1、2017-2018 学年广东省东莞市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 2平面直角坐标系内一点 P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （3 ， 2） B （2，3） C （2， 3） D （2，3） 3在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是（ ） A B C D 4抛物线 y=（x1） 2+2 的顶点坐标是（ ） A （1 ，2 ） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 5若正六边形外接圆的半径为 4，则它的边长为（ ） A2 B C4 D 6下列事
2、件中，必然事件是（ ） A掷一枚硬币，正面朝上 B任意三条线段可以组成一个三角形 C投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数 D抛出的篮球会下落 7若关于 x 的一元二次方程 x2+xm=0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm Dm 8用一条长 40cm 的绳子怎样围成一个面积为 75cm2 的矩形？设矩形的一边为 x 米， 根据题意，可列方程为（ ） Ax （40x）=75 Bx（20 x）=75 Cx （x+40）=75 Dx （x+20）=75 9如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E若 AB=8，AE=1，则弦 CD 的长是（ ） A B2 C6 D8 1
3、0二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论： ：a0；b0；b 24ac0；a+b +c0；其中结论正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11方程（x1） （x+2）=0 的解是 12在半径为 6cm 的圆中，120的圆心角所对的弧长为 cm 13将抛物线 y=5x2 向左平移 2 个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是 14在一个不透明的盒子中装有 2 个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相 同若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为 ，则 n= 15如图，把ABC 绕点 C 按顺时针方向旋
4、转 35，得到ABC ，AB交 AC 于点 D若 ADC=90，则A= 16如图，五边形 ABCD 内接于O ，若 AC=AD， B +E=230，则ACD 的度数是 三、解答题（一） （每小题 6 分，共 18 分） 17解方程：3x 26x+1=2 18如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（ 3，5） 、 B（2，1） 、C （1，3） （1）画出将ABC 绕点 O 顺时针旋转 90后所得到的图形A 1B1C1； （2）写出点 A1、B 1、C 1 的坐标 19某电脑公司现有 A、B 、C 三种型号的甲品牌电脑和 D、E 两种型号的乙品牌电 脑某中学要从甲、乙两
5、种品牌电脑中各选购一种型号的电脑 （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示） ； （2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求 A 型号电脑被选中的概率 四、解答题（二） （每小题 7 分，共 21 分） 20有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感 （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？ 21如图，四边形 ABCD 是正方形，ADF 旋转一定角度后得到 ABE，且点 E 在线段 AD 上，若 AF=4，F=60 （1）指出旋转中心和旋转角度； （2）求 DE 的长度和 EBD 的度数 22如图，点 E 是A
6、BC 的内心，AE 的延长线与ABC 的外接圆相交于点 D （1）若BAC=70 ，求 CBD 的度数； （2）求证：DE=DB 五、解答题（三） （每小题 9 分，共 27 分） 23某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试 销据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降 低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本 （1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 400
7、0 元，那么销售单价应控制在什么范 围内？ 24如图，以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A、B 两点，且与 BC 边交于 点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 AC=FC （1）求证：AC 是O 的切线： （2）若 BF=8，DF= ，求O 的半径； （3）若ADB=60 ，BD=1，求阴影部分的面积 （结果保留根号） 25如图，在ABC 中， A=30，C=90，AB=12，四边形 EFPQ 是矩形，点 P 与点 C 重合，点 Q、E、F 分别在 BC、AB 、AC 上（点 E 与点 A、点 B 均不重合） （1）当 AE=8 时，求 E
