1、2014-2015 学年北京市怀柔区九年级（上）期末数学 试卷 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的 1 的倒数是( ) A B C2 D2 22014 年上半年，怀柔国税局累计入库消费税 11000 多万元，将 11000 用科学记数法表 示应为( ) A1.110 4 B1.1 103 C1110 3 D0.1110 5 3如图，A，B，C 三点在O 上，且BOC=100，则A 的度数为( ) A40 B50 C80 D100 4在 RtABC 中， C=90，若 sinA= ，则 cosB 的值是( ) A B C D 5将抛物线
2、 y=（x 1） 2+3 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位后所得抛物线的表达 式为( ) Ay= （x 2） 2 By=x 2 Cy=x 2+6 Dy=（x2） 2+6 6在某一时刻，测得一根高为 1.2m 的木棍的影长为 2m，同时测得一根旗杆的影长为 25m，那么这根旗杆的高度为 ( ) A15m B m C60 m D24m 7如图，在ABC 中，D 为 AC 边上一点， DBC=A，BC= ，AC=3 ，则 CD 的长为( ) A1 B C2 D 8如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ，动点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 P
3、A=x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是( ) A B C D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9分解因式：9a 2bb3=_ 10已知两圆的半径分别为 2cm 和 4cm，它们的圆心距为 6cm，则这两个圆的位置关系是 _ 11若函数 y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小， 则 m 的取值范围是_ 12在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的位置如右图所示，点 A 的坐标为（1，0） ， 点 D 的坐标为（0，2） ，延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C，延长 C1B1
4、交 x 轴 于点 A2，作正方形 A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第 1 个正方形的面积为 _；第 n 个正方形的面积为_ 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13计算：3tan30+（2 ） 0（ ） 1+| | 14已知抛物线 y=x24x+5，求出它的对称轴和顶点坐标 15解不等式组： 16已知 x2+4x5=0，求代数式 2（x+1） （x1）（x 2） 2 的值 17如图，一根 电线杆的接线柱部分 AB 在阳光下的投影 CD 的长为 1 米，太阳光线与地 面的夹角ACD=60求接线柱 AB 的长 18已知：抛物线 y=x22（m+2）x+m 21 与 x 轴有两个
5、交点 （1）求 m 的取值范围； （2）当 m 为非正整数时，关于 x 的一元二次方程 x22（ m+2）x+m 21 有整数根，求 m 的 值 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19如图，在四边形 ABCD 中，A=30 ，C=90，ADB=105， sinBDC= ，AD=4求 DC 的长 20在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区 别 （1）随机从箱子里取出 1 个球，则取出黄球的概率是多少？ （2）随机从箱子里取出 1 个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表 示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率 21如
6、图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是 网格线的交点） （1）将ABC 绕点 B 顺时针旋转 90得到ABC，请画出 ABC，并求 BA 边旋转到 BA位置时所扫过图形的面积； （2）请在网格中画出一个格点ABC，使A BCABC，且相似比不为 1 22如图，在O 中，直径 AB 交弦 ED 于点 G，EG=DG ， O 的切线 BC 交 DO 的延长 线于点 C，F 是 DC 与O 的交点，连结 AF （1）求证：DE BC； （2）若 OD=1，CF= ，求 AF 的长 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25
7、 题 8 分） 23在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=2x2+mx+n 经过点 A（ 1，a ） ，B （3，a） ，且最 低点的纵坐标为4 （1）求抛物线的表达式及 a 的值； （2）设抛物线顶点 C 关于 y 轴的对称点为点 D，点 P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物 线在点 A，B 之间的部分为图象 G（包含 A，B 两点） 如果直线 DP 与图象 G 恰有两个公 共点，结合函数图象，求点 P 纵坐标 t 的取值范围 24对于点 E 和四边形 ABCD，给出如下定义：在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与 A、B 重合） ，分别连接 ED、EC，可以把四边形
