1、第 1 页（共 32 页） 2016-2017 学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1抛物线 y=（x1） 2+2 的顶点坐标是（ ） A （ 1，2） B （1，2） C （1， 2） D （1，2） 2下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3如图，在ABC 中，DEBC ，AD=6，DB=3 ，AE=4，则 AC 的长为（ ） A2 B4 C6 D8 4如图，在平面直角坐标系中，直线 OP 过点（1，3） ，则 tan 的值是（ ） A B3 C D 5如图，AB 是O 的直径，点 C 在
2、 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D， 若C=40，则 CDA 的度数是（ ） A110 B115 C120 D125 6如图，A、B 是曲线 y= 上的点，经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，若 第 2 页（共 32 页） S 阴影 =1，则 S1+S2=（ ） A3 B4 C5 D6 7如图，反比例函数 y1= 与一次函数 y2=ax+b 交于点（4，2） 、 （ 2，4）两点， 则使得 y1y 2 的 x 的取值范围是（ ） A 2 x4 Bx2 或 x4 C 2x0 或 0x 4 D 2x 0 或 x4 8根据表中的二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 与函数
3、 y 的对应值，可判断该二 次函数的图象与 x 轴（ ） x 1 0 1 2 y 4 0.5 2 0.5 A只有一个交点 B有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧 C有两个交点，且它们均在 y 轴同侧 D无交点 9已知二次函数 y=x2+（m1）x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，而 m 的 取值范围是（ ） Am=1 Bm=3 Cm 1 Dm 1 第 3 页（共 32 页） 10如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过 O 点作 OEAC ， 交 AB 于 E，若 BC=4，AOE 的面积是 5，则下列说法错误的是（ ） AAE=5 BBOE=BCE CCE
4、 OB DsinBOE= 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11若 = ，则 = 12已知线段 AB=a，C、C是线段 AB 的两个黄金分割点，则 CC= 13如图，网格中的每一个正方形的边长都是 1，ABC 的每一个顶点都在网 格的交点处，则 sinA= 14如图，直线 y=x+b（b 0）与双曲线 y= （x 0）交于 A、B 两点，连接 OA、OB，AMy 轴于 M，BNx 轴于 N，现有以下结论： OA=OB；AOMBON ；若AOB=45，则 SAOB =k；当 AB= 时， AM=BN=1其中结论正确的是 第 4 页（共 32 页） 三、解答题（共 9 小题
5、，共 90 分） 15求值： cos245sin30tan60+ sin60 16已知二次函数的顶点坐标为 A（1，9） ，且其图象经过点（1，5） （1）求此二次函数的解析式； （2）若该函数图象与 x 轴的交点为 B、C，求ABC 的面积 17如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（ 2，1） 、 B（3 ，2 ） 、C（1，4） （1）以原点 O 为位似中心，在第二象限内画出将ABC 放大为原来的 2 倍后的 A 1B1C1 （2）画出ABC 绕 C 点逆时针旋转 90后得到的 A2B2C 18如图，ABC 中，D 为 BC 上一点，BAD=C，AB=6，BD=4，求
6、 CD 的 长 19已知：如图，在O 中，直径 CD 交弦 AB 于点 E，且 CD 平分弦 AB，连接 OA，BD （1）若 AE= ，DE=1，求 OA 的长 （2）若 OABD，则 tanOAE 的值为多少？ 第 5 页（共 32 页） 20如图，根据道路管理规定，直线 l 的路段上行驶的车辆，限速 60 千米/时， 已知测速站点 M 距离直线 l 的距离 MN 为 30 米（如图所示） ，现有一辆汽车匀 速行驶，测得此车从 A 点行驶到 B 点所用时间为 6 秒，AMN=60， BMN=45 （1）计算 AB 的长； （2）通过计算判断此车是否超速 （ 1.4， 1.7） 21如图，直
