1、 第十章 光的电磁理论基础 1. 一个平面电磁波可以表示为 ,求(1)该140,2cos0(),02xy zzEtEc 电磁波的频率、波长、振幅和原点的初相位？（）拨的传播方向和电矢量的振动方 向？（）相应的磁场的表达式？ 解：（1）平面电磁波 cos()zAt 对应有 。1462,0,3102Hm （2）波传播方向沿 轴，电矢量振动方向为 轴。zy （3） 垂直，传播方向相同，BE与 Bz814602()2zxyCtc . 在玻璃中传播的一个线偏振光可以表示 ，2150,0cos().6yzxzEtc 试求（1）光的频率和波长；（2）玻璃的折射率。 解：（1） 215cos2()cos().
2、6zEAt t 151400vH7/.653.910nkcm （2） 8714.3.90ncv 3.在与一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片，薄片的厚度 ,折射率0.1hm n=1.5,若光波的波长为 ,试计算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的变化。5 解：光程变化为 (1)0.5nhm 相位变化为 )(20.26rad 4. 地球表面每平方米接收到来自太阳光的功率为 1.33kw,试计算投射到地球表面的太阳光 的电场强度的大小。假设太阳光发出波长为 的单色光。n 解： 2201IAc 1320()/vmc 5. 写出平面波 的传播方向上的单位矢量 。8exp(234)160Eiyzt0k
3、 解： Aexp()EikrtAxyzkr000002,3,423499zxyzkxyzk 6. 一束线偏振光以 45 度角从空气入射到玻璃的界面，线偏振光的电矢量垂直于入射面， 试求反射系数和透射系数。设玻璃折射率为 1.5。 解：由折射定律 121212sin2i37co71.5sco30.42cos0.6971.53ssnrnt 7. 太阳光（自然光）以 60 度角入射到窗玻璃（n=1.5）上，试求太阳光的透射比。 解： 221 2122 1112sini213661.54cos4incos30.83()()ssi0.98con()co()()0.9spspn 8. 光波以入射角 从折射
4、率为 介质入射到折射率为 的介质，在两介质的表面上发生11n2n 反射和折射（折射角为 ，见图 10-39） ，s 波和 p 波的振幅反射系数和投射系数分别为 、2 sr 和 、 。若光波从 介质入射到 介质（见图 10-39b）中，入射角为 ，折射角为prstpn1n2 ，s 波和 p 波的反射系数和透射系数分别为 、 和 、 。试利用菲涅耳公式证1 srpstp 明（1） ；（2） ；（3） ；（4） （ 为 p 波的透射ssrprsst 比， 为 s 波的透射比） 。 解： 122112112212cos()cosss(2)coinsincosin3,s()()()ss ssnr rtt
5、同 （ ）（ ） 22 11212214iicoi4ics scosins()(4)3st t 同 （ ） 略 9. 电矢量方向与入射面成 45 度角的一束线偏振光入射到两介质的界面上，两介质的折射 率分别为 ，问：入射角 度时，反射光电矢量的方位角（与入射面所12,.5n150 1n212)a 121n2)b 图 10-39 习题 8 图 成的角）？若 度，反射光的方位角又为多少？160 解： 11122121sin5i()30.7sin()0.35,.5().0.3,0.578.(2)0pspsssppps tgrrAArAtgr （ ） ， 由 折 射 定 律入 射 光由 反 射 系 数
6、 有合 振 幅 与 入 射 面 的 夹 角同 理 .421,.042()83psrAactg 10. 光束入射到平行平面玻璃板上，如果在上表面反射时发生全偏振，试证明折射光在下 表面反射时亦发生全偏振。 证明：当入射角为布儒斯特角时，发生全偏振，反射光中只有 波s 第一次反射时， 1312,90,Bntgn玻 空 第二次反射时， 2 B空 玻 ， = 得证。亦可由 ,spr求 证 . 11. 光束垂直入射到 45 度直角棱镜的一个侧面，并经斜面反射后由底二个侧面射出（见图 10-40） ，若入射光强为 ，求从棱镜透过的出射光强 I？设棱镜的折射率为 1.52，且不考0I 虑棱镜的吸收。 0II
7、 图 10-40 习题 11 图 45 解： 22131221230 000.5()().461.0.,sin.5sin9.461.46.17nII II经 过 第 一 面 时 ， 反 射 比 为经 过 第 三 面 时 ， 反 射 比 为经 过 第 二 面 时 ， =45在 此 面 发 生 全 反 射 ， 即出 射 光 强 为 （ ） （ ） 12. 一个光学系统由两片分离透镜组成，两透镜的折射率分别为 1.5 和 1.7，求此系统的 反射光能损失。如透镜表面镀上曾透膜，使表面反射比降为 0.01，问此系统的光能损失又 为多少？设光束以接近正入射通过各反射面。 解 22222341234)()
