1、 福建师大附中 20122013 学年度上学期期末考试 高二数学文试题 （满分：150 分，时间：120 分钟） 一、选择题：（ 每小题 5 分，共 60 分；四个选项中，只有一项符合题目要求 ） 1已知命题 ， ，则（* ）:pxRsin1x A. ， B. ，00Rxp0:1sin0x C. ， . ， :i 2.某物体的位移 （米）与时间 （秒）的关系是 ,则物体在 秒时的瞬时St 23)(ttS2t 速度为（*） A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s1217 3已知定点 A、B，且 ，动点 P 满足 ，则点 的轨迹为（* ）|1|BAP A. 双曲线 B. 双曲线一支
2、 C.两条射线 D. 一条射线 4抛物线 的准线方程是（ *）2xy A.4 x + 1 = 0 .4 y + 1 = 0 .2 x + 1 = 0 .2 y + 1 = 0 5 若 x2y 20，则 x，y 不全为零， 若 ，则 有实根，则:p:q2mmx （*） A. 为真 B. 为真 C. 为真 . 为假“q“p“p“q 6. 某公司的产品销售量按函数 规律变化，在 时，反映该产品的销售量的)(tfy,bat 增长速度先快后慢的图象可能是（*） A. B. C. D. 7. 设 “ ”, “直线 与抛物线 只有一个公共点” ，:p0k:q1:kxyl xy42 则 是 （*）条件 aba
3、ba o to t y ba o t y o t y b y A. 充分且非必要 B. 必要且非充分 C. 充分且必要 D. 既非充分也非必要 8.曲线 在点 处的切线方程为（*）()lnfx(1,0) A. B. C. D. yyxyexyex 9若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 = 1 所表示的曲线不可能是（* ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆或双曲线 D. 抛物线 10.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ，如果直线 与该双曲线的一条渐进FBF 线垂直，那么此双曲线的离心率为（*） A. B. C. D. 23312512 11.已知数列 满足 记 ，如果
4、对任意的正整数na11,4(),nna13naT ，都有 ，则实数 的最大值为（*）nTM A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线 的图象绕原点沿逆时针2yx 方向旋转 就得到函数 的图象.若把双曲线 绕原点按逆时针方向旋转一902yx213x 定角度 后，能得到某一个函数的图象，则旋转角 可以是（*） A B C D3456090 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13已知数列 的前 项和 ，则 * na21nSna 14点 在双曲线 上运动， 为坐标原点，线段 中点 的轨迹方程是 P12yxOPOM * 15设 是椭圆 的左、
5、右焦点，点 在椭圆上，满足 ，12,F348 123sin5PF 的面积为 ，则 *62PF 16已知点 满足椭圆方程 ，则 的最大值为*),(yxP12yxxy 三、解答题：（本大题共 6 题，满分 74 分） 17. （本题满分 12 分） 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .ABC, ,abcsin3cosAaB （）求角 的大小； （）若 ， ，求 的值.3bsin2iA 18. （本题满分 12 分） 已知 为等差数列，且na13248,1aa （）求数列 的通项公式； （）记数列 的前 项和为 ，若 成等比数列，求正整数 的值.nnS12,kSk 19 （本题满分 12 分） 已
6、知椭圆 C： 的上顶点坐标为 ，离心率为 . 21(0)xyab(0,3)12 （）求椭圆方程； （）设 P 为椭圆上一点， A 为左顶点，F 为椭圆的右焦点，求 的取值范围.APF 20 （本小题满分 12 分） 已知直线 经过抛物线 的焦点，且与抛物线交于 两点，点 为坐标原点.l24xyB,O （）证明： 为钝角.AOB （）若 的面积为 ，求直线 的方程; l X O B Y A F 21.如图，有一边长为 2 米的正方形钢板 缺损一角(图中的ABCD 阴影部分)，边缘线 是以直线 为对称轴，以线段 的中OC 点 为顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来， 使剩余的部分成为一