8、F 的长； （2）设 AE=x，矩形 EFPQ 的面积为 y 求 y 与 x 的函数关系式； 当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ （3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，将矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 匀速 向右运动（当点 P 到达点 B 时停止运动） ，设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围 2017-2018 学年广东省东莞市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D
9、 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形故错误； B、是中心对称图形故错误； C、不是中心对称图形故正确； D、是中心对称图形故错误 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2平面直角坐标系内一点 P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （3 ， 2） B （2，3） C （2， 3） D （2，3） 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答 【解答】解：点 P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（2 ，3） 故选：D 【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的
10、特征，熟记特征是解题的关键 3在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是（ ） A B C D 【分析】由单词“APPLE”中有 2 个 p，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：单词“APPLE”中有 2 个 p， 从单词“APPLE”中随机抽取一个字母为 p 的概率为： 故选：C 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数 之比 4抛物线 y=（x1） 2+2 的顶点坐标是（ ） A （1 ，2 ） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 【分析】由抛物线解析式即可求得答案 【解答】解： y=（x1） 2+2， 抛物
11、线顶点坐标为（1，2） ， 故选：A 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 y=a（x h） 2+k 中，顶点坐标为（ h，k） ，对称轴为 x=h 5若正六边形外接圆的半径为 4，则它的边长为（ ） A2 B C4 D 【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可 求解 【解答】解：正六边形的中心角为 3606=60，那么外接圆的半径和正六边形的边长 将组成一个等边三角形， 故正六边形的外接圆半径等于 4，则正六边形的边长是 4 故选：C 【点评】此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边 长将组成一
12、个等边三角形得出是解题关键 6下列事件中，必然事件是（ ） A掷一枚硬币，正面朝上 B任意三条线段可以组成一个三角形 C投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数 D抛出的篮球会下落 【分析】必然事件是指一定会发生的事件 【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故 A 错误； B、在同一条直线上的三条线段不能组成三角形，故 B 错误； C、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故 C 错误； D、抛出的篮球会下落是必然事件 故选：D 【点评】本题主要考查的是必然事件和随机事件，掌握随机事件和必然事件的概念是 解题的关键 7若关于 x 的一元二次方程 x2+xm=0 有实
13、数根，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm Dm 【分析】根据方程有实数根得出不等式，求出不等式的解集即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+xm=0 有实数根， =1 241（m）=1+ 4m0， 解得：m ， 故选：B 【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能根据根的判别式和已知得出 不等式是解此题的关键 8用一条长 40cm 的绳子怎样围成一个面积为 75cm2 的矩形？设矩形的一边为 x 米， 根据题意，可列方程为（ ） Ax （40x）=75 Bx（20 x）=75 Cx （x+40）=75 Dx （x+20）=75 【分析】根据长方形的周长可以用 x 表
14、示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程 【解答】解：设长为 xcm， 长方形的周长为 40cm， 宽为=（20x） （cm ） ， 得 x（20x）=75 故选：B 【点评】本题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式 S=ab 来 解题的方法 9如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E若 AB=8，AE=1，则弦 CD 的长是（ ） A B2 C6 D8 【分析】根据垂径定理，可得答案 【解答】解：连接 OC， 由题意，得 OE=OAAE=41=3， CE=ED= = ， CD=2CE=2 ， 故选：B 【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，垂径定理是解题关键 1
