1、第 1 页（共 22 页） 2015-2016 学年四川省德阳市绵竹市九年级（上）期末数学试卷 一、单项选择题（本题满分 36 分，共有 12 道小题，每小题 3 分） 1向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上这一事件是（ ） A必然发生 B不可能发生 C可能发生也可能不发生 D以上都对 2用配方法解方程：x 24x+2=0，下列配方正确的是（ ） A （x2 ） 2=2 B （x+2） 2=2 C （x 2） 2=2 D （x2） 2=6 3如图，用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心，这种方法应用的道理是（ ） A垂径定理 B勾股定理 C直径所对的圆周角是直角 D90的圆周角所对的弦是直径
2、4如图，已知 A、B、C、D、E 均在O 上，且 AC 为直径，则 A+B+C=（ ） 度 A30 B45 C60 D90 5如图，在长为 100 米，宽为 80 米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路， 剩余部分进行绿化，要使绿化面积为 7644 米 2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为 x 米，则可列方程为（ ） A10080100x80x=7644 B （80 x）+x 2=7644 C （80x）=7644 D100x+80x=356 第 2 页（共 22 页） 6已知点 A 的坐标为（a，b） ，O 为坐标原点，连接 OA，将线段 OA 绕点 O 按逆时针方 向旋转 90得
3、 OA1，则点 A1 的坐标为（ ） A （a，b） B （a ，b） C （ b，a） D （b，a） 7从 2，2，1 ， 1 四个数中任取 2 个不同的数求和，其和为 1 的概率是（ ） A B C D 8若关于 x 的一元二次方程为 ax2+bx+5=0（a 0）的解是 x=1，则 2014ab 的值是（ ） A2019 B2009 C2015 D2013 9二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的坐标满足下表： x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的顶点坐标为（ ） A （3， 3） B （ 2，2） C （ 1，3） D （0，6） 10如图，将 R
4、tABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90，得到 ABC，若B=60，则 1 的 度数是（ ） A15 B25 C10 D20 11如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回点 P 在运动 过程中速度大小不变则以点 A 为圆心，线段 AP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时 间 t 之间的函数图象大致为（ ） A B C D 12己知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线 x=1，给出下列结论： （1）abc0；（2）2a+b=0；（3）a+b+c0；（4）ab+c0，则正确的结论是（ ） 第 3 页（共 22 页） A （l
5、） （2） B （2） （3） C （2） （4） D （3） （4） 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 13抛物线 y=3（x 2） 2+5 的顶点坐标是 14把二次函数 y=（x 1） 2+2 的图象绕原点旋转 180后得到的图象的解析式为 15小李是 9 人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从 1 开始按顺序报数，小李报到 偶数的概率是 16 O 的直径为 10，弦 AB=6，P 是弦 AB 上一动点，则 OP 的取值范围是 17关于 x 的方程（m 21）x 3+（m1）x 2+2x+6=0，当 m= 时为一元二次方 程 18如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察
6、可以发现：图 A2 比图 A1 多出 2 个“树枝” ，图 A3 比图 A2 多出 4 个“ 树枝”，图 A4 比图 A3 多出 8 个“树枝”，照此规律， 图 A6 比图 A2 多出 个“树枝” 三.解答题（本大题有 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19用公式法解方程：5x 23x=x+1 20如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，ABC 在平面直角坐标系中 的位置如图所示 （1）将ABC 向上平移 3 个单位后，得到 A1B1C1，请画出A 1B1C1，并直接写出点 A1 的坐标 （2）将ABC 绕点 O 顺时针旋转 90，请画出旋转后的A
