1、广东省东莞市 2012-2013 学年九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1 （3 分） （2013 怀柔区二模）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分） （2012 定结县模拟）下列根式中不是最简二次根式的是（ ） A B C D 3 （3 分）方程 x（x+1）=0 的根为（ ） A 0 B 1 C 0，1 D 0，1 4 （3 分）75的圆心角所对的弧长是 2.5cm，则此弧所在圆的半径是（ ） A 6cm B 7cm C 8cm D 9cm 5 （3 分）下列事件中，必然发生的是（ ） A 某射击运动射击一
2、次，命中靶心 B 通常情况下，水加热到 100时沸腾 C 掷一次骰子，向上的一面是 6 点 D 抛一枚硬币，落地后正面朝上 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6 （3 分） （1997 江西）计算： = _ 7 （3 分） （2012 天津）袋子中装有 5 个红球和 3 个黑球，这些球除了颜色外都相同从袋子中随机的摸出一个球， 则它是红球的概率是 _ 8 （3 分） （2012 和平区模拟）把图中的五角星图案，绕着它的中心 点 O 进行旋转，那么至少旋转 _ 度，才能与自身重合 9 （3 分）已知 1 是关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的一个根，那么 m+n= _ 10
3、 （3 分）在直径为 10cm 的 0 中，弦 AB 的长为 5cm，则点 0 到 AB 的距离是 _ 三、解答题（每小题 6 分，共 30 分） 11 （ 6 分）计算： 12 （6 分）解方程：x 2+2x4=0 13 （6 分）如图，已知ABC 在平面直角坐标系中的位置 （1）点 C 关于原点中心对称的点的坐标是 _ ； （2）画出ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90后的图形ABC 14 （6 分）已知 、 是关于 x 的一元二次方程 3x21=2x+5 的两个实数根，求 的值 15 （6 分）如图，已知0 的半径为 5，AB 是 0 的直径， 点 C、D 都在 0 上，若 D=30
4、，求 AC 的长 四、解答题（每小题 8 分，共 40 分） 16 （8 分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的 3 个扇形，转动转盘后任其自由停止，其中 某个扇形会恰好停在指针所指的位置（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次） （1）转盘转动一次，指针所指的颜色不是红色的概率是多少？ （2）转盘转动两次，两次指针指向颜色相同的概率是多少？（用列表法或画树状图） 17 （8 分）已知关于 x 的方程（x3） （x 2）p 2=0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）当 p=2 时，求该方程的根 18 （8 分）如图，有一块长方形铁皮，长 40cm，宽 30cm，在它
5、的四角各切去 一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果 要制作的无盖方盒的底面积为 600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 19 （8 分）如图，ABE 和 ACD 都是等边三角形， AEC 逆时针旋转 一定角度后能与ABD 重合，EC 与 BD 相交于点 F （1）旋转中心是 _ ，旋转角至少是 _ 度； （2）求DFC 的度数 20 （8 分）如图，RtABC 中， C=90， ABC 的内切圆 0 与 BC、CA、AB 分别切于点 D、E、F （1）若 BC=40cm，AB=50cm，求 0 的半径； （2）若0 的半径为 r，ABC 的周长为 ，求A
6、BC 的面积 广东省东莞市 2012-2013 学年九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1 （3 分） （2013 怀柔区二模）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 考点： 中心对称图形；轴对称图形1053288 专题： 常规题型 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解答： 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意 故选 C 点评： 本题
7、考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关 键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重 合 2 （3 分） （2012 定结县模拟）下列根式中不是最简二次根式的是（ ） A B C D 考点： 最简二次根式1053288 分析： 找到被开方数中含有开得尽方的因数的式子即可 解答： 解：各选项中只有选项 C、 =2 ，不是最简二次根式，故选 C 点评： 最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式 3 （3 分）方程 x（x+1）=0 的根为（
