1、第 1 页（共 24 页） 2016-2017 学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个正确 的选项） 1式子 有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax 1 Bx1 Cx1 Dx1 2方程 x2=4 的解是（ ） Ax=2 Bx= 2 Cx 1=1，x 2=4 Dx 1=2，x 2=2 3一元二次方程 x2+2x1=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 4下列各式计算正确的是（ ） A6 2 =4 B2 +3 =5 C2 3 =6 D6 2 =3 5在
2、ABC 中，ACB=90，BC=1 ，AC=2，则下列正确的是（ ） AsinA= BtanA= CcosB= DtanB= 6用配方法解方程 x26x5=0，下列配方结果正确的是（ ） A （x 6） 2=41 B （x3） 2=14 C （x+3） 2=14 D （x3） 2=4 7下列事件中，是必然事件的是（ ） A打开电视机，它正在直播排球比赛 B抛掷 5 枚硬币，结果是 2 个正面朝上与 3 个反面朝上 C黑暗中从一大串钥匙中随便选中一把，用它打开了门 D投掷一枚普通的正方体骰子，正面朝上的数不是奇数便是偶数 8如图，在ABC 中， C=90，AC=8cm，AB 的垂直平分线 MN
3、交 AC 于 D， 连接 BD，若 cosBDC= ，则 BC 的长是（ ） 第 2 页（共 24 页） A4cm B6cm C8cm D10cm 9下列关于相似的命题中，等边三角形都相似；直角三角形都相似；等 腰直角三角形都相似；矩形都相似，其中真命题有（ ） A B C D 10如图，E 为ABCD 的边 AB 延长线上的一点，且 BE：AB=2：3，BEF 的面 积为 4，则ABCD 的面积为（ ） A30 B27 C14 D32 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 26 分） 11已知 = ，则 = 12已知锐角 满足 cos= ，则锐角 的度数是 度 13把二次根式
4、化成最简二次根式，则 = 14同时投掷二枚正四面体骰子，所得的点数之和恰为偶数的概率是 15若关于 x 的一元二次方程 x2x+k=0 的一个根是 0，则另一个根是 16将矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，BE、CF 为折痕，折叠后点 A 和点 D 都 落在点 O 处，若EOF 是等边三角形，则 的值为 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分） 17计算：2 +tan602sin45 18解方程：（x1） 2=2（1x） 第 3 页（共 24 页） 19如图，在ABC 中， DEBC 中，AD=1，BD=2，DE=2，求 BC 的长 20用一个字来回顾 2016 年漳州的楼市，这个字就
5、是“涨”！根据漳州房地产联 合网不完全统计，2016 年市区某在售的楼盘十月份房价为 8100 元/m 2，到了十 二月房价均价为 12100 元/m 2，求十月到十二月房价均价的平均月增长率是多少？ 21如图所示，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索 AB 的长度为 4 米，将 它往前推进 2 米（即 DE=2 米） ，求此时秋千的绳索与静止时所夹的角度及木马 上升的高度 （精确到 0.1 米） 22在学习概率知识的课堂上，老师组织小组讨论一道题目：在一个不透明的 袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，红球 2 个，要求同学们按两种规则摸球，规则一：搅匀后从
6、中摸出一个球，放回搅匀 后再摸出第二个球；规则二：搅匀后从中一次任意摸出两个球，请你通过画树 状图或列表法计算说明哪种规则摸出两个红球的概率较大？ 23观察下列各式： =1+ =1 ； =1+ =1 ； =1+ =1 ， 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题 第 4 页（共 24 页） 猜想： = = ； 归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用 n（n 为正整数）表示的等式： ； 应用：计算 24如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的边 BC 在 x 轴上，点 A 在 y 轴上， AD=6，若 OA、OB 的长是关于 x 的一元二次方程 x27x+12=0 的两个根，且 OAOB （1）