7、线 y=mx+n 与双曲线 y= 相交于 A（1，2） 、B（2，b）两点，与 y 轴相交于点 C （1）求 m，n 的值； （2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积； （3）在坐标轴上是否存在异于 D 点的点 P，使得 SPAB =SDAB ？若存在，直接 写出 P 点坐标；若不存在，说明理由 22为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角MON（MON=135 ）的 两边为边，用总长为 120m 的围网在水库中围成了如图所示的三块区域， 其中区域为直角三角形，区域为矩形，而且四边形 OBDG 为直角梯形 （1）若这块区域的面积相等，则 OB 的长度为 m； 第 6 页（共
8、 32 页） （2）设 OB=x，四边形 OBDG 的面积为 ym2， 求 y 与 x 之的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围； 设这三块区域的面积分别为 S1、S 2、S 3，若 S1：S 2：S 3=3：2：1，求 GE：ED：DC 的值 23某班“手拉手” 数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻 边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： （1）如图 1，正方形 ABCD 中，EFGH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分 别交 AD，BC 于点 G，H ，则 EF GH；（填“ ”“=”或“”） （2）如图 2，矩形 ABCD 中，EFGH
9、，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别 交 AD，BC 于点 G，H ，求证： = ； （3）如图 3，四边形 ABCD 中，ABC=ADC=90， BC=3，CD=5， AD=7.5，AMDN，点 M，N 分别在边 BC，AB 上，求 的值 第 7 页（共 32 页） 2016-2017 学年安徽省合肥市庐阳区九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1抛物线 y=（x1） 2+2 的顶点坐标是（ ） A （ 1，2） B （1，2） C （1， 2） D （1，2） 【考点】二次函数的性质 【分析】直接利用顶点
10、式的特点可写出顶点坐标 【解答】解：顶点式 y=a（x h） 2+k，顶点坐标是（h，k） ， 抛物线 y=（ x1） 2+2 的顶点坐标是（1，2） 故选 D 2下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 A 正确； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 错误 故选：A 3如图，在ABC 中，DEBC ，AD=6，DB=3 ，
11、AE=4，则 AC 的长为（ ） 第 8 页（共 32 页） A2 B4 C6 D8 【考点】平行线分线段成比例 【分析】根据平行线分线段成比例求出 EC，即可解答 【解答】解：DEBC， ，即 ， 解得：EC=2， AC=AE+EC=4+2=6 ； 故选：C 4如图，在平面直角坐标系中，直线 OP 过点（1，3） ，则 tan 的值是（ ） A B3 C D 【考点】解直角三角形；坐标与图形性质 【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案 【解答】解：如图：作 PCy 轴于点 C， ， tan= = ， 故选 A 第 9 页（共 32 页） 5如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延
12、长线上，CD 与O 相切于点 D， 若C=40，则 CDA 的度数是（ ） A110 B115 C120 D125 【考点】切线的性质 【分析】连接 OD，如图，根据切线的性质得ODC=90，利用互余得 COD=50，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可得 ODA= COD=25，然后计算ODC +ODA 即可 【解答】解：连接 OD，如图， CD 与O 相切于点 D， ODCD， ODC=90， COD=90C=90 40=50， OA=OD， A=ODA ， 而COD=A +ODA ， ODA= COD=25， CDA=ODC+ODA=90+25=115 故选 B 第 10 页（共 3
