1、2014 年崇明区高考数学一模卷 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 考生注意： 本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答案必须写在答题纸上，做在试卷上一律不得分.答题纸与试卷在 试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位. 一、填空题（每题 4 分，共 56 分） 1.(2014 年 1 月崇明)已知虚数 z 满足等式 ，则 z= 12i .216iz 【解析】 （探究性理解水平/复数的四则运算、共轭复数.）设 ab，则 izab，由题意可得，2(i)(i)=1+6ab ，即 3i=1+6ab，从而 362，则可得 12i. 2. (2014 年 1 月崇
2、明)若关于 x,y 的线性方程组的增广矩阵为 ，该方程组的解为 ，则 mn 的0mn34xy 值等于 24 . 【解析】 （探究性理解水平/利用矩阵解二元线性方程组.）由题意得方程组为 63xyn，因为 34xy，代入方 程组可得 364mn， 21，从而 214mn. 3. (2014 年 1 月崇明)直线 x=2y+1 的一个法向量可以是 2（ ， ） . 【解析】 （探究性理解水平/直线的法向量.）因为直线为 10xy，所以直线的法向量可以为 (1,2). 4. (2014 年 1 月崇明) 已知全集 U=R， ，则 = 22,log0AxBx UAB1|02x . 【解析】 （探究性理
3、解水平/一元二次不等式的解法、集合的运算.）对于集合 A： 20x()02xx ，所以 |02Ax，对于集合 B： 2log1 2log1x122logl ， 1|UB，所以 |0UAx. 5. (2014 年 1 月崇明)某单位有青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍，老、中、青职工共有 430 人. 为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职 工人数为 18 . 【解析】 （探究性理解水平/随机抽样中的分层抽样.）设老年职工有 x人，则中年职工有 2x人，由题意 216043x，解得 90x，即老年职工有 90
4、 人，从而样本中老年职工的人数为 329016=18. 6. (2014 年 1 月崇明)函数 的反函数是 2log(1)yx（1x2） .21()y 【解析】(探究性理解水平/反函数 ) ,21,xxy,则 ，即 2log()y（1y2） 故反函数为： 2log(yx（1x”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集 C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”.定义如下：对于任意两个复数 = + ， = + （1zaib2zi ，i 为虚数单位） ， “ ”当且仅当“ ”12,ab12z12a 或“ ”.下面命题 1 i 0；若 ， ，则 ；若 ，则对于任意12b且 z3z13z1
5、2z ， ；对于复数 ，若 ，则 .其中真命题是 .（写出zCz122 所有真命题的序号) 【解析】(解释性理解水平/复数的新定义.)对于， 0i1i0i，所以正确；设33izab ，因为 23z，所以必有 23a ，又 12z，必有 2a ，所以 13a ，则当 13a时，1 ；当 1时，有 123b，推得 ，所以正确；令 izb，因为 2z，故22,a ，当 时， 12b，故 12， 12，推得 12z；当1a 时， 1，推得 zz；所以正确；对于取 0iz，22i,izbz ，不妨令 12,a，则 12z，此时 11ba， 22izba，不满足 12z，故 不正确. 14. (2014
6、年 1 月崇明) *已知 ，当 时，函数 的最小值为 ，则 t 的取值范围是 1t,2xt4xy40,2 . 【解析】(探究性理解水平/函数的基本性质，二阶行列式的计算.) 4xy(4)x,24,0xy ,函数图像如图所示.令 4y,解得 2x或 2. ,2t 21tt 得 21tt 即 02t ，即 0,. 二、选择题（每题 5 分，共 20 分） 15. (2014 年 1 月崇明)设 R 则“ ”是“ ”成立的 （C）a210+a1 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件 【解析】 （解释性理解水平/充分必要条件的判定.） 因为 210a，又