7、 2B2C2，并求点 B 所经过的路径 长（结果保留 x） 第 4 页（共 22 页） 21如图，在ABC 中， C=90，AD 是BAC 的平分线，O 是 AB 上一点，以 OA 为半 径的 O 经过点 D （1）求证：BC 是O 切线； （2）若 BD=5，DC=3 ，求 AC 的长 22在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1、2、3、4，随机地摸取一 个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率： （1）两次取的小球的标号相同； （2）两次取的小球的标号的和等于 4 23已知：如图 1，在面积为 3 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 CD 边
8、上的两点， AEBF 于点 G，且 BE=1 （1）求证：ABEBCF； （2）求出ABE 和BCF 重叠部分（即 BEG）的面积； （3）现将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到ABE （如图 2） ，使点 E 落在 CD 边上的点 E 处，问ABE 在旋转前后与BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由 24某商场新进一批商品，每个成本价 25 元，销售一段时间发现销售量 y（个）与销售单 价 x（元/个）之间成一次函数关系，如下表： 第 5 页（共 22 页） x（元/个） 30 50 y（个） 190 150 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若该商品的销售单价在 4
9、5 元80 元之间浮动， 销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？ 商场想要在这段时间内获得 4 550 元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 25如图，对称轴为直线 x= 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角 线的平行四边形，求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； 当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？ 是否存在点 E，使平行四边形 OEAF
10、为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在， 请说明理由 第 6 页（共 22 页） 2015-2016 学年四川省德阳市绵竹市九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（本题满分 36 分，共有 12 道小题，每小题 3 分） 1向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上这一事件是（ ） A必然发生 B不可能发生 C可能发生也可能不发生 D以上都对 【考点】随机事件 【分析】根据事件发生的可能性判断正确选项即可 【解答】解：向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上这一事件是可能发生也可能不发生 故选 C 2用配方法解方程：x 24x+2=0，下列配方正确的是（ ） A （x2 ） 2=
11、2 B （x+2） 2=2 C （x 2） 2=2 D （x2） 2=6 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】在本题中，把常数项 2 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4 的一半的 平方 【解答】解：把方程 x24x+2=0 的常数项移到等号的右边，得到 x24x=2， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x24x+4=2+4， 配方得（x2） 2=2 故选：A 3如图，用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心，这种方法应用的道理是（ ） A垂径定理 B勾股定理 C直径所对的圆周角是直角 D90的圆周角所对的弦是直径 【考点】垂径定理的应用 第 7 页（共 22 页） 【分
12、析】根据垂径定理的定义判断即可 【解答】解：因为非直径的弦的垂直平分线必过圆心， 所以用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心应用的道理是垂径定理， 故选 A 4如图，已知 A、B、C、D、E 均在O 上，且 AC 为直径，则 A+B+C=（ ） 度 A30 B45 C60 D90 【考点】圆周角定理 【分析】首先连接 AB，BC，由 AC 为直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得 ABC=90，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得 CBD=CAD，ABE= ACE，继而求得答案 【解答】解：连接 AB，BC， AC 为直径， ABC=90， CBD=CAD， ABE=