8、 ABCD 分成三个三角形，如 果其中有两个三角形相似，则称 E 为四边形 ABCD 边 AB 上的“相似点” ；如果这三个三角 形都相似，我们称 E 为四边形 ABCD 边 AB 上的“强相似点 ” （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，A、B 、C、D 四点均在正方形网格（网格中每个小正 方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，点 E 是 AB 边上一点，DEC=45 ， 试判断点 E 是否是四边形 ABCD 边 AB 上的相似点，并证明你的结论正确； （2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=3 在 AB 边上是否存在点 E，使点 E 为四边形 ABCD 边 A
9、B 上的“ 强相似点”若存在，有 几个？试在图 2 中画出所有强相似点； 在所画图形的基础上求 AE 的长 25在ABC 中， A=30， AB=2 ，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 （090 ） ，得到 DBE，其中点 A 的对应点是点 D，点 C 的对应点是点 E，AC、DE 相交于点 F，连接 BF （1）如图 1，若 =60，线段 BA 绕点 B 旋转 得到线段 BD请补全DBE，并直接写出 AFB 的度数； （2）如图 2，若 =90，求AFB 的度数和 BF 的长； （3）如图 3，若旋转 （0 90） ，请直接写出AFB 的度数及 BF 的长（用含 的代 数式表示） 2014-
10、2015 学年北京市怀柔区九年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的 1 的倒数是( ) A B C2 D2 考点：倒数 分析：互为倒数的两数之积为 1，从而可得出答案 解答： 解： 的倒数为 2 故选 D 点评：此题考查了倒数的知识，属于基础题，注意掌握互为倒数的两数之积为 1 22014 年上半年，怀柔国税局累计入库消费税 11000 多万元，将 11000 用科学记数法表 示应为( ) A1.110 4 B1.1 103 C11 103 D0.1110 5 考点：科学 记数法表示较大的数 分析：科学记数法的表
11、示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原 数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解答： 解：将 11000 用科学记数法表示为 1.1104 故选 A 点评：本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3如图，A，B，C 三点在O 上，且BOC=100，则A 的度数为( ) A40 B50 C80 D100 考点：圆周角定理 分析：在同圆或等圆中 ，
12、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一 半，由此可得出答案 解答： 解：由题意得A= BOC= 100=50 故选 B 点评：本题考查了圆周角定理，属于基础题，掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键 4在 RtABC 中， C=90，若 sinA= ，则 cosB 的值是( ) A B C D 考点：同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系 分析：根据互余两角的三角函数关系进行解答 解答： 解：在 RtABC 中， C=90， A+B=90， cosB=sinA， sinA= ， cosB= 故选：B 点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键在直角三角形
13、中， A+B=90时，正余弦之间的关系为： 一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即 sinA=（90 A） ； 一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即 cosA=sin（90 A） ； 也可以理解成若A+ B=90，那么 sinA=cosB 或 sinB=cosA 5将抛物线 y=（x 1） 2+3 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位后所得抛物线的表达 式为( ) Ay=（x 2） 2 By=x 2 Cy=x 2+6 Dy=（x2） 2+6 考点：二次函数图象与几何变换 专题：几何变换 分析：先确定抛物线 y=（x 1） 2+3 的顶点坐标为（1，3） ，再利用点平移的规律得
14、到点 （1，3）平移后对应点的坐标为（2，6） ，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 解答： 解：抛物线 y=（x 1） 2+3 的顶点坐标为（1，3） ，把点（1，3）先向右平移 1 个 单位，再向上平移 3 个单位后所得对应点的坐标为（2，6） ，所以新抛物线的表达式为 y=（x2 ） 2+6 故选 D 点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后 的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 6在某一时刻，测得一根高为 1.2m 的木棍
