1、2014 年崇明区高考数学一模卷 (考试时间 120 分钟,满分 150 分) 考生注意: 本考试设试卷和答题纸两部分,试卷包括试题与答题要求,所有答案必须写在答题纸上,做在试卷上一律不得分.答题纸与试卷在 试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位. 一、填空题(每题 4 分,共 56 分) 1.(2014 年 1 月崇明)已知虚数 z 满足等式 ,则 z= 12i .216iz 【解析】 (探究性理解水平/复数的四则运算、共轭复数.)设 ab,则 izab,由题意可得,2(i)(i)=1+6ab ,即 3i=1+6ab,从而 362,则可得 12i. 2. (2014 年 1 月崇
2、明)若关于 x,y 的线性方程组的增广矩阵为 ,该方程组的解为 ,则 mn 的0mn34xy 值等于 24 . 【解析】 (探究性理解水平/利用矩阵解二元线性方程组.)由题意得方程组为 63xyn,因为 34xy,代入方 程组可得 364mn, 21,从而 214mn. 3. (2014 年 1 月崇明)直线 x=2y+1 的一个法向量可以是 2( , ) . 【解析】 (探究性理解水平/直线的法向量.)因为直线为 10xy,所以直线的法向量可以为 (1,2). 4. (2014 年 1 月崇明) 已知全集 U=R, ,则 = 22,log0AxBx UAB1|02x . 【解析】 (探究性理
3、解水平/一元二次不等式的解法、集合的运算.)对于集合 A: 20x()02xx ,所以 |02Ax,对于集合 B: 2log1 2log1x122logl , 1|UB,所以 |0UAx. 5. (2014 年 1 月崇明)某单位有青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍,老、中、青职工共有 430 人. 为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职 工人数为 18 . 【解析】 (探究性理解水平/随机抽样中的分层抽样.)设老年职工有 x人,则中年职工有 2x人,由题意 216043x,解得 90x,即老年职工有 90
4、 人,从而样本中老年职工的人数为 329016=18. 6. (2014 年 1 月崇明)函数 的反函数是 2log(1)yx(1x2) .21()y 【解析】(探究性理解水平/反函数 ) ,21,xxy,则 ,即 2log()y(1y2) 故反函数为: 2log(yx(1x”为全体实数排了一个“序”,类似地,我们在复数集 C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“ ”.定义如下:对于任意两个复数 = + , = + (1zaib2zi ,i 为虚数单位) , “ ”当且仅当“ ”12,ab12z12a 或“ ”.下面命题 1 i 0;若 , ,则 ;若 ,则对于任意12b且 z3z13z1
5、2z , ;对于复数 ,若 ,则 .其中真命题是 .(写出zCz122 所有真命题的序号) 【解析】(解释性理解水平/复数的新定义.)对于, 0i1i0i,所以正确;设33izab ,因为 23z,所以必有 23a ,又 12z,必有 2a ,所以 13a ,则当 13a时,1 ;当 1时,有 123b,推得 ,所以正确;令 izb,因为 2z,故22,a ,当 时, 12b,故 12, 12,推得 12z;当1a 时, 1,推得 zz;所以正确;对于取 0iz,22i,izbz ,不妨令 12,a,则 12z,此时 11ba, 22izba,不满足 12z,故 不正确. 14. (2014
6、年 1 月崇明) *已知 ,当 时,函数 的最小值为 ,则 t 的取值范围是 1t,2xt4xy40,2 . 【解析】(探究性理解水平/函数的基本性质,二阶行列式的计算.) 4xy(4)x,24,0xy ,函数图像如图所示.令 4y,解得 2x或 2. ,2t 21tt 得 21tt 即 02t ,即 0,. 二、选择题(每题 5 分,共 20 分) 15. (2014 年 1 月崇明)设 R 则“ ”是“ ”成立的 (C)a210+a1 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件 【解析】 (解释性理解水平/充分必要条件的判定.) 因为 210a,又