15、0二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论： ：a0；b0；b 24ac0；a+b +c0；其中结论正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据抛物线开口向下可得出 a0，结论 正确；由抛物线对称轴为直线 x=1 可得出 b=2a0，结论 错误；由抛物线与 x 轴有两个交点，可得出 =b24ac0，结论正确；由当 x=1 时 y0，可得出 a+b+c0，结论正确综 上即可得出结论 【解答】解：抛物线开口向下， a 0 ，结论正确； 抛物线对称轴为直线 x=1， =1， b=2a0，结论错误； 抛物线与 x 轴有两个交点， =b 24ac0，
16、结论正确； 当 x=1 时，y 0 ， a +b+c0，结论正确 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察函数图象，逐一分析四条结论 的正误是解题的关键 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11方程（x1） （x+2）=0 的解是 x 1=1、x 2=2 【分析】由题已知的方程已经因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相 乘值为 0，这两式中至少有一式值为 0，求出方程的解 【解答】解：（x1） （x+2）=0 x1=0 或 x+2=0 x 1=1，x 2=2， 故答案为 x1=1、x 2=2 【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，因式分解法解
17、一元二次 方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为 0，再分别使各一次因式等 于 0 即可求解 12在半径为 6cm 的圆中，120的圆心角所对的弧长为 4 cm 【分析】直接利用弧长公式求出即可 【解答】解：半径为 6cm 的圆中，120的圆心角所对的弧长为： =4（cm ） 故答案为：4 【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键 13将抛物线 y=5x2 向左平移 2 个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是 y=5（x +2） 2 【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可 【解答】解：抛物线 y=5x2 的顶点坐标为（0，
18、0） ， 向左平移 2 个单位后的抛物线的顶点坐标为（2， 0） ， 所以，平移后的抛物线的解析式为 y=5（x +2） 2 故答案为：y=5（x+2） 2 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减， 上加下减并用根据规律利用点的变化确定函数解析式 14在一个不透明的盒子中装有 2 个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相 同若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为 ，则 n= 4 【分析】根据黄球的概率公式列出关于 n 的方程，求出 n 的值即可 【解答】解：由题意知： = ， 解得 n=4 故答案为 4 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率
19、=所求情况数与总情况数之比 15如图，把ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35，得到ABC ，AB交 AC 于点 D若 ADC=90，则A= 55 【分析】根据题意得出ACA=35 ，则A=9035=55，即可得出A 的度数 【解答】解：把ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35，得到ABC ，AB交 AC 于点 D，ADC=90 ， ACA=35，则A=9035=55， 则A=A=55 故答案为：55 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出A的度数是 解题关键 16如图，五边形 ABCD 内接于O ，若 AC=AD， B +E=230，则ACD 的度数是 65 【
20、分析】依据圆周角定理，依据圆内接四边形的对角互补即可求解 【解答】解：连接 OC，OD，CE，DB 在圆内接四边形 ABCE 中，有ABC+AEC=180 ； 由圆周角定理知，AOC=2 AEC， ABC+ AOC=180 ， 同理AED+ AOD=180 两式相加有：230+ AOC+ AOD=360，即AOC+AOD=260， COD=360（AOC+AOD）=100=2CAD ， CAD=50 AC=AD， ACD= ， 故答案为：65 【点评】本题考查圆内接四边形问题，关键是利用了圆内接四边形的性质：对角互补， 圆周角定理求解 三、解答题（一） （每小题 6 分，共 18 分） 17解
21、方程：3x 26x+1=2 【分析】方程整理成一般式后，利用公式法求解可得 【解答】解：方程整理为一般式为 3x26x1=0， a=3，b= 6，c=1， =3643（1）=480， 则 x= = ， 即 x1= ，x 2= 【点评】此题考查了一元二次方程的解法此题难度不大，注意选择适宜的解题方法 是解此题的关键 18如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（ 3，5） 、 B（2，1） 、C （1，3） （1）画出将ABC 绕点 O 顺时针旋转 90后所得到的图形A 1B1C1； （2）写出点 A1、B 1、C 1 的坐标 【分析】 （1）直接利用旋转的性质得出对应点
