. 直线方程式、函数 有些对象 ， 无法由几何编辑接口建立 ， 这时以代数式直接在 GeoGebra 下方输 入 列 中 建 立 ， 是 一 个 很 方 便 的 方 法 。 例 如 指 定 系 数 的 直 线
48、方 程 式 、 或 一 些 自 订 函 数 ， 如 L:2x-5y=-2，其中 L 为 此 直 线 方 程 式 的 名 称 ， 注 意 以 冒 号 区 隔 式 子 。 其 中 系 数 与 代 数 项 x 或 y 之 间 ， 须 填 入 一 空 格 ， 以 代 表 不 同 的 对 象 相 乘 ， 若 没 有 以 空 格隔开，系统会将其错认为另一代数变量对象。 函 数 的 建 立 ， 通 常 遵 循 一 般 常 用 的 表 示 法 ， 例 如 可 在 代 数 输 入 列 中 键 入 f(x)=x2+3x-1， 其为一个二次拋物线函数 ， 建立完成 后 ， 系统便直接将此 函数在 几何区中绘出 。 其 中 为次方的连接符 号 ， 例如在本例 中 ， x2就代表 x 的 2 次 方。 38 GeoGebra 使 用入门 2. 动态文字处理、代数式定义处理：if 语法的应用 范 例 ： 四 边 形 的 种 类 在文字的呈现处理中 ， 可以搭配一些控制语法如 if 叙述 ， 来强化其动态显示 的 效 果 ， 例