7、求 cosABC 的值； （2）点 P 由 B 出发沿 BC 方向匀速运动，速度为每秒 2 个单位长度，点 Q 由 D 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度，设运动时间为 t 秒 （0t3 ） ，是否存在某一时刻；使 AOP 与QAO 相似？若存在，求此时 t 的值；若不存在，请说明理由 25探究证明： （1）如图 1，矩形 ABCD 中，点 M、N 分别在边 BC，CD 上，AMBN，求证： = （2）如图 2，矩形 ABCD 中，点 M 在边 BC 上，EFAM，EF 分别交 AB，CD 于 点 E、点 F，试猜想 与 有什么数量关系？并证明你的猜想 拓展应用：综合（1）
8、 、 （2）的结论解决以下问题： （3）如图 3，四边形 ABCD 中，ABC=90，AB=AD=10，BC=CD=5，AMDN， 点 M， N 分别在边 BC，AB 上，求 的值 第 5 页（共 24 页） 第 6 页（共 24 页） 2016-2017 学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个正确 的选项） 1式子 有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax 1 Bx1 Cx1 Dx1 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式 x10，通过解该不等 式即
9、可求得 x 的取值范围 【解答】解：根据题意，得 x10， 解得，x1 故选：C 2方程 x2=4 的解是（ ） Ax=2 Bx= 2 Cx 1=1，x 2=4 Dx 1=2，x 2=2 【考点】解一元二次方程直接开平方法 【分析】直接开平方法求解可得 【解答】解：x 2=4， x 1=2，x 2=2， 故选：D 3一元二次方程 x2+2x1=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 第 7 页（共 24 页） 【考点】根的判别式 【分析】先计算出根的判别式的值，根据的值就可以判断根的情况 【解答】解：在方程 x2+2x1=0 中，=
10、2 241（1）=80， 方程 x2+2x1=0 有两个不相等的实数根 故选 A 4下列各式计算正确的是（ ） A6 2 =4 B2 +3 =5 C2 3 =6 D6 2 =3 【考点】二次根式的混合运算 【分析】根据二次根式的加减法对 A、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则 对 C 进行判断；根据二次根式的除法法则对 D 进行判断 【解答】解：A、原式=2 ，所以 A 选项错误； B、2 与 3 不能合并，所以 B 选项错误； C、原式=6 =6 ，所以 C 选项正确； D、原式=3，所以 D 选项错误 故选 C 5在ABC 中，ACB=90，BC=1 ，AC=2，则下列正确的是（ ） A
11、sinA= BtanA= CcosB= DtanB= 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】先根据勾股定理得出 AB，再根据三角函数的定义分别得出 sinA，tanA，cosB，tanB 即可 【解答】解：ACB=90，BC=1，AC=2 ， AB= = = ， sinA= = = ， tanA= = ， cosB= = = ， 第 8 页（共 24 页） tanB= =2， 故选 C 6用配方法解方程 x26x5=0，下列配方结果正确的是（ ） A （x 6） 2=41 B （x3） 2=14 C （x+3） 2=14 D （x3） 2=4 【考点】解一元二次方程配方法 【分析】将常数项移到等
12、式的右边，再在两边都配上一次项系数一半的平方即 可得 【解答】解：x 26x=5， x 26x+9=5+9，即（x3） 2=14， 故选：B 7下列事件中，是必然事件的是（ ） A打开电视机，它正在直播排球比赛 B抛掷 5 枚硬币，结果是 2 个正面朝上与 3 个反面朝上 C黑暗中从一大串钥匙中随便选中一把，用它打开了门 D投掷一枚普通的正方体骰子，正面朝上的数不是奇数便是偶数 【考点】随机事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可 【解答】解：A、打开电视机，它正在直播排球比赛是随机事件，故 A 错误； B、抛掷 5 枚硬币，结果是 2 个正面朝上与 3 个反面朝上是随机事
13、件，故 B 错误； C、黑暗中从一大串钥匙中随便选中一把，用它打开了门是随机事件，故 C 错误； D、投掷一枚普通的正方体骰子，正面朝上的数不是奇数便是偶数是必然事件， 故 D 正确； 故选：D 第 9 页（共 24 页） 8如图，在ABC 中， C=90，AC=8cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D， 连接 BD，若 cosBDC= ，则 BC 的长是（ ） A4cm B6cm C8cm D10cm 【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质 【分析】根据垂直平分线的性质得出 BD=AD，再利用 cosBDC= = ，即可求 出 CD 的长，再利用勾股定理求出 BC 的长 【解答