8、0.4()().0.6710.820%. 96,4RR10此 系 统 有 4个 反 射 面 ， 设 光 束 正 入 射 条 件 下 ， 各 面 反 射 率 为n-.5-=(+1-.5光 能 损 失 为 （ 初 始 为 I） ， 损 失若 反 射 比 降 为 ， 则 损 失 13. 一半导体砷化镓发光管（见图 10-41） ，管芯 AB 为发光区，其直径 。为了避3dm 免全反射，发光管上部磨成半球形，以使内部发的光能够以最大投射比向外输送。要使发 光区边缘两点 A 和 B 的光不发生全反射，半球的半径至少应取多少？(已知对发射的 的光，砷化镓的折射率为 3.4) 。0.9nm A B 图 10
9、-41 习题 13 图 解： sini1sinsni3.41sinsin.3.4.5.2CRrrRrABRrccdRrm设 半 球 半 径 为 ， 由 正 弦 定 理 ， 管 芯 边 缘 发 光 的 入 射 角 有最 大 为 ， 最 小 为 0，若 时 仍 不 能 发 生 全 反 射 ， 则 内 所 有 光 均 不 会 发 生 全 反 射全 反 射 角 14. 线偏振光在玻璃-空气界面上发生全反射，线偏振光的方位角 度，问线偏振光45 以多大角度入射才能使反射光的 s 波和 p 波的相位差等于 45 度，设玻璃折射率 。1.n 解： 2112221422111cosin(i)sinsin0,4
10、5.6483.5.369.8arcsin.1.CSPtgttg全 反 射 时 ， 波 与 波 相 位 差 为 ， 且将 代 入 有 或 或 ， 而上 述 答 案 均 可 15. 线偏振光在 和 介质的界面发生全反射,线偏振光的方位角 度,证明当1n2 4521cosn 时( 是入射角),反射光波和波的相位差有最大植。式中 。 21/n 证明： 2 2212222222 2cosincos1,s1 10,1121SPntgtgtgyxxnyxnxxnxdxyxnxxnx全 反 射 时 ， 波 与 波 相 位 差 为若 最 大 ， 则 最 大 ， 令令 则 有 212cos(),n当 时 取 最
11、大 16. 圆柱形光纤（图 10-42）其纤芯和包层的折射率分别为 和 ，且 。 （1）证明1n22n 入 射光的最大孔径角 满足关系式 （2）若 求孔径角？2u1sin;u12.6,.5, 解： 2122110211sin,sinco2.6,.5arcsin8c nu若 u c 2n1 图 10-42 习题 16 图 17. 已知硅试样的相对介电常数 ，电导率 ，证明当电磁波的频率01212.cm 时，硅试样具有良导体作用。计算 时电磁波对这种试样的穿透深度。910HZ 60HZ 解： 9729 72361014100.35612HzCHz m当 时 ， 介 质 可 看 作 良 导 体对 于
12、 硅 时 ， 硅 具 有 良 导 体 作 用穿 透 深 度 x= 18. 铝在 时，有 ， ，试求正入射时的反射比和相位变化。5nm.5nk 解： 2 2122.31.50631.0.57.59.kntgk正 入 射 时 19. 两束振动方向相同的单色光波在空间某一点产生的光振动分别表示为 和 ，若 ， ，11cos()Eat22cos()Eat1520HZ16/avm ， ， ，求合振动的表示式。28/vm0/ 解： 12112221215coscoscos0/sini4cos3053.0atatAtAvmatgEt 合 振 动其 中 20. 利用波的复数表达式求两个波 和 的合成波。1co
13、s()Eakxt2cos()Eakxt 解： 122expexp2sincosiniititEaikaktkx与 的 复 数 表 达 式 为=+t t取 实 部 RE 21. 一束沿 方向传播的椭圆偏振光表 ，z 00(,)co()cos()4EztxAkztyAkzt 试求偏振椭圆的方位角和椭圆长半轴及短半轴大小。 解： 12221 2,4cos,290,45sinisn1.3,0.54, 1aAkzatgtgAtgAtg221由 题 知方 位 角 即设 长 短 半 轴 分 别 为 ， ， 则 有+=求 得 其 中 略 掉 项 22. 有一菲涅耳棱体（见图 10-21） ，其折射率为 1.5
14、，入射线偏振光的电矢量与入射面 （即图面）成 45 度角，求（1）棱体的顶角 取多大时，能使从棱体射出圆偏振光？ （2）若棱体的折射率为 1.49，能否产生圆偏振光？ 解： 2223221cosin8510,sin0sisin1 mctgdtg 因 为 入 射 光 的 振 动 方 向 与 入 射 面 夹 角 为 45， 所 以 S波 与 P波 的 振 幅相 同 ， 所 以 只 需 两 次 全 反 射 使 S、 P拨 相 位 差 为 即 可 ， 那 么 每 次 反 射产 生 的 相 位 差 为 ， 有得 或 对 于 固 定 的 必 定 有 极 大 值 ， 将 上 式 对 求 导得 存 2110.