15、的影长为 2m，同时测得一根旗杆的影长为 25m，那么这根旗杆的高度为 ( ) A15m B m C60 m D24m 考点：相似三角形的应用 分析：根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求解即可 解答： 解：设旗杆的高度为 xm， 由题意得， = ， 解得 x=15， 答：这根旗杆的高度为 15m 故选 A 点评：本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记 7如图，在ABC 中，D 为 AC 边上一点， DBC=A，BC= ，AC=3 ，则 CD 的长为( ) A1 B C2 D 考点：相似三角形的判定与性质 分析：由条件可证明CBD CAB，可得到 = ，代入可
16、求得 CD 解答： 解：DBC= A，C= C， CBDCAB， = ，即 = ， CD=2， 故选 C 点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关 键 8如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ，动点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PA=x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是( ) A B C D 考点：动点问题的函数图象 专题：压轴题；动点型 分析：点 P 在 AB 上时，点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度，点 P 在 BC 上时，根据同 角的余角相等求出APB= PA
17、D，再利用相似三角形的列出比例式整理得到 y 与 x 的关系 式，从而得解 解答： 解：点 P 在 AB 上时，0x 3，点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度，是定值 4； 点 P 在 BC 上时，3x 5， APB+BAP=90， PAD+BAP=90， APB=PAD， 又B=DEA=90， ABPDEA， = ， 即 = ， y= ， 纵观各选项，只有 B 选项图形符合 故选：B 点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根 据点 P 的位置分两种情况讨论 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9分解因式：9a 2bb3=b（3a+b ）
18、（3a b） 考点：提公因式法与公式法的综合运用 专题：计算题 分析：原式提取 b 后，利用平方差公式分解即可 解答： 解：原式=b（9a 2b2） =b（3a+b） （3ab） 故答案为：b（3a+b） （3a b） 点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的 关键 10已知两圆的半径分别为 2cm 和 4cm，它们的圆心距为 6cm，则这两个圆的位置关系是 外切 考点：圆与圆的位置关系 分析：根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系 解答： 解：2+4=6， 根据圆心距与半径之间的数量关系可知O 1 与O 2 的位置关系是外切 故答案为：外
19、切 点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法设两圆的半径分别为 R 和 r， 且 Rr，圆心距为 P：外离 PR+r；外切 P=R+r；相交 RrPR+r；内切 P=Rr；内含 PRr 11若函数 y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小， 则 m 的取值范围是 m2 考点：反比例函数的性质 分析：先根据反比例函数的性质得出关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可 解答： 解：函数 y= 的图象在每一象限内 y 的值随 x 值的增大而增大， m2 0， 解得 m2 故答案为：m2 点评：本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数在每一象限内的增减
20、性是解答此 题的关键 12在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的位置如右图所示，点 A 的坐标为（1，0） ， 点 D 的坐标为（0，2） ，延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C，延长 C1B1 交 x 轴 于点 A2，作正方形 A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第 1 个正方形的面积为 5；第 n 个正方形的面积为 5（ ） 2n2 考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质 专题：规律型 分析：根据相似三角形的判定原理，得出AA 1BA1A2B1，继而得知 BAA1=B1A1A2； 利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算第一个正
21、方形的面积， 从中找出规律，进而可求出第 n 个正方形的面积 解答： 解：设正方形的面积分别为 S1，S 2，S n， 根据题意，得：ADBC C1A2C2B2， BAA1=B1A1A2=B2A2x（同位角相等） ABA1=A1B1A2=A2B2x=90， BAA1B1A1A2， 在直角ADO 中，根据勾股定理，得： AD= ，tanADO= = ， tanBAA1= =tanADO， BA1= AB= ， CA1= + ， 同理，得：C 1A2=（ + ）（1+ ） ， 由正方形的面积公式，得：S 1=（ ） 2=5， S2=（ ） 2（1+ ） 2， S3=（ ） 2（1+ ） 4=5（