7、个直角梯形 （）请建立适当的直角坐标系，求阴影部分的边缘线 的方O 程; （）如何画出切割路径 ，使得剩余部分即直角梯形EF 的面积最大？ABEF 并求其最大值 22. 如图，设 、 分别是圆 和椭圆 的弦，且弦的端点AB2:4Oxy2:1xCy 在 轴的异侧，端点 与 、 与 的横坐标分别相等，纵坐标分y 别同号. （）若弦 所在直线斜率为 ，且弦 的中点的横坐标为 1AB ，求直线 的方程；45AB （）若弦 过定点 ，试探究弦 是否也必过某个3(0,)2M 定点. 若有，请证明；若没有，请说明理由. A B CD O F E MA B xyOA 参考答案 1.B 2.C 3.B 4.B
8、5.A 6.D 7. A 8.B 9.D 10.D 11.A 12.C 13. ; 14. ; 15. ; 16. 3,12na241xy23PF2 17.解： (I)由 及正弦定理 ，得 ，sicosbAaBsiniabABsin3cosB 所以 ， , tan3B(0)3 ()由 及 ，得 ，由 及余弦定理si2iCsinib2ca3b ，得 , 所以 ，2cob292c 18.解：(I)设数列 的公差为 , 解得 ，nad184a1ad 所以 1()2()2n n （）由(1)可得 1(1)nnS 因 ， ， 成等比数列，所以 ，从而 ，即1ak2212kkaS2()3kk ，2560
9、解得 或 （舍去） ，因此16 19.解：（I）依题意得： ， 椭圆方程为 22 31bacea2143xy （）设 ， ，则 -（*）(,)Pxy(,0)(,AF22APFxy 点 满足 ， 代入（*）式，得：23412231)4y2()AFxx 根据二次函数的单调性可得： 的取值范围为APF0, 20.解：(I)依题意设直线 的方程为： （ 必存在）l1ykx ， 设直线 与抛物线的交点坐标为22140ykxkx 260l ，则有 ，依向量12(,)(,)AxyB 21124,4xy1230xy 的数量积定义， 即证 为钝角cos0AOB () 由（I）可知: , ,221()kxk21d
10、k , , 直线方程为2142AOBSd33,3yxyx 21. 解：(I)以 为原点，直线 为 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意ADy 可设抛物线弧 的方程为C2(0)ax 点 的坐标为 ， ，(2,1)14 故边缘线 的方程为 .O2()4yx ()要使梯形 的面积最大，则 所在的直线必与抛物线弧 相切，设切点ABEFEFOC 坐标为 ， ，21(,)0)Ptt1yx 直线 的的方程可表示为 ，即 EF21()4ytxt ， 由此可求得 ， .214ytx(,)E210,4F ， 2|(1)|Att ，2|(|14BEt 设梯形 的面积为 ，则F()St1()|2StABE 221)(
11、)4tt . 当 时，25()t5.S 故 的最大值为 . 此时 . ()t |07,|1AF 答：当 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为0.75m,15AFBE . 25 22 解：（ ）由题意得：直线 的方程为Ayxm ，22258404yxmxm ， 设8016 12(,)(,)yB ，将 代入 检验符合题意，25x 故满足题意的直线 方程为：A1yx （）解法一：由（）得：圆 的方程为： 分O24.y 设 、 、 、 ， 1(,)Axy2(,)B1(,)xm2(,)Bn 点 在圆 上， ，O24y 点 在椭圆 上， ，C21x A B xyO A B CD O F E x y
12、 P 联立方程解得： ，同理解得： 12ym2.yn 、 弦 过定点 ，1(,)2yAx2(,)BxAB3(0,)M 且 ，即 ，12AMBk123yx 化简得 121yx 直线 的方程为： ，即 ，AB211()yx21yx21()yx 由 得直线 的方程为： ， 1213yxAB21yx34 弦 必过定点 . AB(0,)4M 解法二：由（）得：圆 的方程为： O 设 、 ，1(,)xy2(,) 圆 上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的 倍可得到椭圆 ，O12C 又端点 与 、 与 的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，AB 、 1(,)2yx2(,)yx 由弦 过定点 ，猜想弦 过定点 . 30MAB3(0,)4M 弦 过定点 ， 且 ，即 AB(,)212xABk123yx , 1134AMykx 22314BMykx 由得 ， B 弦 必过定点 . AB3(0,)4M