15、49.4.32,mntgn在 极 大 值 ， 不 可 能 产 生 圆 偏 振 光 23. 又旋圆偏振光以 50 度角入射到空气-玻璃界面（玻璃折射率为 1.5） ，试决定放射波和 透射波的偏振状态。 解：入射为右旋圆偏振光，如图，可写为 cosEatsin2pat 若设 ，则布儒斯特角 ，所以反射光中 S 波与 P 波均存在。有1.5n波 56B sin2 issspErEratt 比 落后 相位，且有s2spr 反射光为左旋椭圆偏振光 对于透射光 cos 2spPpEttat 投射光为右旋椭圆偏振光。spt 24. 确定其正交分量由下面两式表示的光波的偏振态：0 05(,)cos(),(co
16、s()4x yzzEztAtEtAt 解：对于合成波有 1212,a 方位角 21 3cos,4tg 又 2sinisn21,(tg略 ） 为右旋0tg 又设长短轴为 12,A （1）21A 且有 （2）221A 12.7,0.9A 25. 真空中沿 方向传播的两个单色光波为z ，若12cos(),cos()()zzEavtEavt 试求合成波在 和 各处的1480/,60,0,mHZ0,1zm.5z 强度随时间的变化关系。若两波频率差 ，试求合成波振幅变化和强度变化831HZ 的空间周期。 解：令 1212,k 则 11cosEazt22k 则合成波强度 24csmItkz 其中 81210
17、m rad1123k I4280costz 时 Iz42810cos3t 时 I1 时 I.5z428cst 若 830Hz310mrad1mk142rA6140kA coscosmEakztkzt 空间周期为86142310420z2m24csmItkz 空间周期为8ot 1 26. 试计算下列各情况的群速度：（1） （深水波， 为重力加速度） ；（2）2gg （浅水波，T 为表面张力， 为质量密度） 。2 解：群速度 gdv （1） 1222gv （2） 1 32 2gTdvTv v 27. 试求图 10-43 所示的周期性矩形波的傅里叶级数表达式，并绘出其频谱图。 解：周期性矩形波为偶函
18、数，所以 0nB240112AEzdz242coscossinunkkzd 即 1234,0,0AA coscos57fzkzkz 图略 28. 求图 10-44 所示周期性三角波的傅里叶分析表达式，并绘出其频谱图。 4ZE(z) 图 10-43 习题 27 图 E(Z)22 Z 图 10-44 习题 28 图 解：偶函数 0nB220014AEzdz2220coscoscos1unknkzdn 即 41232,09AA2221cosscos54fzkzkzkz 29. 试求图 10-45 所示的矩形脉冲的傅里叶变换，并绘出其频谱图。 解： 22sinsiLikzikz LAkfedec 30
19、. 试求图 10-46 所示的三角形脉冲的傅里叶变换。 解： cosinikzAkfedfzkzd-L L Z E(z) 1 图 10-45 习题 29 图 Z E(z) -L L0 L 图 10-46 习题 30 图 0cos2Lfzkdfz220 121cosinL kLc 31. 氪同位素 放电管发出的波长 的红光是单色性很好的光波，其波列86Kr605.7nm 长度约为 ，试求该波的波长宽度和频率宽度。70m 解： 24651Lc4995.210.31067Hz 32.M1、M2 是两块平行放置的玻璃片(n=1.50)，背面涂黑。一束自然光以角入射到 M1 上的 A 点，反射至 M2
20、上的 B 点，再出射。试确定 M2 以 AB 为轴旋转一周时，出射光强的变化规 律。 解由题设条件知，两镜的入射角均为，且有 对于 M1，有 由于是自然光入射，p、s 分量无固定相位关系，光强相等，故 1B 69.390.5tan2121B 1479.0)sin()(0)( 212spr 0174.0)(21Isp B 式中，I 0是入射自然光强；I 1是沿 AB 的反射光强，反射光是垂直于图面振动的线偏振光。 对于 M2，假设在绕 AB 轴旋转的任一位置上，入射面与图面的夹角为，则沿 AB 的入射光可 以分解为 p 分量和 s 分量，它们之间有一定位相差，其振幅为 由于此时的入射角也为，所以： 因此，自 M2 出射光的振幅为 即自 M2 出射光的强度为： 结论：出射光强依 M2 相对于 M1 的方位变化，符合马吕斯（Malus）定律。 cosin1IEsB3846.0)sin(021pr cos)3846.0(0 1 IErEssp2022cos1.)(IIs