22、） 4， 由此，可得 Sn=（ ） 2（1+ ） 2（n1） =5（ ） 2n2 故答案为：5；5 （ ） 2n2 点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的 关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13计算：3tan30+（2 ） 0（ ） 1+| | 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题：计算题 分析：原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项 利用负指数幂法则计算，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果 解答：
23、解：原式=3 +12+2 =3 1 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 14已知抛物线 y=x24x+5，求出它的对称轴和顶点坐标 考点：二次函数的性质 分析：把函数解析式整理成顶点形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可 解答： 解：y=x 24x+5 =x24x+44+5 =x24x+4+1 =（x2） 2+1， 所以抛物线的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（2，1） 点评：本题考查了二次函数的性质，把函数解析式整理顶点式形式求解更加简便 15解不等式组： 考点：解一元一次不等式组 分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即 可 解答：
24、解： 解不等式得： x3， 解不等式得：x1， 不等式组的解集为 1x 3 点评：本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根 据不等式的解集找出不等式组的解集 16已知 x2+4x5=0，求代数式 2（x+1） （x1）（x 2） 2 的值 考点：整式的混合运算化简求值 专题：计算题 分析：原式利用平方差公式及完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，把已知等式 变形后代入计算即可求出值 解答： 解：x 2+4x5=0，即 x 2+4x=5， 原式 =2x22x2+4x4=x2+4x6=56=1 点评：此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关
25、键 17如图，一根电线杆的接线柱部分 AB 在阳光下的投影 CD 的长为 1 米，太阳光线与地 面的夹角ACD=60求接线柱 AB 的长 考点：解直角三角形的应用 分析：过 D 作 DNAC 于 N，过 B 作 BFAC 于 F由题意可求得 DN=BF= ，再由 A=30解直角三角形可求出 AB 的长度 解答： 解：作 DNAC 于 N，BFAC 于 F CD=1m，ACD=60， DN=BF= 在 RtAFB 中A=30，BF= AB， AB=2BF= （m） 点评：本题考查了解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值要熟练掌握 18已知：抛物线 y=x22（m+2）x+m 21 与 x 轴有两
26、个交点 （1）求 m 的取值范围； （2）当 m 为非正整数时，关于 x 的一元二次方程 x22（ m+2）x+m 21 有整数根，求 m 的 值 考点：抛物线与 x 轴的交点；根的判别式 分析：（1）抛物线与 x 轴有两个交点，则=b 24ac0，从而求出 m 的取值范围 （2）根据（1）求出 m 的值然后将其代入关于 x 的一元二次方程 x22（m+2）x+m 21， 通过解方程求得该方程的根，通过该方程的根是否是整数进行验证即可 解答： 解：（1）抛物线 y=x22（m+2）x+m 21 与 x 轴有两个交点， =b24ac0， 即 2（m+2 ） 24（m 21）=16m+200， 解
27、得 m ，即 m 的取值范围是 m ； （2）由（1）知，m m 为非正整数， m=0 或 m=1 当 m= 0 时，由原方程得到：y=x 24x1 解得 x= （不合题意） 则 m=0 不合题意； 当 m=1 时，由原方程得到：y=x 22x=x（x2） 解得 x1=0，x 2=2， 0 和 2 都是整数， 则 m=1 符合题意 综上所述，m 的值是1 点评：本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，注：抛物线与 x 轴有两个交点，则 0；抛物线与 x 轴无交点，则 0；抛物线与 x 轴有一个交点，则=0 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19如图，在四边形 ABCD 中，A=30
28、 ，C=90，ADB=105， sinBDC= ，AD=4求 DC 的长 考点：解直角三角形 分析：先在 RtBCD 中，由 sinBDC= ，得出 BDC=60， CBD=90BDC=30，则 ADC=ADB+BDC=165，根据四边形内角和定理求出 ABC=360AADCC=75， 于是ABD=75 30=45在ABD 中，由正弦定理得出 = ，即 = ， 求出 BD=2 ，然后在 RtBCD 中利用 30角所对的直角边等于斜边的一半得出 DC= BD= 解答： 解：在 RtBCD 中， C=90，sin BDC= ， BDC=60，CBD=90 BDC=30， ADC=ADB+BDC=1
