1、新人教版九年级数学上册期末复习： 综合解答题分专题例谈 编写： 赵化中学 郑宗平 九年级上期数学统考中的综合解答题相对于统考试卷内的其它题目有一定难度系数的，在统 考和中考常以压轴题的形式出现；下面我分专题编选了几种类型的综合解答题，每个专题又分 为试题赏析、典型题例和追踪练习：试题赏析进行考点分析和解答，附有点评；解答规范书写， 标注得分点；典型例题以师生互动的方式进行；追踪练习供课堂内外有余力的同学进一步提升. 所有这些希望对同学们迎考有一定的帮助！另外在最后还选编了一部分与现行的新人教版内容 相吻合的综合解答题，供同学们课外选练，以提高应试能力. 专题一：以圆为基架的综合题 一、试题赏析
2、： 24.（2012-2013 上学期统考）正方形 ABCD 的边 AB 是O 的直径，CF 切O 于点 E，交 AD 于点 F，且切点 E 在正方形的内部，AE、BE 的长是 的两实根，令 .230xm-+=2nAB .求 n 与 m 函数关系式，并求出自变量 m 的取值范围； .求 m 的值和 AF 的长. 考点：正方形的性质、圆的基本性质、圆周角定理的推论、垂径定理、切线 的性质、切线长定理、三角形的中位线定理、全等三角形、勾股定理、 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系定理等. 分析：.由于 AE、BE 是 的两直角边，而 是其斜边，所以本问应从ABEVAB 和勾股定理切入；AE、B
3、E 的长是 的两实根，根据一元二次方程根2nAB230xm-+= 的根与系数的关系定理（韦达定理）进行变换可以推出 n 与 m 函数关系式.再由一元二 次方程根的判别式可得出自变量 m 的取值范围. .根据韦达定理可知 ,分别求出 就可求出 的值.连接 交E、 OC 与 ,根据三角形的中位线定理，可知 ,在此基础上利用切线长定理、全EMA2OM 等三角形和垂径定理的知识可以得出 AE 和 BE 之间的数量关系，由 建立方AEB3 程可以求出 的值，从而求出 的值.ABE、 . 由 、 和 的值可以求出 的值，从而得出正方形的边长2n9B 的值.根据切线长定理可知： ；进行代换后在 Rt 中，,
4、FECDFV ，CD ,由于 的值在问中已求出，所,FDAFA 以 根据勾股定理在 Rt 建立方程可以求出 的值；也可以在 Rt 用同样的办法求出FVOFC 的值.A 略解： . 的长是方程 两个实根AEB、2x3m0 1 分,3E AB 是O 的直径 AEB=90 2 分22ABE 22 9 又 4 分n9 且 5 分AEB4m0V90m4 又 即 函数自变量的取值范围是： 6 分9202 .连接 分别交 于 ,连接 7 分OCF、EA、MN、OE CE、CB 都是O 的切线， ,CBC OM 垂直平分 BE，即 OMBE、EM=BM. 8 分 又O 是 AB 的中点，OM 是ABE 的中位
5、线 AE=2OM 9 分 在ABE 和BMC 中：AB=BC，AEB=BMC=90，CBM=EAB AEBBMC MC=BE MC=BE=2BM=4OM 10 分 设 ,则0Mx,AEB2xMC4x ，即 ，解得： 11 分343+12 . 12 分1、mE 又 2n9n9m45 四边形 是正方形ABCD ,50o FA、FE、CE、CB 都是O 的切线， ,FAECB 设 ，则 FyEy ,FyD5DAF5y 在 Rt ，CDV90o 即 13 分22225y 解得 ； 故 14 分5y4A4 也可以在 Rt 用同样的办法求出 的值：这是由于OFAF22CFO 故 解得 ；故 AF= .22
6、15()()y45y 点评：本题的问不难，只有 有个配方变换，其余按常规解法解答即可.本22BE 题的问由于有 ，所以分别求出 是本问的突破口，又 ，所mAE AB、 AEB3 以找出 两条线段之间的关系是关键，也是本问的一个难点.要找出 之间的数量B、 、 关系，直接的条件没有；但在连接 后与 交点 所新构成三角形和线段 作为“中间OCMOM FEOCDAB 过渡”就成了关键中的关键.调动垂径定理、切线的性质、切线长定理、三角形的中位线定理、 全等三角形知识就能找出 之间的数量关系.本问求线段 可以化归在直角三角形中，AEB、 AF 利用勾股定理解决. 二、典型题例 如图，PB 切O 于 B