14、】解：C=90 ， AC=8cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，连接 BD， BD=AD， CD+BD=8， cosBDC= = ， = ， 解得：CD=3，BD=5， BC=4 故选 A 9下列关于相似的命题中，等边三角形都相似；直角三角形都相似；等 腰直角三角形都相似；矩形都相似，其中真命题有（ ） A B C D 【考点】命题与定理 【分析】判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否 相等矩形、三角形、都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比 不一定相等，故不一定相似，而两个等边三角形和等腰直角三角形，对应角都 是相等，对应边的比也都相当，故一定相
15、似 第 10 页（共 24 页） 【解答】解：等边三角形都相似，正确； 直角三角形不一定相似，错误； 等腰直角三角形都相似，正确； 矩形不一定相似，错误； 故选 B 10如图，E 为ABCD 的边 AB 延长线上的一点，且 BE：AB=2：3，BEF 的面 积为 4，则ABCD 的面积为（ ） A30 B27 C14 D32 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及面积的和差求解 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，CDAB，BC AB ， BEFAED， ， ， ， BEF 的面积为 4， S AED =25，
16、 S 四边形 ABFD=SAED SBEF =21， AB=CD， ， ， ABCD， 第 11 页（共 24 页） BEFCDF， ， S CDF =9， S 平行四边形 ABCD=S 四边形 ABFD+SCDF =21+9=30， 故选 A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 26 分） 11已知 = ，则 = 【考点】比例的性质 【分析】根据等式的性质，可用 m 表示 n，根据分式的性质，可得答案 【解答】解：由 = ，得 n=3m = = ， 故答案为： 12已知锐角 满足 cos= ，则锐角 的度数是 60 度 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据特殊角三角函数值
17、，可得答案 【解答】解：由锐角 满足 cos= ，则锐角 的度数是 60 度， 故答案为：60 13把二次根式 化成最简二次根式，则 = 【考点】最简二次根式 【分析】根据二次根式的性质把根号内的因式开出来即可 【解答】解： = = ， 第 12 页（共 24 页） 故答案为： 14同时投掷二枚正四面体骰子，所得的点数之和恰为偶数的概率是 【考点】列表法与树状图法 【分析】画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出所得的点数之和恰为 偶数的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中所得的点数之和恰为偶数的结果数为 8， 所以所得的点数之和恰
18、为偶数的概率= = 15若关于 x 的一元二次方程 x2x+k=0 的一个根是 0，则另一个根是 1 【考点】根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系 x1+x2= ，来求方程的另一个 根 【解答】解：设 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 x2x+k=0 的两个根， 关于 x 的一元二次方程 x2x+k=0 的一个根是 0， 由韦达定理，得 x1+x2=1，即 x2=1， 即方程的另一个根是 1 故答案为 1 16将矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，BE、CF 为折痕，折叠后点 A 和点 D 都 落在点 O 处，若EOF 是等边三角形，则 的值为 第 13 页（共 2
19、4 页） 【考点】翻折变换（折叠问题） ；等边三角形的性质；矩形的性质 【分析】由EOF 是等边三角形，可得 EF=OE=OF， OEF=60 ，又由由折叠的 性质可得：OE=AE，OF=DF，AEB= OEB ，则可得 AD=3AE，AEB=60，则可 证得 AB= AE，继而求得答案 【解答】解：EOF 是等边三角形， EF=OE=OF，OEF=60 ， 由折叠的性质可得：OE=AE，OF=DF，AEB= OEB， AD=3AE，AEB= =60， 四边形 ABCD 是矩形， A=90， tanAEB= = ， AB= AE， = 故答案为： 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分）