7、2213()04a,所以 10a,即 1,而 ,所以 ,因为由 a,但是 推不出 a,则 210a是 1的 必要不充分条件,故选 C. 16. (2014 年 1 月崇明)已知数列 是无穷等比数列,其前 n 项和是 ,若 ,则 的值n nS234,limnS 为 (D) A. B. C. D.234383163 【解析】 (探究性理解水平/等比数列的前 n项和公式和数列的极限.)因为 2341a2 ()1aq 1283qa,则 nS1()naq81()6132()32nn,所以 1616limli()323nnS,故选 D. 17. (2014 年 1 月崇明)对于函数 ,下列选项中正确的是
8、(B )22()cos()si()11fxx A. 在 内是递增的 B. 的图像关于原点对称(fx,42f C. 的最小正周期为 2 D. 的最大值为 1) ()x 【解析】 (探究性理解水平/两角和差正弦、余弦公式、二倍角公式、正弦函数的图像与性质.)因为22()cos()sin()11fxx = cos(2)cos(2)66x=1in6 = i,其最小正周期 T,最大值为 1,因为 ()fx在 22kxk- +内递增, 即 ()fx在 ,4k-+内递增,综上选 B. 18. (2014 年 1 月崇明) *已知圆 O 的半径为 1,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为两切点,那么 的最
9、小值PAB 等于 (D) A. B. C. D.42324232 【解析】 (探究性理解水平/直线与圆的位置关系、平面向量运算的坐标表示、基本不等式.)以圆心为原点, OP 所在直线为 x 轴建立如图所示坐标系.设 (cos,in)A,则易知 1(cos,in),(,0)cosBP,1(cos,sin)PA 1PB2B 2 22cs(cs)cos 223sc32 (当 且仅当 22cso时取等号),故选 D. 三、解答题(本大题共 74 分,解答下列各题需要必要的步骤) 19. (2014 年 1 月崇明)(本题 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) (1)解方程: 2335
10、log()1log()xx (2)(理)已知命题 ,命题 ,且命题 是 的必要条件,求实数 m 的取值范围.:1m (文)已知集合 A= ,集合 ,集合 ,并且 ,求 a(1,3)230Bx 1,CxaaR CAB 的取值范围. 【解】 (探究性理解水平,解释性水平/解对数方程、解绝对值不等式、充分必要条件) (1)由原方程化简得 23335log()logl()xx即: 233log()log(5)xx 所以,2350x ,解得 . (2) (理) :1mx,由于命题 是 的必要条件, 所以 ,所以 3 . (文) 0,B,所以 0,AB,由于 CAB, 所以 1a ,所以 1,2a. 20
11、. (2014 年 1 月崇明)(本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 在 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,S 是该三角形的面积. (1)若 ,求角 B 的度数;1(sinco,)(,sino),/22Bab (2)若 a=8, ,求 b 的值.83S 【解】 (探究性理解水平/向量共线的坐标运算、二倍角公式、余弦定理) (1)角 ABC、 、 的对边分别为 ac、 、 ,由 得1sinco221sincoB ,所以 1s2,从而 3B. (2)由 8,3a, 8S得, in8ac,所以 4c. 又 2csb,解得 47b. 21. (2014 年 1 月
12、崇明) *(本题 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3) 小题 6 分) 已知圆 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 相切.1C1:20lxy (1)求圆的标准方程; (2)设点 A 为圆上一动点,AN x 轴于 N,若动点 Q 满足 ,(其中 m 为非零常数) ,试求动点(1)OmAON Q 的轨迹方程 ;2C (3)在(2)的结论下,当 时,得到动点 Q 轨迹曲线 C,与 垂直的直线 l 与曲线 C 交于 B、D 两点,求3m1l 面积的最大值 .OBD 【解】 (探究性理解水平/圆的标准方程、动点的轨迹方程、点到直线的距离公式、直线方程、基本不等式.) (1)设圆
