1、第六章 万有引力与航天 第五节 宇 宙 航 行 “嫦娥三号”卫星是嫦娥绕月探月工程计划中嫦娥系列的第三颗人造绕月探月卫 星“嫦娥三号”要携带探测器在月球着陆，实现月面巡视、月夜生存等重大突破，开展月表 地形地貌与地质构造、矿物组成和化学成分等探测活动根据中国探月工程三步走的规划，中 国将在 2013 年前后进行首次月球软着陆探测和自动巡视勘察 1了解人造地球卫星的最初构想 2知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度的表达式 3掌握人造地球卫星的线速度、角速度、周期和半径的关系 4能运用万有引力定律及匀速圆周运动的规律解决卫星运动的有关问题 一、人造卫星 1牛顿对人造卫星原理的描绘 设想在高山
2、上有一门大炮，水平发射炮弹，初速度越大，水平射程就越大可以想象， 当初速度足够大时，这颗炮弹将不会落到地面，将和月球一样成为地球的一颗人造地球卫星 2人造卫星绕地球运行的动力学原因 人造卫星在绕地球运行时，只受到地球对它的万有引力作用，人造卫星做圆周运动的向 心力由万有引力提供 3人造卫星的运动可近似地看做匀速圆周运动，其向心力就是地球对它的吸引力 G m 2rm r Mmr2 mv2r 4 2T2 由此得出卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径 r 的关系： v T GMr GMr3 4 2r3GM 由此可见，卫星的轨道半径确定后，其线速度、角速度和周期也唯一确定，与卫星的质 量无关，即同一轨
3、道上的不同卫星具有相同的周期、线速度及角速度，而且对于不同轨道，轨 道半径越小，卫星线速度和角速度越大，周期越小 二、宇宙速度 1物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫做第一宇宙速度，也叫地面附近的 环绕速度 2近地卫星的轨道半径为：rR，万有引力提供向心力，则有 m 从而第一宇宙 GMmR2 v2R 速度为：v 7.9km/s. GMR 3第二宇宙速度的大小为 11.2_km/s如果在地面附近发射飞行器，发射速度 7.9 km/sfC，所以卫星 A 滞后于卫星 B，卫星 C 超前于卫星 B D因为各卫星的线速度 vArB，所以 A B. (1)地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向
4、心力，故对卫星 B 有 G (Rh)， Mm（ R h） 2 G mg， MmR2 联立以上两式得 TB2 . （ R h） 3gR2 (2)由题意得( B 0)t2， 又因为 B ， 2TB gR2（ R h） 3 所以解得 t . 2gR2 （ R h） 3 0 答案：(1)2 （ R h） 3gR2 (2) 2gR2 （ R h） 3 0 12人们认为某些白矮星(密度较大的行星)每秒大约自转一周(万有引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2，地球半径 R 约为 6.4103 km) (1)为使其表面上的物体能够被吸引住而不致由于快速转动被“甩”掉，它的密度至少为 多少？ (2)假设
5、某白矮星密度约为此值，且其半径等于地球半径，则它的第一宇宙速度约为多少？ 解析：(1)由于白矮星表面的物体随着它自转做圆周运动的角速度相同，而赤道上的物体 圆周运动的半径最大，所需的向心力最大，最容易被甩掉，只要保证赤道上的物体不被甩掉， 其他物体就不会被甩掉假设赤道上的物体刚好不被甩掉，则白矮星对物体的万有引力恰好提 供物体随白矮星转动的向心力设白矮星质量为 M，半径为 r，赤道上物体的质量为 m， 则有 G m r. Mmr2 4 2T2 白矮星的质量为 M ， 4 3r3GT2 白矮星的密度为 MV GT243 r3 3GT2 kg/m31.4110 11kg/m3. 33.146.6710 111 即要使物体不被甩掉，白矮星的密度至少为 1.411011 kg/m3. (2)白矮星的第一宇宙速度，就是物体在万有引力作用下沿白矮星表面绕它做匀速圆周运 动的速度，则 G m ，白矮星的第一宇宙速度为 Mmr2 v2r v GMr G 43 r3r 43 G r2 433.146.6710 111.4110116.421012 4.0210 7 (m/s) 答案：(1)1.4110 11 kg/m3 (2)4.02107 m/s