13、2 页） 6如图，A、B 是曲线 y= 上的点，经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，若 S 阴影 =1，则 S1+S2=（ ） A3 B4 C5 D6 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】首先根据反比例函数 中 k 的几何意义，可知 S 矩形 ACOD=S 矩形 BEOF=|k|=3，又 S 阴影 =1，则 S1=S 矩形 ACODS 阴影 =2，S 2=S 矩形 BEOFS 阴影 =2，从而求出 S1+S2 的值 【解答】解：A、B 是曲线 y= 上的点，经过 A、 B 两点向 x 轴、y 轴作垂线 段， S 矩形 ACOD=S 矩形 BEOF=3， 又S 阴影 =1，
14、 S 1=S2=31=2， S 1+S2=4 故选 B 7如图，反比例函数 y1= 与一次函数 y2=ax+b 交于点（4，2） 、 （ 2，4）两点， 则使得 y1y 2 的 x 的取值范围是（ ） 第 11 页（共 32 页） A 2 x4 Bx2 或 x4 C 2x0 或 0x 4 D 2x 0 或 x4 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】求 x 的范围就是求一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时对应 的自变量 x 的取值范围 【解答】解：根据函数的图象可得：x 的取值范围是 2x0 或 0x4 故选 D 8根据表中的二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 与函数
15、y 的对应值，可判断该二 次函数的图象与 x 轴（ ） x 1 0 1 2 y 4 0.5 2 0.5 A只有一个交点 B有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧 C有两个交点，且它们均在 y 轴同侧 D无交点 【考点】二次函数的性质 【分析】由条件可求得抛物线解析式，再进行判断即可 【解答】解： 由题意可知抛物线过（0，0.5） ， （1， 2） ， （1，4） ， 第 12 页（共 32 页） 代入抛物线解析式可得 ，解得 ， 抛物线解析式为 y=0.5x23x+0.5， 令 y=0 可得 0.5x23x+0.5=0，解得 x=3+ 或 x=3 ，都大于 0， 抛物线与 x 轴有两个交点，且它
16、们都在 y 轴的右侧， 故选 C 9已知二次函数 y=x2+（m1）x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，而 m 的 取值范围是（ ） Am=1 Bm=3 Cm 1 Dm 1 【考点】二次函数的性质 【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于 1 列式计算即可 得解 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x= ， 当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而增大， 1， 解得 m1 故选 D 10如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过 O 点作 OEAC ， 交 AB 于 E，若 BC=4，AOE 的面积是 5，则下列说法错误的是（ ） 第 13 页（共
17、 32 页） AAE=5 BBOE=BCE CCE OB DsinBOE= 【考点】矩形的性质；解直角三角形 【分析】A、作辅助线，构建矩形 AGOF，利用面积为 5，代入面积公式可求得 AE 的长为 5，此说法正确； B、证明ABC +EOC=180，根据对角互补的四边形四点共圆得：E、B 、C、O 四点共圆，则BCE=BOE，此说法正确； C、因为 E、B、C、O 四点共圆，所以根据垂径定理可知：要想 OBCE，得保 证过圆心的直线平分弧，即判断弦长 BE 和 OE 的大小即可； D、利用同角的三角函数计算 【解答】解：A、过 O 作 OFAD 于 F，作 OGAB 于 G， 四边形 AB
18、CD 是矩形， AC=BD，OA= AC，OD= BD， OA=OD， AF=FD= AD= BC=2， AGO= BAD=AFO=90， 四边形 AGOF 是矩形， OG=AF=2， S AEO = AEOG=5， AE= = =5， 所以此选项的说法正确； B、OEAC， 第 14 页（共 32 页） EOC=90 ABC=90 ， ABC+EOC=180， E 、B 、C、O 四点共圆， BCE=BOE， 所以此选项的说法正确； C、在 RtBEC 中，由勾股定理得：BE= =3， AB=3+5=8， AC= = =4 ， AO= AC=2 ， EO= = = ， OEBE， E 、B