13、的半径为 r,圆心到直线 1l距离为 d, 则 2d ,所以,圆 1C的方程为 24xy. (2)设动点 (,)Qxy, 0(,)A, N 轴于 , 0(),由题意,00(,)(,)(1,)xym ,所以 0xym,即 01 xy . 将 (,)A代入 2+4xy,得动点 Q的轨迹方程 2C: 24x . (3) m时,曲线 C的方程为 213xy ,设直线 l的方程为 yxb,设直线 l与椭圆 2143xy 交点1(,)Bxy , 2(,)Dy,联立方程 24= bxy 得 2278410.xb 因为 2=48(7)0b,解得 27b,且 12, 217 ,又因为点 O到直线 l的距离 2b
14、d,211()4BDxx = 26.2237(7)3OBbSbb .(当且仅当 2=7b即 27时取到最大值) , 面积的最大值为 . 22. (2014 年 1 月崇明) *(本题 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3) 小题 6 分) 已知数列 的前 n 项和为 ,且 .anS11,2nnaa (1)证明数列 是等比数列;n (2)求通项 与前 n 项和 ;anS (3)设 ,若集合 恰有 4 个元素,求实数 的取值范围.*(2),nbN*,nMbN 【解】 (探究性理解水平/等比数列的概念、数列的通项公式及前 n 项和) (1)因为 12a, 1nna,当 *时,
15、 0na . 又 , *:()N为常数,所以 n是以 12为首项, 为公比的等比数列. (2)由 na是以 12为首项, 为公比的等比数列得, 1=nna , 所以 n.由错项相减得 122nnS . (3)因为 *(2),)nnbN,所以 12()nnnnbS , 由于 12+13n ,所以, 21, 234.b. 因为集合 *|nMb , 恰有 4 个元素,且 14, 2, 3158b, 32,所以352 . 23. (2014 年 1 月崇明) *(本题 18 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3) 小题 6 分) 已知函数 ,对任意的 恒有 成立.2(2,()(,)f
16、xbgxbcRx()fxg (文 1)记 ,如果 h(x)为奇函数,求 b,c 满足的条件;)(hf (1)当 b=0 时,记 ,若 h(x)在 上为增函数,求 c 的取值范围;)(gf2,) (2)证明:当 x 0 时, 成立;c (3) (理 3)若对满足条件的任意实数 b,c,不等式 恒成立,求 M 的最小值.2()()gcbMc 【解】 (探究性理解水平/函数的奇偶性,单调性,不等式证明) (文 1)因为任意的 xR恒有 ()fxg 成立,所以对任意的 xR, 2bxc ,即2)0xbc 恒成立,所以 2)4()0bcb ,从而 214c ,即: .设 ()gxhf的定义域 为 D,因
17、为 (hx是奇函数,所以对于任意 xD, (hx成立,解得 0b,所以 , 1c . (1)因为任意的 R恒有 ()fg 成立, 所以对任意的 x, 2bxc ,即 2()xbc 恒成立. 所以 24()0bc ,从而 14 ,即 . 当 0时,记 2() ()gxchxcf ,因为 ()hx在 2,上为增函数,所以任取12,+x , 12, 1212()()0ff恒成立.即任取 12,+x, 12x,12()0c 成立,也就是 12cx成立.所以 4c ,即 的取值范围是 ,4. (2)由(1)得, 且 4b ,所以 21b ,因此 2()0cb. 故当 0x 时,有 2()()()0xcgcx .即当 x 时, 2+gxc . (3) (理 3)由(2)知, b ,当 时,有 222()gcbbbM , 设 btc,则 1t,所以 12t ,由于 1()yt的值域为 3,;当 c时, M的 取值范围是 3+2, ; 当 cb,由(1)知, 2,bc,此时 ()8gcb或 0, 2cb,从而23()()gc 恒成立,综上所述, M的最小值为 3. 欢迎加入 2014 一起加油 QQ 群 群号 220234804