22、位置进而得出答案； （2）直接利用（1）中所求进而得出答案 【解答】解：（1）如图所示：A 1B1C1，即为所求； （2）如图所示：A 1（5，3） 、B 1（1，2） 、C 1（3，1） 【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键 19某电脑公司现有 A、B 、C 三种型号的甲品牌电脑和 D、E 两种型号的乙品牌电 脑某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑 （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示） ； （2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求 A 型号电脑被选中的概率 【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果
23、； （2）由（1）可求得 A 型号电脑被选中的情况，然后利用概率公式求解即可求得答 案 【解答】解：（1）画树状图得： 有 6 种选择方案：AD 、 AE、BD、BE、CD、CE； （2）（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，且 A 型号电脑被选中的有 2 种情 况， A 型号电脑被选中的概率= = 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以 不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适 合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比 四、解答题（二） （每小题 7 分，共 21 分） 20有一个人患了流感
24、，经过两轮传染后共有 81 人患了流感 （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？ 【分析】 （1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，根据有一个人患了流感，经过 两轮传染后共有 81 人患了流感，列方程求解 （2）根据（1）中所求数据，进而表示出第三轮将又被传染的人数 【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，依题意有 x+1+（x +1）x=81 ， 解得 x1=8，x 2=10（不符合题意舍去） 答：每轮传染中平均一个人传染了 8 个人 （2）881=648（人） 答：第三轮将又有 648 人被传染人 【点评】本题考
25、查了一元二次方程的应用，关键是看到两轮传染，从而可列方程求 解 21如图，四边形 ABCD 是正方形，ADF 旋转一定角度后得到 ABE，且点 E 在线段 AD 上，若 AF=4，F=60 （1）指出旋转中心和旋转角度； （2）求 DE 的长度和 EBD 的度数 【分析】 （1）由于ADF 旋转一定角度后得到ABE ，根据旋转的性质得到旋转中心为 点 A，DAB 等于旋转角，于是得到旋转角为 90； （2）根据旋转的性质得到 AE=AF=4，AEB= F=60，则ABE=9060=30 ，运用勾股 定理得到 AB=AD=4 ， ABD=45，所以 DE=4 4，然后利用EBD=ABD ABE
26、计算即可 【解答】解：（1）ADF 旋转一定角度后得到ABE ， 旋转中心为点 A，DAB 等于旋转角， 旋转角为 90； （2）ADF 以点 A 为旋转轴心，顺时针旋转 90后得到ABE， AE=AF=4，AEB=F=60， ABE=9060=30， BE=2AE=8， AB= =4 ， 四边形 ABCD 为正方形， AD=AB=4 ，ABD=45， DE=4 4， EBD= ABDABE=15 【点评】本题考查了旋转的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中 心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形 全等 22如图，点 E 是ABC 的内心，AE
27、的延长线与ABC 的外接圆相交于点 D （1）若BAC=70 ，求 CBD 的度数； （2）求证：DE=DB 【分析】 （1）根据圆周角与圆心角的关系解答即可； （2）根据等边对等角可以证得CAB= CBA，然后根据内心的定义即可证得 ABE=BAE，从而依据等角对等边即可证得 【解答】解：（1）点 E 是ABC 的内心，BAC=70， CAD= ， ， CBD=CAD=35 ； （2）E 是内心， ABE=CBE ，BAD=CAD CBD=CAD， CBD=BAD， BAD+ABE= BED，CBE+CBD=DBE ， DBE= BED， DE=DB； 【点评】本题考查了三角形的内心以及圆周
28、角定理，根据内心的定义证得ABE=BAE 是本题的关键 五、解答题（三） （每小题 9 分，共 27 分） 23某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试 销据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降 低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本 （1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，那么销售单价应控制在什么范 围内？ 【分析】 （1）根据“利润=（