19、、C、O 四点共圆， EOC=90， EC 是直径， EC 与 OB 不垂直； 此选项的说法不正确； D、sinBOE=sinBCE= = ， 所以此选项的说法正确， 因为本题选择说法错误的， 故选 C 第 15 页（共 32 页） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11若 = ，则 = 【考点】比例的性质 【分析】根据合比性质，可得答案 【解答】解： = ，则 = = ， 故答案为： 12已知线段 AB=a，C、C是线段 AB 的两个黄金分割点，则 CC= （ 2）a 【考点】黄金分割 【分析】根据黄金分割点的定义，知较短的线段=原线段的 倍，可得 BC 的长，同理求
20、得 AC的长，则 CC即可求得 【解答】解：线段 AB=a，C、C是线段 AB 的两个黄金分割点， 较小线段 AC=BC= a， 则 CC=ABACBC=a2 a=（ 2）a 故答案是：（ 2）a 第 16 页（共 32 页） 13如图，网格中的每一个正方形的边长都是 1，ABC 的每一个顶点都在网 格的交点处，则 sinA= 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】过 B 作 BD 垂直于 AC，利用面积法求出 BD 的长，在直角三角形 ABD 中，利用锐角三角函数定义求出 sinA 的值即可 【解答】解：过点 B 作 BDAC ， AB= = ，BC=3，AC= =2 ， S ABC = 32
21、= 2 BD， 解得：BD= ， 在 RtABD 中，sinA= = = ， 故答案为： 14如图，直线 y=x+b（b 0）与双曲线 y= （x 0）交于 A、B 两点，连接 OA、OB，AMy 轴于 M，BNx 轴于 N，现有以下结论： OA=OB；AOMBON ；若AOB=45，则 SAOB =k；当 AB= 时， AM=BN=1其中结论正确的是 第 17 页（共 32 页） 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；全等三角形的判定与性质 【分析】设点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，根据反比例函数图象上点的坐标即可 得出 x1y1=x2y2=k，将 y=x+b 代入 y
22、= 中，整理后根据根与系数的关系即可得 出 x1x2=k，从而得出 x2=y1、x 1=y2，即 ON=OM、AM=BN，利用全等三角形的判 定定理 SAS 即可证出AOMBON，正确；根据全等三角形的性质即可得 出 OA=OB，正确；作 OHAB 于点 H，根据等腰三角形的性质和全等三角 形的性质即可得出AOH=BOH=22.5、AOM=BON=22.5 ，由相等的边角 关系利用全等三角形的判定定理 AAS 即可证出AOMAOH，同理即可得出 AOM AOHBONBOH，再利用反比例系数 k 的几何意义即可得出 SAOB =k，正确；延长 MA、NB 交于 G 点，由 NG=OM=ON=MG
23、、BN=AM 可 得出 GB=GA，进而得出ABG 为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质 以及 AB= 即可得出 GA、GB 的长度，由 OM、ON 的值不确定故无法得出 AM、BN 的值，错误综上即可得出结论 【解答】解：设点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， 点 A、B 在双曲线 y= 上， x 1y1=x2y2=k 将 y=x+b 代入 y= 中，整理得：x 2bx+k=0， x 1x2=k， 又x 1y1=k， x 2=y1，x 1=y2， ON=OM，AM=BN 第 18 页（共 32 页） 在OMA 和 ONB 中， ， AOM BON（SAS） ，正确； A
24、OM BON， OA=OB， OA=OB，AOMBON ，正确； 作 OHAB 于点 H，如图 1 所示 OA=OB，AOB=45，AOMBON ， AOH= BOH=22.5，AOM=BON=22.5 在AOM 和 AOH 中， ， AOM AOH（AAS） ， 同理：BONBOH， AOM AOHBONBOH， S AOB =SAOH +SBOH =SAOM +SBON = k+ k=k，正确； 延长 MA、NB 交于 G 点，如图 2 所示 NG=OM=ON=MG，BN=AM， GB=GA， ABG 为等腰直角三角形， 当 AB= 时，GA=GB= AB=1， OM、ON 不确定， 无法
25、得出 AM=AN=1， 错误 综上所述：结论正确的是 故答案为： 第 19 页（共 32 页） 三、解答题（共 9 小题，共 90 分） 15求值： cos245sin30tan60+ sin60 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、平方、二次根式化简 3 个考点在计 算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结 果 【解答】解： cos245sin30tan60+ sin60 = + = + = 16已知二次函数的顶点坐标为 A（1，9） ，且其图象经过点（1，5） （1）求此二次函数的解析式； （2）若该函数图象与 x 轴的交