29、05+60=165， ABC=360AADCC=75， ABD=7530=45 在ABD 中， = ， = ， BD=2 ， DC= BD= 点评：本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，四边形内角和定理，正弦定理， 含 30角的直角三角形的性质，难度适中求出 BD 的长是解题的关键 20在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区 别 （1）随机从箱子里取出 1 个球，则取出黄球的概率是多少？ （2）随机从箱子里取出 1 个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表 示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率 考点：列表法与树状图法；概
30、率公式 分析：（1）由在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有 其他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出白颜色球 的情况，再利用概率公式即可求得答案 解答： 解：（1）在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之 外没有其他区别， 随机地从箱子里取出 1 个球，则取出红球的概率是： ； （2）画树状图得： 由树形图可知所有可能的情况有 9 种，其中两次取出的都是白色球有 1 种，所以两次取出 的都是白色球的概率= 点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意画树状图法与列表
31、法可以不重复不 遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以 上完成的事件；注意此题属于放回实验 21如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是 网格线的交点） （1）将ABC 绕点 B 顺时针旋转 90得到ABC，请画出 ABC，并求 BA 边旋转到 BA位置时所扫过图形的面积； （2）请在网格中画出一个格点ABC，使A BCABC，且相似比不为 1 考点：作图-旋转变换；作图 相似变换 分析：（1）利用旋转的性质得出各对应点位置进而利用扇形面积公式得出答案； （2）利用相似三角形的性质将各边扩大 2 倍，进而得出答案 解
32、答： 解；（1）如图所示：ABC即为所求， AB= = ， BA 边旋转到 BA位置时所扫过图形的面积为： = ； （2）如图所示：ABCABC，且相似比为 2 点评：此题主要考查了相似变换以及旋转变换，得出对应点位置是解题关键 22如图，在O 中，直径 AB 交弦 ED 于点 G，EG=DG ， O 的切线 BC 交 DO 的延长 线于点 C，F 是 DC 与O 的交点，连结 AF （1）求证：DE BC； （2）若 OD=1，CF= ，求 AF 的长 考点：切线的性质 分析：（1）根据垂径定理和切线的性质定理就可证得； （2）连接 BF，BD，根据切线长定理就可求得 BC，进而根据三角形相
33、似求得 BD= BF，然后根据勾股定理就可求得 解答： 解：（1）直径 AB 交弦 ED 于点 G，EG=DG， ABED， BC 是 O 的切线， ABBC， DEBC； （2）连接 BF，BD， OD=1，CF= ， CD=OD+CF= ， BC 是 O 的切线， BC2=CFCD= = ， BC= ， CBF=CDB，BCF=DCB， CBFCDB， = = ， BD= BF， AF=BD， AF= BF， AB 是直径， AFB=90， AF2+BF2=AB2， AB=2OD=2， AF2+（ AF） 2=22， AF= 点评：本题考查了垂径定理的应用，切线的性质定理，直径所对的圆周角
34、的性质，三角形 相似的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建直角三角形和相似三角形是本题 的关键 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=2x2 +mx+n 经过点 A（1，a ） ，B （3，a ） ，且最 低点的纵坐标为4 （1）求抛物线的表达式及 a 的值； （2）设抛物线顶点 C 关于 y 轴的对称点为点 D，点 P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物 线在点 A，B 之间的部分为图象 G（包含 A，B 两点） 如果直线 DP 与图象 G 恰有两个公 共点，结合函数图象，求点 P
35、纵坐标 t 的取值范围 考点：二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式 分析：（1）根据点 A、B 的坐标可以得到对称轴方程为 x=1，结合已知条件得到该抛物线 的顶点坐标为（1，4） ，则易求该抛物线的解析式； （2）通过图象可以看出点 B 纵坐标 t 的取值范围 解答： 解：（1）抛物线 y=2x2+mx+n 过点 A（1，a ） ，B （3，a） ， 抛物线的对称轴 x=1 抛物线最低点的纵坐标为 4， 抛物线的顶点是（1， 4） 抛物线的表达式是 y=2（x1） 24， 即 y=2x24x2 把 A（1，a ）代入抛物线表达式，求出 a=4； （2）抛物线顶点 C（1，4）关
36、于 y 轴的对称点为点 D， D（ 1， 4） 求出直线 CD 的表达式为 y=4 求出直线 BD 的表达式为 y=2x2，当 x=1 时，y=0 所以4 t0 点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换需要学生具 备画图的能力和识别图形的能力，要熟练掌握 24对于点 E 和四边形 ABCD，给出如下定义：在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与 A、B 重合） ，分别连接 ED、EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如 果其中有两个三角形相似，则称 E 为四边形 ABCD 边 AB 上的“相似点” ；如果这三个三角 形都相似，我们称 E 为