7、2213()04a，所以 10a，即 1，而 ，所以 ，因为由 a，但是 推不出 a，则 210a是 1的 必要不充分条件,故选 C. 16. (2014 年 1 月崇明)已知数列 是无穷等比数列，其前 n 项和是 ，若 ，则 的值n nS234,limnS 为 （D） A. B. C. D.234383163 【解析】 （探究性理解水平/等比数列的前 n项和公式和数列的极限.）因为 2341a2 ()1aq 1283qa，则 nS1()naq81()6132()32nn，所以 1616limli()323nnS,故选 D. 17. (2014 年 1 月崇明)对于函数 ，下列选项中正确的是
8、（B ）22()cos()si()11fxx A. 在 内是递增的 B. 的图像关于原点对称(fx,42f C. 的最小正周期为 2 D. 的最大值为 1) ()x 【解析】 （探究性理解水平/两角和差正弦、余弦公式、二倍角公式、正弦函数的图像与性质.）因为22()cos()sin()11fxx = cos(2)cos(2)66x=1in6 = i，其最小正周期 T,最大值为 1，因为 ()fx在 22kxk- +内递增， 即 ()fx在 ,4k-+内递增，综上选 B. 18. (2014 年 1 月崇明) *已知圆 O 的半径为 1，PA,PB 为该圆的两条切线，A，B 为两切点，那么 的最
9、小值PAB 等于 （D） A. B. C. D.42324232 【解析】 （探究性理解水平/直线与圆的位置关系、平面向量运算的坐标表示、基本不等式.)以圆心为原点， OP 所在直线为 x 轴建立如图所示坐标系.设 (cos,in)A，则易知 1(cos,in),(,0)cosBP,1(cos,sin)PA 1PB2B 2 22cs(cs)cos 223sc32 （当 且仅当 22cso时取等号）,故选 D. 三、解答题（本大题共 74 分，解答下列各题需要必要的步骤） 19. (2014 年 1 月崇明)（本题 12 分，第(1)小题 6 分，第(2)小题 6 分） (1)解方程： 2335
10、log()1log()xx (2)（理）已知命题 ，命题 ，且命题 是 的必要条件，求实数 m 的取值范围.:1m (文)已知集合 A= ，集合 ，集合 ,并且 ,求 a(1,3)230Bx 1,CxaaR CAB 的取值范围. 【解】 （探究性理解水平,解释性水平/解对数方程、解绝对值不等式、充分必要条件） （1）由原方程化简得 23335log()logl()xx即： 233log()log(5)xx 所以，2350x ，解得 . （2） （理） :1mx，由于命题 是 的必要条件， 所以 ，所以 3 . (文) 0,B,所以 0,AB,由于 CAB, 所以 1a ，所以 1,2a. 20
11、. (2014 年 1 月崇明)（本题 14 分，第(1)小题 6 分，第(2)小题 8 分） 在 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，S 是该三角形的面积. (1)若 ，求角 B 的度数；1(sinco,)(,sino),/22Bab (2)若 a=8， ，求 b 的值.83S 【解】 （探究性理解水平/向量共线的坐标运算、二倍角公式、余弦定理） (1)角 ABC、 、 的对边分别为 ac、 、 ，由 得1sinco221sincoB ，所以 1s2,从而 3B. （2）由 8,3a， 8S得， in8ac，所以 4c. 又 2csb，解得 47b. 21. (2014 年 1 月
12、崇明) *（本题 14 分，第(1)小题 4 分，第(2)小题 4 分，第(3) 小题 6 分） 已知圆 的圆心在坐标原点 O，且恰好与直线 相切.1C1:20lxy (1)求圆的标准方程； (2)设点 A 为圆上一动点，AN x 轴于 N，若动点 Q 满足 ,（其中 m 为非零常数） ，试求动点(1)OmAON Q 的轨迹方程 ；2C (3)在(2)的结论下，当 时，得到动点 Q 轨迹曲线 C，与 垂直的直线 l 与曲线 C 交于 B、D 两点，求3m1l 面积的最大值 .OBD 【解】 （探究性理解水平/圆的标准方程、动点的轨迹方程、点到直线的距离公式、直线方程、基本不等式.） （1）设圆