8、） A 0 B 1 C 0，1 D 0，1 考点： 解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解 1053288 专题： 因式分解 分析： 两个因式的积为 0，这两个因式可以分别为 0，求出方程的两个根 解答： 解：x（x+1）=0 x=0 或 x+1=0 x1=0，x 2=1 故选 C 点评： 本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把一元二次方程化成两个因式的积的形式，然后求出方程的 两个根 4 （3 分）75的圆心角所对的弧长是 2.5cm，则此弧所在圆的半径是（ ） A 6cm B 7cm C 8cm D 9cm 考点： 弧长的计算1053288 分析： 根据弧长公式 L= ，将 n=
9、75，L=2.5 ，代入即可求得半径长 解答： 解： 75的圆心角所对的弧长是 2.5cm， 由 L= ， 2.5= ， 解得：r=6， 故选：A 点评： 此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：L= 才能准确的解题 5 （3 分）下列事件中，必然发生的是（ ） A 某射击运动射击一次，命中靶心 B 通常情况下，水加热到 100时沸腾 C 掷一次骰子，向上的一面是 6 点 D 抛一枚硬币，落地后正面朝上 考点： 随机事件1053288 专题： 应用题 分析： 必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件 解答： 解： A，C，D 选项为不确定事件，即随机事件，故错误 是必然发
10、生事件的是：通常情况下，水加热到 100时沸腾 故选 B 点评： 本题主要考查随机事件的概念用到的知识点为：随机事件是可能发生也可能不发生的事件，必然事件是 一定发生的事件 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6 （3 分） （1997 江西）计算： = 5 考点： 二次根式的加减法1053288 分析： 根据二次根式相加减运算法则计算即可 解答： 解：原式= 3 +6 =2 +3 =5 故答案为：5 点评： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方 法为系数相加减，根式不变 7 （3 分） （2012 天津）袋子中装有 5 个红球和
11、 3 个黑球，这些球除了颜色外都相同从袋子中随机的摸出一个球， 则它是红球的概率是 考点： 概率公式1053288 分析： 根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概 率 解答： 解；袋中球的总数为：5+3=8， 取到红球的概率为： ； 故答案为： 点评： 此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 8 （3 分） （2012 和平区模拟）把图中的五角星图案，绕着它的中心点 O 进行旋转，那么至少旋转 72 度，才 能与自身重合 考点： 旋转对称图
12、形1053288 分析： 角星能被从中心发出的射线平分成相等的 5 部分，再由一个周角是 360即可求出最小的旋转角度 解答： 解：五角星可以被中心发出的射线平分成 5 部分， 那么最小的旋转角度为：3605=72 故答案为：72 点评： 本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫 做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角 9 （3 分）已知 1 是关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的一个根，那么 m+n= 1 考点： 一元二次方程的解1053288 分析： 根据一元二次方程的解的定义，将 x=1 代入关于 x
13、 的一元二次方程 x2+mx+n=0 即可求得 m+n 的值 解答： 解： 1 是关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的一个根， x=1 满足关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0， 1+m+n=0， 解得 m+n=1 故答案是：1 点评： 此题主要考查了方程解的定义此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式 化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值 10 （3 分）在直径为 10cm 的 0 中，弦 AB 的长为 5cm，则点 0 到 AB 的距离是 cm 考点： 垂径定理；勾股定理1053288 专题：