20、 17计算：2 +tan602sin45 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】把 tan60、sin45的特殊三角函数值代入代数式，再进行加减运算 【解答】解：原式=2 + 2 = 第 14 页（共 24 页） = 18解方程：（x1） 2=2（1x） 【考点】解一元二次方程因式分解法 【分析】先移项得到（x1） 2+2（x 1）=0，然后利用因式分解法解方程 【解答】解：（x1） 2+2（x 1）=0， （x1） （x1+2）=0， x1=0 或 x1+2=0， 所以 x1=1，x 2=1 19如图，在ABC 中， DEBC 中，AD=1，BD=2，DE=2，求 BC 的长 【考
21、点】相似三角形的判定与性质 【分析】求出 AB=3，证明 ADE ABC，得出比例式，即可得出结果 【解答】解：AD=1，BD=2， AB=AD+BD=3， DEBC， ADE ABC， = ， BC=3DE=32=6 20用一个字来回顾 2016 年漳州的楼市，这个字就是“涨”！根据漳州房地产联 第 15 页（共 24 页） 合网不完全统计，2016 年市区某在售的楼盘十月份房价为 8100 元/m 2，到了十 二月房价均价为 12100 元/m 2，求十月到十二月房价均价的平均月增长率是多少？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】首先根据题意可得十二月的房价=十一月的房价（1+增长率） ，
22、十一 月的房价=十月的房价 （ 1+增长率） ，由此可得方程 【解答】解：设十月到十二月房价均价的平均月增长率是 x，根据题意得： 8100（1+x） 2=12100， 解得 x1= 22%，x 2= （不合题意，舍去） 答：十月到十二月房价均价的平均月增长率约为 22% 21如图所示，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索 AB 的长度为 4 米，将 它往前推进 2 米（即 DE=2 米） ，求此时秋千的绳索与静止时所夹的角度及木马 上升的高度 （精确到 0.1 米） 【考点】勾股定理的应用 【分析】作 CFAB，由 sinCAB= 可得CAB 度数，根据勾股定理求得 AF 的长，可得 BF 的
23、长度 【解答】解：过点 C 作 CFAB 于点 F， 第 16 页（共 24 页） 根据题意得：AB=AC=4， CF=DE=2， 在 RtACF 中，sinCAB= = = ， CAB=30 ， 由勾股定理可得 AF2+CF2=AC2， AF= = =2 ， BF=ABAF=42 0.5， 此时秋千的绳索与静止时所夹的角度为 30 度，木马上升的高度约为 0.5 米 22在学习概率知识的课堂上，老师组织小组讨论一道题目：在一个不透明的 袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，红球 2 个，要求同学们按两种规则摸球，规则一：搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀 后再
24、摸出第二个球；规则二：搅匀后从中一次任意摸出两个球，请你通过画树 状图或列表法计算说明哪种规则摸出两个红球的概率较大？ 【考点】列表法与树状图法 【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可知道 哪种方法摸到两个红球的概率较大 【解答】解：规则一、摸出一个球后放回，再摸出一个球时， ， 共有 16 种等可能的结果数，其中两个都是红球的占 4 种， 所以两次都摸到红球的概率= ； 第 17 页（共 24 页） 规则二、一次性摸两个球时， 一共有 12 种情况，有 2 种情况两次都摸到红球， 两次都摸到红球的概率是= ， 第一规则摸出两个红球的概率较大 23观察下列各式： =1
25、+ =1 ； =1+ =1 ； =1+ =1 ， 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题 猜想： = 1+ = 1 ； 归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用 n（n 为正整数）表示的等式： =1+ = ； 应用：计算 【考点】二次根式的性质与化简 【分析】直接利用利用已知条件才想得出答案； 直接利用已知条件规律用 n（n 为正整数）表示的等式即可； 利用发现的规律将原式变形得出答案 【解答】解：猜想： =1+ =1 ； 第 18 页（共 24 页） 故答案为：1+ ，1 ； 归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用 n（n 为正整数）表示的等式： =1+ = ； 应用： = = =1+ =1