13、ACE， CAD+EBD+ACE=CBD+EBD+ABE=ABC=90 故选 D 5如图，在长为 100 米，宽为 80 米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路， 剩余部分进行绿化，要使绿化面积为 7644 米 2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为 x 米，则可列方程为（ ） A10080100x80x=7644 B （80 x）+x 2=7644 C （80x）=7644 D100x+80x=356 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 第 8 页（共 22 页） 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方 形，根据长方形的面积公式列方程 【解答
14、】解：设道路的宽应为 x 米，由题意有 （80x） =7644， 故选 C 6已知点 A 的坐标为（a，b） ，O 为坐标原点，连接 OA，将线段 OA 绕点 O 按逆时针方 向旋转 90得 OA1，则点 A1 的坐标为（ ） A （a，b） B （a ，b） C （ b，a） D （b，a） 【考点】坐标与图形变化-旋转 【分析】根据旋转的概念结合坐标系的特点，利用全等三角形的知识，即可解答 【解答】解：设点 A（a，b）坐标平面内一点，逆时针方向旋转 90后 A1 应与 A 分别位于 y 轴的两侧，在 x 轴的同侧，横坐标符号相反，纵坐标符号相同作 AMx 轴于 M，ANx 轴于 N 点，
15、 在直角OAM 和直角A 1ON 中，OA=OA 1，AOM= OA1N，AMO= ONA1=90， OAMA1ON A1N=OM，ON=AM A1 的坐标为（ b，a） 故选 C 7从 2，2，1 ， 1 四个数中任取 2 个不同的数求和，其和为 1 的概率是（ ） A B C D 【考点】列表法与树状图法 【分析】列举出所有情况，让和为 1 的情况数除以总情况数即为所求的概率 【解答】解：列表得： 2 2 1 1 2 4 0 3 1 2 0 4 1 3 第 9 页（共 22 页） 1 3 1 2 0 1 1 3 0 2 一共有 12 种情况，和为 1 的有 2 种情况； 和为 1 的概率=
16、 = ， 故选 A 8若关于 x 的一元二次方程为 ax2+bx+5=0（a 0）的解是 x=1，则 2014ab 的值是（ ） A2019 B2009 C2015 D2013 【考点】一元二次方程的解 【分析】已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出 b 的值 【解答】解：一元二次方程为 ax2+bx+5=0（a 0）的解是 x=1， a+b+5=0， 即 a+b=5， 2014ab=2014（a+b）=2014（5）=2019， 故选 A 9二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的坐标满足下表： x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的顶点
17、坐标为（ ） A （3， 3） B （ 2，2） C （ 1，3） D （0，6） 【考点】二次函数的性质 【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可 【解答】解：x= 3 和1 时的函数值都是 3 相等， 二次函数的对称轴为直线 x=2， 顶点坐标为（ 2，2） 故选：B 10如图，将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90，得到 ABC，若B=60，则 1 的 度数是（ ） 第 10 页（共 22 页） A15 B25 C10 D20 【考点】旋转的性质 【分析】先利用互余计算出BAC=90B=30，再根据旋转的性质得 ACA=90， CA=CA，CAB= CA
18、B=30，则可判断 ACA为等腰直角三角形，则 CAA=45，然后 利用1=CA ACAB进行计算即可 【解答】解：ACB=90，B=60， BAC=90B=30， RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90，得到ABC ， ACA=90， CA=CA，CAB =CAB=30， ACA为等腰直角三角形， CAA=45， 1=CAACAB=4530=15 故选 A 11如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回点 P 在运动 过程中速度大小不变则以点 A 为圆心，线段 AP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时 间 t 之间的函数图象大致为（ ） A
19、B C D 【考点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象 【解答】解：设点 P 的速度是 1，则 AP=t，那么 s=t2，为二次函数形式； 但动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回 说明 t 是先大后小，所以 s 也是先大后小 故选 A 12己知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线 x=1，给出下列结论： （1）abc0；（2）2a+b=0；（3）a+b+c0；（4）ab+c0，则正确的结论是（ ） 第 11 页（共 22 页） A （l） （2） B （2） （3） C （2） （4） D （3） （4） 【考