26、点为 B、C，求ABC 的面积 第 20 页（共 32 页） 【考点】抛物线与 x 轴的交点；待定系数法求二次函数解析式 【分析】 （1）先利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）通过解方程（x1） 2+9=0 得到 B、C 两点的坐标，然后根据三角形面积公 式求解 【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x 1） 2+9， 把（1，5）代入得 a（1 1） 2+9=5，解得 a=1， 所以抛物线解析式为 y=（x1） 2+9； （2）当 y=0 时，（x1） 2+9=0，解得 x1=4，x 2=2， 所以 B、C 两点的坐标为（2，0） ， （4，0） ， 所以ABC 的面积= 9（4+
27、2）=27 17如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（ 2，1） 、 B（3 ，2 ） 、C（1，4） （1）以原点 O 为位似中心，在第二象限内画出将ABC 放大为原来的 2 倍后的 A 1B1C1 （2）画出ABC 绕 C 点逆时针旋转 90后得到的 A2B2C 【考点】作图-位似变换；作图 -旋转变换 【分析】 （1）把点 A、B、C 的横纵坐标都乘以 2 得到 A1、B 1、C 1 的坐标，然后 第 21 页（共 32 页） 描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点 A、B 的对应点 A2、B 2 即可得到 A2B2C 【解答】解：（1）如图，A 1B1C
28、1 为所作； （2）如图，A 2B2C 为所作； 18如图，ABC 中，D 为 BC 上一点，BAD=C，AB=6，BD=4，求 CD 的 长 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】易证BAD BCA，然后运用相似三角形的性质可求出 BC，从而可 得到 CD 的值 【解答】解：BAD=C，B=B ， BAD BCA， = AB=6，BD=4， = ， BC=9， 第 22 页（共 32 页） CD=BCBD=94=5 19已知：如图，在O 中，直径 CD 交弦 AB 于点 E，且 CD 平分弦 AB，连接 OA，BD （1）若 AE= ，DE=1，求 OA 的长 （2）若 OABD，则 ta
29、nOAE 的值为多少？ 【考点】圆周角定理；解直角三角形 【分析】 （1）根据垂径定理可得 ODAB，然后设 AO=x，则 DO=x，EO=x 1，利 用勾股定理可得（ ） 2+（x 1） 2=x2，再解即可； （2）首先证明AEOBEO，进而可得 EO=ED，然后可得OAB=30 ，再利用 特殊角的三角函数可得答案 【解答】解：（1）直径 CD 交弦 AB 于点 E，且 CD 平分弦 AB， ODAB， 设 AO=x，则 DO=x， DE=1 ， EO=x1， 在 RtAOE 中： AE2+EO2=AO2， （ ） 2+（x1） 2=x2， 解得：x=3， AO=3； （2）OABD， 第
30、23 页（共 32 页） OAB= EBD， 直径 CD 交弦 AB 于点 E，且 CD 平分弦 AB， AE=BE，EOAB， 在AOE 和BDE 中 ， AEOBEO（ASA） EO=ED， AO=DO， OE= AO， OAE=30， tanOAE= 20如图，根据道路管理规定，直线 l 的路段上行驶的车辆，限速 60 千米/时， 已知测速站点 M 距离直线 l 的距离 MN 为 30 米（如图所示） ，现有一辆汽车匀 速行驶，测得此车从 A 点行驶到 B 点所用时间为 6 秒，AMN=60， BMN=45 （1）计算 AB 的长； （2）通过计算判断此车是否超速 （ 1.4， 1.7）
31、 【考点】解直角三角形的应用 第 24 页（共 32 页） 【分析】 （1）已知 MN=30m，AMN=60，BMN=45求 AB 的长度，可以转化 为解直角三角形； （2）求得从 A 到 B 的速度，然后与 60 千米/时16.66 米/ 秒，比较即可确定答 案 【解答】解：（1）在 RtAMN 中，MN=30 ，AMN=60， AN=MNtanAMN=30 在 RtBMN 中， BMN=45 ， BN=MN=30 AB=AN+BN=（30+30 ）米； （2）此车从 A 点行驶到 B 点所用时间为 6 秒， 此车的速度为：（30+30 ）6=5 +5 13.66， 60 千米/ 时 16.