26、 24如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的边 BC 在 x 轴上，点 A 在 y 轴上， AD=6，若 OA、OB 的长是关于 x 的一元二次方程 x27x+12=0 的两个根，且 OAOB （1）求 cosABC 的值； （2）点 P 由 B 出发沿 BC 方向匀速运动，速度为每秒 2 个单位长度，点 Q 由 D 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度，设运动时间为 t 秒 （0t3 ） ，是否存在某一时刻；使 AOP 与QAO 相似？若存在，求此时 t 的值；若不存在，请说明理由 第 19 页（共 24 页） 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）先解一元二次方程得出 O
27、A=4，OB=3，再用勾股定理即求出 AB， 最后用三角函数的定义即可得出结论； （2）分点 P 在 OB 和 OC 上两种情况，当点 P 在 OB 上时分AOPOAQ 和 AOP QAO，用比例式建立方程求解即可；当点 P 在 OC 上时，同点 P 在 OB 上的方法即可得出结论 【解答】解：（1）由方程 x27x+12=0 解得，x=4，或 x=3， OAOB， OA=4，OB=3， 在 RtAOB 中， AB= =5， cosABC= ， （2）如图，由题意得，BP=2t，AQ=6 t， 当点 P 在 OB 上时，0t 1.5， AOP=OAQ=90 ， 当 时，AOPOAQ， ， t=
28、 （舍）或 t= ， 当 时，AOPQAO， 3 2t=6t， t=3（舍） ， 当点 P 在 OC 上时，1.5t3， AOP=OAQ=90 ， 当 ，AOPOAQ， 此时方程无实数解， 第 20 页（共 24 页） 当 ， 2t 3=6t， t=3， 综上可得当 t= 或 t=3 时，AOP 与QAO 相似 25探究证明： （1）如图 1，矩形 ABCD 中，点 M、N 分别在边 BC，CD 上，AMBN，求证： = （2）如图 2，矩形 ABCD 中，点 M 在边 BC 上，EFAM，EF 分别交 AB，CD 于 点 E、点 F，试猜想 与 有什么数量关系？并证明你的猜想 拓展应用：综合
29、（1） 、 （2）的结论解决以下问题： （3）如图 3，四边形 ABCD 中，ABC=90，AB=AD=10，BC=CD=5，AMDN， 点 M， N 分别在边 BC，AB 上，求 的值 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明 （2）结论： = 如图 2 中，过点 B 作 BGEF 交 CD 于 G，首先证明四边 形 BEFG 是平行四边形，推出 BG=EF，由GBCMAB，得 = ，由此即可 第 21 页（共 24 页） 证明 （3）如图 3 中，过点 D 作平行于 AB 的直线交过点 A 平行于 BC 的直线于 R， 交 BC 的延长线于 S，连接 AC
30、，则四边形 ABSR 是平行四边形由（ 2）中结论 可得： = ，想办法求出 BS 即可解决问题 【解答】解：（1）如图 1 中， 四边形 ABCD 是矩形， ABC=C=90 NBA+NBC=90， AMBN ， MAB+ NBA=90， NBC= MAB， BCNABM ， = （2）结论： = 理由：如图 2 中，过点 B 作 BGEF 交 CD 于 G， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD， 第 22 页（共 24 页） 四边形 BEFG 是平行四边形， BG=EF， EF AM， BGAM， GBA+MAB=90 ， ABC=C=90 ， GBC +GBA=90， MAB=GBC，
31、 GBC MAB， = ， = （3）如图 3 中，过点 D 作平行于 AB 的直线交过点 A 平行于 BC 的直线于 R， 交 BC 的延长线于 S，连接 AC，则四边形 ABSR 是平行四边形 ABC=90 ， 四边形 ABSR 是矩形， R=S=90，RS=AB=10，AR=BS， AMDN， 由（2）中结论可得： = ， AB=AD，CB=CD，AC=AC， 第 23 页（共 24 页） ACDACB ， ADC=ABC=90， SDC+RDA=90 ， RAD+RDA=90， RAD=SDC， RAD SDC， = ，设 SC=x， = ， RD=2x，DS=102x， 在 RtCSD 中，CD 2=DS2+SC2， 5 2=（102x） 2+x2， x=3 或 5（舍弃） ， BS=5+x=8， = = = 第 24 页（共 24 页） 2017 年 5 月 5 日