20、点】二次函数图象与系数的关系 【分析】由抛物线开口方向得到 a0，由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到 c0，由抛 物线的对称轴为直线 x= =1，得到 b=2a0，于是可对（1）进行判断；利用 b=2a 可对 （2）进行判断；根据自变量为 1 时函数值为正数可对（3）进行判断；根据自变量为1 时 函数值为负数可对（4）进行判断 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 抛物线与 y 轴交于（0，c） ， c0， 抛物线的对称轴为直线 x= =1， b=2a 0， abc0，所以（1）错误； b=2a，即 2ab=0，所以（2）错误； x=1 时，y0， a+b+c0，所以（3）正确； x=
21、1 时，y0， ab+c0，所以（4）正确 故选 D 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 13抛物线 y=3（x 2） 2+5 的顶点坐标是 （2，5） 【考点】二次函数的性质 【分析】由于抛物线 y=a（xh） 2+k 的顶点坐标为（h，k ） ，由此即可求解 【解答】解：抛物线 y=3（ x2） 2+5， 顶点坐标为：（2，5） 故答案为：（2，5） 第 12 页（共 22 页） 14把二次函数 y=（x 1） 2+2 的图象绕原点旋转 180后得到的图象的解析式为 y=（x+1） 22 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标，然后根据关于
22、中心对称的点的横 坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图 形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可 【解答】解：二次函数 y=（x1） 2+2 顶点坐标为（1，2） ， 绕原点旋转 180后得到的二次函数图象的顶点坐标为（1，2） ， 所以，旋转后的新函数图象的解析式为 y=（x+1） 22 故答案为：y=（x+1） 22 15小李是 9 人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从 1 开始按顺序报数，小李报到 偶数的概率是 【考点】概率公式 【分析】根据一共有 9 个人，其中偶数有 4 个，利用概率公式求出即可 【解答】解：小李是 9 人队伍中的一员，他
23、们随机排成一列队伍，从 1 开始按顺序报数， 偶数一共有 4 个， 小李报到偶数的概率是： 故答案为： 16 O 的直径为 10，弦 AB=6，P 是弦 AB 上一动点，则 OP 的取值范围是 4OP5 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】因为O 的直径为 10，所以半径为 5，则 OP 的最大值为 5，OP 的最小值就是弦 AB 的弦心距的长，所以，过点 O 作弦 AB 的弦心距 OM，利用勾股定理，求出 OM=4，即 OP 的最小值为 4，所以 4OP5 【解答】解：如图：连接 OA，作 OMAB 与 M， O 的直径为 10， 半径为 5， OP 的最大值为 5， OMAB 与 M， A
24、M=BM， AB=6， AM=3， 第 13 页（共 22 页） 在 RtAOM 中， OM= =4， OM 的长即为 OP 的最小值， 4OP5 故答案为：4OP 5 17关于 x 的方程（m 21）x 3+（m1）x 2+2x+6=0，当 m= 1 时为一元二次方程 【考点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义列出方程和不等式求解即可 【解答】解：关于 x 的方程（m 21）x 3+（m 1）x 2+2x+6=0，为一元二次方程， ， 解得：m=1 18如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图 A2 比图 A1 多出 2 个“树枝” ，图 A3 比图 A2
25、 多出 4 个“ 树枝”，图 A4 比图 A3 多出 8 个“树枝”，照此规律， 图 A6 比图 A2 多出 60 个“树枝” 【考点】规律型：图形的变化类 【分析】根据所给图形得到后面图形比前面图形多的“树枝 ”的个数用底数为 2 的幂表示的 形式，代入求值即可 【解答】解：图 A2 比图 A1 多出 2 个“树枝” ，图 A3 比图 A2 多出 4 个“ 树枝”，图 A4 比图 A3 多出 8 个“树枝 ”， 图形从第 2 个开始后一个与前一个的差依次是：2，2 2，2 n1 第 5 个树枝为 15+24=31，第 6 个树枝为：31+2 5=63， 第（ 6）个图比第（2）个图多 633