13、的半径为 r，圆心到直线 1l距离为 d， 则 2d ，所以，圆 1C的方程为 24xy. （2）设动点 (,)Qxy， 0(,)A， N 轴于 , 0()，由题意，00(,)(,)(1,)xym ，所以 0xym，即 01 xy . 将 (,)A代入 2+4xy，得动点 Q的轨迹方程 2C： 24x . （3） m时，曲线 C的方程为 213xy ，设直线 l的方程为 yxb，设直线 l与椭圆 2143xy 交点1(,)Bxy ， 2(,)Dy，联立方程 24= bxy 得 2278410.xb 因为 2=48(7)0b，解得 27b，且 12， 217 ，又因为点 O到直线 l的距离 2b
14、d，211()4BDxx = 26.2237(7)3OBbSbb .（当且仅当 2=7b即 27时取到最大值） ， 面积的最大值为 . 22. (2014 年 1 月崇明) *（本题 16 分，第(1)小题 4 分，第(2)小题 6 分，第(3) 小题 6 分） 已知数列 的前 n 项和为 ，且 .anS11,2nnaa (1)证明数列 是等比数列；n (2)求通项 与前 n 项和 ；anS (3)设 ，若集合 恰有 4 个元素，求实数 的取值范围.*(2),nbN*,nMbN 【解】 （探究性理解水平/等比数列的概念、数列的通项公式及前 n 项和） （1）因为 12a， 1nna，当 *时，
15、 0na . 又 ， *:()N为常数，所以 n是以 12为首项， 为公比的等比数列. （2）由 na是以 12为首项， 为公比的等比数列得， 1=nna ， 所以 n.由错项相减得 122nnS . （3）因为 *(2),)nnbN，所以 12()nnnnbS ， 由于 12+13n ，所以， 21， 234.b. 因为集合 *|nMb ， 恰有 4 个元素，且 14， 2， 3158b， 32，所以352 . 23. (2014 年 1 月崇明) *（本题 18 分，第(1)小题 6 分，第(2)小题 6 分，第(3) 小题 6 分） 已知函数 ，对任意的 恒有 成立.2(2,()(,)f
16、xbgxbcRx()fxg (文 1)记 ，如果 h(x)为奇函数，求 b，c 满足的条件；)(hf (1)当 b=0 时，记 ，若 h(x)在 上为增函数，求 c 的取值范围；)(gf2,) (2)证明：当 x 0 时， 成立；c (3) （理 3）若对满足条件的任意实数 b,c，不等式 恒成立，求 M 的最小值.2()()gcbMc 【解】 （探究性理解水平/函数的奇偶性，单调性，不等式证明） (文 1)因为任意的 xR恒有 ()fxg 成立，所以对任意的 xR， 2bxc ，即2)0xbc 恒成立，所以 2)4()0bcb ，从而 214c ，即： .设 ()gxhf的定义域 为 D,因
17、为 (hx是奇函数，所以对于任意 xD, (hx成立，解得 0b，所以 ， 1c . （1）因为任意的 R恒有 ()fg 成立， 所以对任意的 x， 2bxc ，即 2()xbc 恒成立. 所以 24()0bc ，从而 14 ，即 . 当 0时，记 2() ()gxchxcf ,因为 ()hx在 2,上为增函数，所以任取12,+x ， 12， 1212()()0ff恒成立.即任取 12,+x， 12x，12()0c 成立，也就是 12cx成立.所以 4c ，即 的取值范围是 ,4. （2）由（1）得， 且 4b ，所以 21b ，因此 2()0cb. 故当 0x 时，有 2()()()0xcgcx .即当 x 时， 2+gxc . （3） （理 3）由（2）知， b ，当 时，有 222()gcbbbM ， 设 btc，则 1t，所以 12t ，由于 1()yt的值域为 3,；当 c时， M的 取值范围是 3+2， ； 当 cb，由（1）知， 2,bc，此时 ()8gcb或 0， 2cb，从而23()()gc 恒成立，综上所述， M的最小值为 3. 欢迎加入 2014 一起加油 QQ 群 群号 220234804