37、四边形 ABCD 边 AB 上的“强相似点 ” （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，A、B 、C、D 四点均在正方形网格（网格中每个小正 方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，点 E 是 AB 边上一点，DEC=45 ， 试判断点 E 是否是四边形 ABCD 边 AB 上的相似点，并证明你的结论正确； （2） 如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=3 在 AB 边上是否存在点 E，使点 E 为四边形 ABCD 边 AB 上的“ 强相似点”若存在，有 几个？试在图 2 中画出所有强相似点； 在所画图形的基础上求 AE 的长 考点：相似形综合题 分析：（1）要证明点 E
38、 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点，只要证明有一组三角形相 似就行，很容易证明ADEBEC ，所以问题得解； （2）以 CD 为直径画弧，取该弧与 AB 的一个交点即为所求；连接 DE、CE 设 AE=x，则 EB=8x，AD=3，根据点 E 是四边形 ABCD 边 AB 上的“ 强相似点”得到 ADEBCE，于是得到 ，代入相关数据 ，解方程即可得到结果 解答： 解：（1）由图可知，A= B=45， DEC=45， AED+ADE=135， AED+CEB=135 ADE=CEB， ADEBEC， 点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点 （2）如图 1 所示，在 AB
39、边上存在点 E，使点 E 为四边形 ABCD 边 AB 上的“ 强相似点” ，这样的点有 2 个，点 E，E即为所求； 连接 DE、CE 设 AE=x， EB=8x，AD=3， 点 E 是四边形 ABCD 边 AB 上的“ 强相似点” ADEBCE， ， AD=BC=3， ， 解得：x=4 ， AE=4+ 或 AE=4 点评：本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题 目信息，理解强相似点的定义是解题的关键 25在ABC 中， A=30， AB=2 ，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 （090 ） ，得到 DBE，其中点 A 的对应点是点 D，点 C 的对应点是点
40、 E，AC、DE 相交于点 F，连接 BF （1）如图 1，若 =60，线段 BA 绕点 B 旋转 得到线段 BD请补全DBE，并直接写出 AFB 的度数； （2）如图 2，若 =90，求AFB 的度数和 BF 的长； （3）如图 3，若旋转 （0 90） ，请直接写出AFB 的度数及 BF 的长（用含 的代 数式表示） 考点：几何变换综合题 分析：（1）首先根据题意，把线段 BC 绕点 B 顺时针旋转 60得到线段 BE，再连接 DE， 即可补全DBE；然后判断出 AF 垂直平分 BD，即可推得 DF=BF，AFB= DFG，在 Rt DGF 中，求出DFG 的度数，即可判断出 AFB 的度
41、数 （2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出ABG DFG，即可判断出 DFG=ABG=90；然后推得 A、B 、D 、F 在以 AD 为直径的圆上，再根据圆周角定理， 可得AFB=ADB=45 ； 最后在 ABF 中，由正弦定理，求出 BF 的长是多少即可 （3）首先根据A= D=30，可得 A、B、D、F 四点共圆，所以AFB= ADB，在 ABD 中，求出ADB 的度数，即可求出AFB 的度数；然后在 ABF 中，由正弦定理，求出 BF 的长是多少即可 解答： 解：（1）如图 1，AC、BD 交于点 G， ， 线段 BA 绕点 B 旋转 60得到线段 BD， ABD=60， AB=BD
42、， 又A=30 ， AGB=1806030=90， AFBD， AGB=90， A=30， BG= AB= BD， AF 垂直平分 BD， DF=BF， AFB=DFG， DGF=AGB=90，D= A=30， DFG=9030=60， AFB=60 （2）如图 2，AC、BD 交于点 G，连接 AD， ， 将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 90得到 DBE， ABD=90， AB=BD， ADB=45， 在ABG 和 DFG 中， ABGDFG， DFG=ABG=90， A、 B、D、F 在以 AD 为直径的圆上， AFB=ADB=45 在ABF 中，由正弦定理，可得 ， ， 解得 BF=
43、（3）如图 3， ， A=D=30， A、 B、D、F 四点共圆， AFB=ADB， 在ABD 中， AB=BD，ABD=， ADB=DAB， ADB=（180 ）2=90 ， AFB=90 ； 在ABF 中，由正弦定理，可得 ， ， 解得 BF= 点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力， 考查了数形结合思想的应用， 要熟练掌握 （2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明 确：三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应 边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角 形相似 （3）此题还考查了图形旋转的性质和应用，要熟练掌握