32、66 米/秒， 13.66 16.66 不会超速 21如图，直线 y=mx+n 与双曲线 y= 相交于 A（1，2） 、B（2，b）两点，与 y 轴相交于点 C （1）求 m，n 的值； （2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积； （3）在坐标轴上是否存在异于 D 点的点 P，使得 SPAB =SDAB ？若存在，直接 写出 P 点坐标；若不存在，说明理由 第 25 页（共 32 页） 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （1）利用待定系数法求出 m，n 的值； （2）根据关于 x 轴对称的点的坐标特征求出点 D 的坐标，利用三角形面积公式 计算即可； （3）
33、分点 P 在 x 轴上和点 P 在 y 轴上两种情况，利用三角形面积公式计算即 可 【解答】解：（1）点 A（ 1，2）在双曲线 y= 上， 2= ， 解得，k=2， 反比例函数解析式为：y= ， b= =1， 则点 B 的坐标为（2，1） ， ， 解得，m=1， n=1； （2）对于 y=x+1，当 x=0 时，y=1， 点 C 的坐标为（ 0，1 ） ， 点 D 与点 C 关于 x 轴对称， 点 D 的坐标为（ 0，1） ， 第 26 页（共 32 页） ABD 的面积 = 23=3； （3）对于 y=x+1，当 y=0 时，x=1 ， 直线 y=x+1 与 x 轴的交点坐标为（ 0，1）
34、 ， 当点 P 在 x 轴上时，设点 P 的坐标为（a，0） ， SPAB = |1a|2+ |1a|1=3， 解得，a=1 或 3， 当点 P 在 y 轴上时，设点 P 的坐标为（0，b） ， SPAB = |1b|2+ |1b|1=3， 解得，b=1 或 3， P 点坐标为（1，0）或（3，0）或（0，1）或（0，3） 22为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角MON（MON=135 ）的 两边为边，用总长为 120m 的围网在水库中围成了如图所示的三块区域， 其中区域为直角三角形，区域为矩形，而且四边形 OBDG 为直角梯形 （1）若这块区域的面积相等，则 OB 的长度为 20 m；
35、（2）设 OB=x，四边形 OBDG 的面积为 ym2， 求 y 与 x 之的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围； 设这三块区域的面积分别为 S1、S 2、S 3，若 S1：S 2：S 3=3：2：1，求 GE：ED：DC 的值 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用；相似三角形的应用 【分析】 （1）首先证明 EG=EO=DB，DE=FC=OB，设 OB=CF=DE=x，则 第 27 页（共 32 页） GE=OE=BD= =40x，由这块区域的面积相等，得到 （40x） 2= x（40 x） ，解方程即可 （2）根据直角梯形的面积公式计算即可由 S1：S 2：S 3=3：2：1，
36、肯定 （40x） 2= （ x2+800） ，推出 x= 或 40（舍弃） ，求得 EG=40 = ，ED= ，DC= EG= ，由此即可解决问题 【解答】解：（1）由题意可知，MON=135， EOB=D= DBO=90， EGO= EOG=45 ， EG=EO=DB，DE=FC=OB ，设 OB=CF=DE=x，则 GE=OE=BD= =40x， 这块区域的面积相等， （40x） 2= x（40x） ， x=20 或 40（舍弃） ， BC=20m 故答案为 20 （2）y= （ 40x）= x2+800（0x40） S 1：S 2：S 3=3：2：1， （40x） 2= （ x2+800