26、=60 个 故答案为：60 三.解答题（本大题有 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 第 14 页（共 22 页） 19用公式法解方程：5x 23x=x+1 【考点】解一元二次方程-公式法 【分析】整理后求出 b24ac，再代入公式求出即可 【解答】解：5x 23x=x+1， 5x24x1=0， b24ac=（ 4） 245（ 1）=36， x= ， x1= ， x2=1 20如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，ABC 在平面直角坐标系中 的位置如图所示 （1）将ABC 向上平移 3 个单位后，得到 A1B1C1，请画出A 1B1C1，并直接写出
27、点 A1 的坐标 （2）将ABC 绕点 O 顺时针旋转 90，请画出旋转后的A 2B2C2，并求点 B 所经过的路径 长（结果保留 x） 【考点】作图-旋转变换；作图 -平移变换 【分析】 （1）根据ABC 向上平移 3 个单位，得出对应点位置，即可得出 A1 的坐标； （2）得出旋转后的A 2B2C2，再利用弧长公式求出点 B 所经过的路径长 【解答】解：（1）如图所示： A1 的坐标为：（3，6） ； 第 15 页（共 22 页） （2）如图所示： BO= = ， = = 21如图，在ABC 中， C=90，AD 是BAC 的平分线，O 是 AB 上一点，以 OA 为半 径的 O 经过点
28、D （1）求证：BC 是O 切线； （2）若 BD=5，DC=3 ，求 AC 的长 【考点】切线的判定 【分析】 （1）要证 BC 是O 的切线，只要连接 OD，再证 ODBC 即可 （2）过点 D 作 DEAB，根据角平分线的性质可知 CD=DE=3，由勾股定理得到 BE 的长， 再通过证明BDEBAC ，根据相似三角形的性质得出 AC 的长 【解答】 （1）证明：连接 OD； AD 是 BAC 的平分线， 1=3 OA=OD， 1=2 2=3 AC ODB=ACB=90 ODBC 第 16 页（共 22 页） BC 是 O 切线 （2）解：过点 D 作 DEAB， AD 是 BAC 的平分
29、线， CD=DE=3 在 RtBDE 中，BED=90 ， 由勾股定理得： ， BED=ACB=90， B=B， BDEBAC AC=6 22在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1、2、3、4，随机地摸取一 个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率： （1）两次取的小球的标号相同； （2）两次取的小球的标号的和等于 4 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）根据题意画出数形图，两次取的小球的标号相同的情况有 4 种，再计算概率； （2）先画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于 4 的 占 3 种，然后根据概率的概念计算即可
30、 【解答】解：（1）如图： 两次取的小球的标号相同的情况有 4 种， 第 17 页（共 22 页） 概率为 P= = （2）如图， 随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有 16 种等可能的结果数，其 中两次摸出的小球标号的和等于 4 的占 3 种，所有两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率 P= 故答案为： 23已知：如图 1，在面积为 3 的正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 CD 边上的两点， AEBF 于点 G，且 BE=1 （1）求证：ABEBCF； （2）求出ABE 和BCF 重叠部分（即 BEG）的面积； （3）现将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到A
31、BE （如图 2） ，使点 E 落在 CD 边上的点 E 处，问ABE 在旋转前后与BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三 角形 【分析】 （1）由四边形 ABCD 是正方形，可得ABE= BCF=90，AB=BC ，又由 AEBF，由同角的余角相等，即可证得BAE= CBF，然后利用 ASA，即可判定： ABEBCF； （2）由正方形 ABCD 的面积等于 3，即可求得此正方形的边长，由在BGE 与 ABE 中， GBE=BAE， EGB=EBA=90，可证得 BGEABE，由相似三角形的面积比等于相
32、似比的平方，即可求得答案； （3）首先由正切函数，求得BAE=30 ，易证得 RtABERtABERtADE，可得 AB 与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB的交点是 G，然后设 BF 与 AE的交点为 H，可证得 BAGHAG，继而证得结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ABE=BCF=90，AB=BC， ABF+CBF=90， AEBF， ABF+BAE=90， 第 18 页（共 22 页） BAE=CBF， 在ABE 和BCF 中， ABEBCF （2）解：正方形面积为 3， AB= ， 在BGE 与ABE 中， GBE=BAE，EGB= EBA=90， BG