29、售价成本）销售量”列出方程； （2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行 解答； （3）把 y=4000 代入函数解析式，求得相应的 x 值，即可确定销售单价应控制在什么 范围内 【解答】解：（1）y=（x 50）50+5 （100 x） =（ x50） （ 5x+550） =5x2+800x27500， y= 5x2+800x27500（50x 100） ； （2）y= 5x2+800x27500=5（x80） 2+4500， a=50， 抛物线开口向下 50x100，对称轴是直线 x=80， 当 x=80 时，y 最大值 =4500； （3）当 y=400
30、0 时，5（x 80） 2+4500=4000， 解得 x1=70， x2=90 当 70x90 时，每天的销售利润不低于 4000 元 【点评】本题考查二次函数的实际应用建立数学建模题，借助二次函数解决实际问 题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系， 列出函数关系式和方程，再求解 24如图，以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A、B 两点，且与 BC 边交于 点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 AC=FC （1）求证：AC 是O 的切线： （2）若 BF=8，DF= ，求O 的半径； （3）若ADB=60
31、，BD=1，求阴影部分的面积 （结果保留根号） 【分析】 （1）连接 OA、OD，如图，利用垂径定理的推论得到 ODBE，再利用 CA=CF 得到CAF=CFA ，然后利用角度的代换可证明 OAD+CAF=90 ，则 OAAC，从 而根据切线的判定定理得到结论； （2）设O 的半径为 r，则 OF=8r，在 RtODF 中利用勾股定理得到（ 8r） 2+r2=（ ） 2，然后解方程即可； （3）先证明BOD 为等腰直角三角形得到 OB= ，则 OA= ，再利用圆周角定理得 到AOB=2ADB=120，则AOE=60，接着在 RtOAC 中计算出 AC，然后用一个 直角三角形的面积减去一个扇形的
32、面积去计算阴影部分的面积 【解答】 （1）证明：连接 OA、OD，如图， D 为 BE 的下半圆弧的中点， ODBE， ODF+OFD=90， CA=CF， CAF=CFA， 而CFA=OFD ， ODF+CAF=90， OA=OD， ODA=OAD， OAD+ CAF=90，即 OAC=90， OAAC， AC 是O 的切线； （2）解：设O 的半径为 r，则 OF=8r， 在 RtODF 中， （8r） 2+r2=（ ） 2，解得 r1=6， r2=2（舍去） ， 即O 的半径为 6； （3）解：BOD=90，OB=OD ， BOD 为等腰直角三角形， OB= BD= ， OA= ， AO
33、B=2ADB=120， AOE=60， 在 RtOAC 中，AC= OA= ， 阴影部分的面积= = 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是 圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共 点”或“ 过圆心作这条直线的垂线 ”；有切线时，常常 “遇到切点连圆心得半径” 25如图，在ABC 中， A=30，C=90，AB=12，四边形 EFPQ 是矩形，点 P 与点 C 重合，点 Q、E、F 分别在 BC、AB 、AC 上（点 E 与点 A、点 B 均不重合） （1）当 AE=8 时，求 EF 的长； （2）设 AE=x，矩形 EFP
34、Q 的面积为 y 求 y 与 x 的函数关系式； 当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ （3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，将矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 匀速 向右运动（当点 P 到达点 B 时停止运动） ，设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围 【分析】 （1）由 EFBC ，可得 = ，由此即可解决问题； （2）先根据点 E 为 AB 上一点得出自变量 x 的取值范围，根据 30的直角三角形的性 质求出 EF 和 AF 的长，在 在 RtACB 中，根据三角函数求出 A
35、C 的长，计算 FC 的长，利用矩形的面积公式可求 得 S 的函数关系式； 把二次函数的关系式配方可以得结论； （3）分两种情形分别求解即可解决问题 【解答】解：（1）在 RtABC 中，AB=12 ，A=30， BC= AB=6，AC= BC=6 ， 四边形 EFPQ 是矩形， EF BC， = ， = ， EF=4 （2）AB=12，AE=x，点 E 与点 A、点 B 均不重合， 0x12， 四边形 CDEF 是矩形， EF BC， CFE=90， AFE=90 ， 在 RtAFE 中，A=30， EF= x， AF=cos30AE= x， 在 RtACB 中，AB=12， cos30=
36、， AC=12 =6 ， FC=ACAF=6 x， S=FCEF= x（6 x）= x2+3 x（0x12） ； S= x（12x）= （x 6） 2+9 ， 当 x=6 时，S 有最大值为 9 ； （3）当 0t3 时，如图 1 中，重叠部分是五边形 MFPQN， S=S 矩形 EFPQS EMN=9 t2= t2+9 当 3t6 时，重叠部分是 PBN ， S= （ 6t） 2， 综上所述，S= 【点评】本题考查了矩形的性质、特殊的三角函数、30的直角三角形的性质、二次函 数的最值、正方形的判定等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题， 学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