37、） ， x= 或 40（舍弃） ， EG=40 = ，ED= ，DC= EG= ， 第 28 页（共 32 页） EG：DE：DC= ： ： =6：3：4 23某班“手拉手” 数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻 边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： （1）如图 1，正方形 ABCD 中，EFGH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分 别交 AD，BC 于点 G，H ，则 EF = GH；（填“ ”“=”或“”） （2）如图 2，矩形 ABCD 中，EFGH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别 交 AD，BC 于点 G，H ，求证
38、： = ； （3）如图 3，四边形 ABCD 中，ABC=ADC=90， BC=3，CD=5， AD=7.5，AMDN，点 M，N 分别在边 BC，AB 上，求 的值 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）EF=GH如图 1 中，过点 A 作 APGH，交 BC 于 P，过点 B 作 BQ EF，交 CD 于 Q，交 BQ 于 T先证明四边形 AEFP、四边形 BHGQ 都是平行 四边形，推出 AP=GH，EF=BQ再证明ABPBCQ，推出 AP=BQ，即可解决 问题 （2）过点 A 作 APEF，交 CD 于 P，过点 B 作 BQGH，交 AD 于 Q，如图 1， 易证 AP=EF， GH
39、=BQ，PDAQAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问 题； （3）过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 平行于 BC 的直线于 R，交 BC 的延 第 29 页（共 32 页） 长线于 S，如图 3，易证四边形 ABSR 是矩形，由（1）中的结论可得 = 设 SC=x，则 AR=BS=3+x，由ARDDSC，得 = = = = ， 推出 DR= x，DS= （x+3） ，在 RtARD 中，根据 AD2=AR2+DR2，可得 7.52=（x +3） 2+（ x） 2，求出 x 即可解决问题 【解答】解：（1）如图 1 中，过点 A 作 APGH，交 BC 于 P，过点 B 作 BQ
40、 EF，交 CD 于 Q，交 BQ 于 T 四边形 ABCD 是正方形， ABDC，ADBC AB=BC，ABP=C=90 四边形 AEFP、四边形 BHGQ 都是平行四边形， AP=GH，EF=BQ 又GHEF ， AP BQ， PBT +ABT=90，ABT +BAT=90 ， CBQ= BAT， 在ABP 和BCQ 中， ， ABPBCQ， AP=BQ， EF=GH， 第 30 页（共 32 页） 故答案为= （2）过点 A 作 APEF，交 CD 于 P，过点 B 作 BQGH，交 AD 于 Q，如图 2， 四边形 ABCD 是矩形，AB DC ，ADBC 四边形 AEFP、四边形 B
41、HGQ 都是平行四边形， AP=EF，GH=BQ 又GHEF ，AP BQ， QAT +AQT=90 四边形 ABCD 是矩形，DAB=D=90， DAP+DPA=90， AQT=DPA PDAQAB， = ， = ； （3）过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 A 平行于 BC 的直线于 R，交 BC 的延 长线于 S，如图 3， 则四边形 ABSR 是平行四边形 ABC=90 ，ABSR 是矩形， 第 31 页（共 32 页） R=S=90，RS=AB=10，AR=BS AMDN， 由（1）中的结论可得 = ， 设 SC=x，则 AR=BS=3+x， ADC=R=S=90， ADR+RAD=90， ADR+SDC=90， RAD=CDS， ARD DSC， = = = = ， DR= x，DS= （x+3） ， 在 RtARD 中，AD 2=AR2+DR2， 7.5 2=（x +3） 2+（ x） 2， 整理得 13x2+24x189=0，解得 x=3 或 ， AR=6 ，AB=RS= ， = = 第 32 页（共 32 页） 2017 年 2 月 25 日