33、EABE， ， 又 BE=1， AE2=AB2+BE2=3+1=4， SBGE= SABE= = （3）解：没有变化 理由：AB= ，BE=1， tanBAE= = ，BAE=30， AB=AB=AD，ABE =ADE=90，AE 公共， RtABERtABERtADE， DAE=BAE=BAE=30， AB与 AE 在同一直线上，即 BF 与 AB的交点是 G， 设 BF 与 AE的交点为 H， 则BAG=HAG=30 ，而AGB=AGH=90，AG 公共， BAGHAG（ASA ） ， S 四边形 GHEB=SABESAGH=SABESABG=SBGE ABE 在旋转前后与 BCF 重叠部
34、分的面积没有变化 第 19 页（共 22 页） 24某商场新进一批商品，每个成本价 25 元，销售一段时间发现销售量 y（个）与销售单 价 x（元/个）之间成一次函数关系，如下表： x（元/个） 30 50 y（个） 190 150 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若该商品的销售单价在 45 元80 元之间浮动， 销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？ 商场想要在这段时间内获得 4 550 元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【考点】一次函数的应用；一元二次方程的应用 【分析】 （1）设出一次函数解析式，把两组值分别代入计算可得 k，b 的值； （2）销售利润
35、=销售量 销售单价，得到二次函数解析式，求得相应的最值即可； 把 y=4550 代入 得到的函数解析式，求得合适的解即可 【解答】解：（1）设 y=kx+b（k0） 由题意得： ； 解得 ； y=2x+250； （2）设该商品的利润为 W 元 W=（ 2x+250） （x 25）=2x 2+300x6 250=2（x 2150x+752）+275 26250=2（x75） 2+5000 20， 当 x=75 时，W 最大，此时销量为 y=275+250=100（个） （3） （2x+250） （x 25）=4 550 x2150x+5 400=0， x1=60，x 2=90 x 80， x=6
36、0 答：销售单价应定在 60 元 25如图，对称轴为直线 x= 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角 线的平行四边形，求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； 当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？ 第 20 页（共 22 页） 是否存在点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在， 请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】
37、 （1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后 将 A、B 两点坐标代入求解即可 （2）平行四边形的面积为三角形 OEA 面积的 2 倍，因此可根据 E 点的横坐标，用抛物线 的解析式求出 E 点的纵坐标，那么 E 点纵坐标的绝对值即为OAE 的高，由此可根据三角 形的面积公式得出AOE 的面积与 x 的函数关系式进而可得出 S 与 x 的函数关系式 将 S=24 代入 S，x 的函数关系式中求出 x 的值，即可得出 E 点的坐标和 OE，OA 的长； 如果平行四边形 OEAF 是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四 边形 OEAF 是否为菱形
38、如果四边形 OEAF 是正方形，那么三角形 OEA 应该是等腰直角三角形，即 E 点的坐标 为（3，3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的 E 点 【解答】解：（1）因为抛物线的对称轴是 x= ， 设解析式为 y=a（x ） 2+k 把 A，B 两点坐标代入上式，得 ， 解得 a= ，k= 故抛物线解析式为 y= （x ） 2 ，顶点为（ ， ） （2）点 E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 y= （x ） 2 ， y 0， 即y 0 ， y 表示点 E 到 OA 的距离 OA 是 OEAF 的对角线， 第 21 页（共 22 页） S=2SOAE=2 OA|y
39、|=6y=4（x ） 2+25 因为抛物线与 x 轴的两个交点是（1，0）和（6，0） ， 所以自变量 x 的取值范围是 1x6 根据题意，当 S=24 时，即4（x ） 2+25=24 化简，得（x ） 2= 解得 x1=3，x 2=4 故所求的点 E 有两个， 分别为 E1（3，4） ，E 2（4，4） ， 点 E1（3， 4）满足 OE=AE， 所以平行四边形 OEAF 是菱形； 点 E2（4， 4）不满足 OE=AE， 所以平行四边形 OEAF 不是菱形； 当 OAEF，且 OA=EF 时，平行四边形 OEAF 是正方形， 此时点 E 的坐标只能是（3，3） ， 而坐标为（3，3）的点不在抛物线上， 故不存在这样的点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形 第 22 页（共 22 页） 2016 年 4 月 17 日