14、探究型 分析： 根据题意画出图形，先根据O 的直径为 10cm，求出其半径长，再过点 O 作 ODAB 于点 D，根据垂径 定理求出 AD 的长，在 RtOAD 中，根据勾股定理即可得出 OD 的长 解答： 解：如图所示： O 的直径为 10cm， OA=5cm， 过点 O 作 ODAB 于点 D， AB=5cm， AD= AB= 5= cm， 在 RtOAD 中， OA=5cm，AD= cm， OD= = = cm 故答案为： cm 点评： 本题考查的是垂径定理及勾股定理根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，根据勾股定理 求解是解答此题的关键 三、解答题（每小题 6 分，共 30
15、分） 11 （6 分）计算： 考点： 二次根式的加减法1053288 分析： 先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可 解答： 解：原式= = 点评： 本题考查了对二次根式的化简及合并的基本计算 12 （6 分）解方程：x 2+2x4=0 考点： 解一元二次方程-配方法1053288 分析： 解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数 解答： 解：移项得 x2+2x=4， 配方得 x2+2x+1=4+1， 即（x+1） 2=5， 开方得 x+1= ， x1= ，x 2= 点评： 用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如 x2+px+q=0 型：第一步移项，把常数
16、项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半 的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可 （2）形如 ax2+bx+c=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 x2+px+q=0，然后配方 13 （6 分）如图，已知ABC 在平面直角坐标系中的位置 （1）点 C 关于原点中心对称的点的坐标是 （ 5，1） ； （2）画出ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90后的图形ABC 考点： 作图-旋转变换1053288 专题： 作图题 分析： （1）先写出点 C 的坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答； （2）根据网格结构找出点 B、C 绕点 A 逆时针方
17、向旋转 90后的对应点 B、C的位置，然后顺次连接即 可 解答： 解：（1）点 C 的坐标为（5，1） ， 点 C 关于原点中心对称的点的坐标是（ 5，1） ； （2）ABC 如图所示 点评： 本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键 14 （6 分）已知 、 是关于 x 的一元二次方程 3x21=2x+5 的两个实数根，求 的值 考点： 根与系数的关系1053288 分析： 根据 、 是关于 x 的一元二次方程 3x21=2x+5 的两个实数根，求出 + 和 的值，再把要求的式子变 形为 ，最后把 + 和 的值代入，计算即可 解答： 解： 、 是关于 x
18、 的一元二次方程 3x21=2x+5 的两个实数根， 而方程 3x21=2x+5 即为 3x22x6=0， += ， =2， = = = 点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的 解题方法 15 （6 分）如图，已知0 的半径为 5，AB 是 0 的直径，点 C、D 都在0 上，若 D=30，求 AC 的长 考点： 圆周角定理；含 30 度角的直角三角形；勾股定理1053288 分析： 连接 BC，则 AB 是直径，根据圆周角定理即可求得A=D=30 ，在直角 ABC 中，利用三角函数即可求 得 AC 的长度 解答： 解：连接 BC
19、AB 是0 的直径， ACB=90， 在直角ABC 中， A=D=30，AB=25=10 AC=ABcosA=10 =5 点评： 本题考查了圆周角定理以及三角函数，正确理解圆周角定理是关键 四、解答题（每小题 8 分，共 40 分） 16 （8 分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的 3 个扇形，转动转盘后任其自由停止，其中 某个扇形会恰好停在指针所指的位置（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次） （1）转盘转动一次，指针所指的颜色不是红色的概率是多少？ （2）转盘转动两次，两次指针指向颜色相同的概率是多少？（用列表法或画树状图） 考点： 列表法与树状图法1053288 分析
20、： （1）由于颜色为蓝色或黄色转盘面积的三分之二，所以根据概率的定义得到指针所指的颜色不是红色的 概率= ； （2）先化树状图展示所有 9 种等可能的结果，其中颜色相同占 3 种，然后根据概率定义求解 解答： 解：（1）转盘转动一次，指针所指的颜色不是红色的概率= ； （2）画树状图如下： ， 共有 9 种等可能的结果，其中颜色相同占 3 种， 所以转盘转动两次，两次指针指向颜色相同的概率= = 点评： 本题考查了列表法与树状图法：先通过列表法或树状图法展示一个实验发生的所有等可能的结果，再从中 找出某事件发生的结果数，然后根据概率的定义求这个事件的概率 17 （8 分）已知关于 x 的方程（
21、x3） （x 2）p 2=0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）当 p=2 时，求该方程的根 考点： 根的判别式；解一元二次方程-公式法1053288 专题： 证明题 分析： （1）先把方程化为一般式，再计算出=1+4p 2，根据非负数的性质得到 0，则根据判别式的意义得到 这个方程总有两个不相等的实数根； （2）p=2 方程变形为 x25x+2=0，然后利用求根公式法解方程 解答： （1）证明：方程整理为 x25x+6p2=0， =（5） 241（6p 2） =1+4p2， 4p20， 0， 这个方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当 p=2 时，方程变形为 x25x+2=0
22、， =1+44=17， x= ， x1= ，x 2= 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程有两个不相等的实数 根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了解一元二次方程 18 （8 分）如图，有一块长方形铁皮，长 40cm，宽 30cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突 出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积为 600cm2，那么铁皮各角应切去多大的 正方形？ 考点： 一元二次方程的应用1053288 专题： 几何图形问题 分析： 易得底面积的长=原来的长 2切去的正方
23、形的边长，宽=原来的宽 2切去的正方形的边长，根据长 宽=600 列方程求得合适解即可 解答： 解：设切去的小正方形的边长为 x （402x ） （30 2x）=60 解得 x1=5，x 2=30 当 x=30 时，20 2x0， x=30 不合题意，应舍去 答：纸板各角应切去边长为 5cm 的正方形 点评： 考查一元二次方程的应用；得到无盖方盒的底面积的边长是解决本题的突破点 19 （8 分）如图，ABE 和 ACD 都是等边三角形， AEC 逆时针旋转一定角度后能与ABD 重合，EC 与 BD 相 交于点 F （1）旋转中心是 点 A ，旋转角至少是 60 度； （2）求DFC 的度数 考
24、点： 旋转的性质；等边三角形的性质1053288 分析： （1）根据图形知，旋转中心是点 A，旋转角是 EAB； （2）根据等边三角形性质推出EAB=60 ，根据三角形外角性质推出AGC= AEC+60=ABD+GFB， 求出GFB 的度数，根据对顶角相等求出即可 解答： 解：（1）如图，ABC 的等边三角形， EAB=60 AEC 逆时针旋转一定角度后能与 ABD 重合， 点 A 是旋转中心，EAB 是旋转角， ， AEC 逆时针旋转至少 60后能与 ABD 重合， （2）根据旋转的性质知，AECABD ， AEC=ABD， AGC=AEG+EAB=AEC+60， AGC=GFB+ABD=G
25、FB+AEC， AEC+60=GFB+AEC， GFB=60， DFC=GFB=60 故答案是：点 A，60 点评： 本题考查了等边三角形性质，旋转性质，对顶角，三角形外角性质等知识点的应用，能综合运用性质进行 推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中 20 （8 分）如图，RtABC 中， C=90， ABC 的内切圆 0 与 BC、CA、AB 分别切于点 D、E、F （1）若 BC=40cm，AB=50cm，求 0 的半径； （2）若0 的半径为 r，ABC 的周长为 ，求ABC 的面积 考点： 三角形的内切圆与内心1053288 分析： （1）连接 OE、OD、OC、OB、OF、O
26、A，由勾股定理求出 AC=30cm，由三角形面积公式得出 （AC+BC+AB）R= ACBC，代入求出即可； （2）连接 OE、OD、OC、OB、OF、OA， O 半径是 r，则 OE=OD=OF=r，由三角形面积公式得：S ABC=SACO+SBCO+SABO，代入求出即可 解答： 解：（1）连接 OE、OD、OC 、OB 、OF、OA， 在ABC 中，ACB=90，BC=40cm，AB=50cm， 由勾股定理得：AC=30cm， 设 O 半径是 R，则 OE=OD=OF=R， O 是 ACB 的内切圆， OFAB，OEAC，OD BC， 由三角形面积公式得：S ABC=SACO+SBCO+
27、SABO= （AC+BC+AB）R= ACBC， （ 40+30+50）R=30 40，解得 R=10cm， 即 0 的半径为 10cm； （2）连接 OE、OD、OC、OB、OF、OA， O 半径是 r，则 OE=OD=OF=r， O 是 ACB 的内切圆， OFAB，OEAC，OD BC， ABC 的周长为 l， AC+BC+AB=l， 由三角形面积公式得：S ABC=SACO+SBCO+SABO = ACr+ BCr+ ABr= （AC+BC+AB） r = lr， 即ABC 的面积是 lr 点评： 本题考查了三角形的内切圆，三角形的面积，勾股定理的应用，注意：如果 R 为三角形 ABC 的内切圆的 半径，则三角形 ABC 的面积为 （AC+BC+AB）R