7、 点，直线 PO 交O 于点 ，过点 B 作 PO 的垂线 BA，垂足为点 D，交EF、 O 于点 A，延长 AO 交O 于点 C 连结 .A .求证：直线 PA 为O 的切线； .若 BC6,求O 的半径的长 ,:C6DF12 分析：师生互动形式进行. 三、追踪练习： 1.如图， 的直径 为 ，弦 为 , 分别是OAB0cmBC5cDE、ACB 的平分线与 、 的交点， 为 延长线上一点，且 .PAP .求 的长；ACD .试判断直线 与 的位置关系，并说明理由. P 2. 如图， 是 的直径， 是半圆 上的一点， 平分O , ,垂足为 , 交 于 ,连接 .BADEC .判断 与 的位置关
8、系，并证明你的结论；O .若 是 的中点， 的半径为 1，求图中阴影部分的面积. EAC 3.已知，如图，以 Rt 的斜边 为直径作 , 是 上的点，且BDBE 有 ,连接 ，在 延长线上取一点 ,使 .D、 C .求证： 是 的切线； .若 , 和 的长度的比为 ,求 的半径.C25EC12O 专题二：以二次函数为基架的综合题 一、试题赏析： 24.（2014-2015 上学期统考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点2yaxb6 和点 ,直线,A30B2 （ 为常数，且 ）与 交于点 ,与 轴交于点 ,与 交于点 ,与抛物yh0h6BCDyEACF 线在第二象限交于点 .（图形见本题解
9、答的最后）G .求抛物线的解析式； .连接 ,求 为何值时， 的面积最大；EE .已知一定点 .问：是否存在这样的直线 ，使 是等腰三角形？若存在，(,)M20yhOM 请求出 的值和点 的坐标；若不存在，请说明理由. h 考点：待定系数法求函数的解析式、点的坐标的意义、二次函数的最大值（最小值）问题、 解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的判定和性质等. 分析：. 存在两个待定系数 ，只需要两对变量即可求出，恰好题中给2yaxb6ab、 出了 和点 ，用待定系数法便可求出此函数的解析式.,A30,B .确定最大值或最小值可以将问题转化为二次函数来解决，若能把 的面积表示BDE
10、为关于 的二次函数，问题便可解决；由于点的坐标的实质是反映到坐标轴的距离（表示出点h 的坐标往往是函数为基架的综合题的关键） ，所以通过点 的坐标来反映 的底 和高D 是本问的一个切入点；由于点 是直线 和直线 交点，所以只要求出直线 的解OEDyhBCC 析式问题便解决了；已知点 ,而点 同时也是抛物线与 轴的交点，而问能提供这样B20Cy 条件. .本问是一个存在性的问题，存在性问题一般先假设存在，以此为出发点来探究.本 问假设存在符合题意的直线 ，所涉及的判断 的 直线 与直线 的交点，yhOMFhA 和问的方法一样，可以先把 用 的式子表达出来；因为定点 ，所以 是个F(,)20OM2
11、 定值；根据点 的坐标利用勾股定理把 和 表示出来，然后分为：. ;.F F ;. 讨论其存在性.OM 略解：. 经过点 和点 （示意图见解答的最后）2yaxb6,A30,B2 解得： 解析式 3 分4391ba6xy2 .抛物线 与 轴交点 . 2yxyC6、 设直线 BC 的解析式为 ，则 mkx0k23km BC 的解析式为 4 分y36y 直线 5 分yh)h,0(E D( ，h) 6 分36D 23)(6121SBE 当 时， 的面积最大，最大面积为 7 分603BE23 .存在符合题意的直线 ，设直线 AC 的解析式为hypnxy 即 AC 的解析式为 8 分 -3np6n2626
12、 直线 与直线 的交点 F( ，h) FyhAC(,)M20O2 在 中， , 9 分OM2,2 266OFh PBADOFE ECD OA B PEDCBAO ECOAB .若 ，则 ，整理得： OFM2h625h10 =256 ，此方程无解. 不成立 10 分0OFM .若 ，则 解得：22) 6()( 4h 把 代入 ，得 yh42yx6x0=-1x、 点 在第二象限， 点 的坐标为（2，4） 11 分GG .若 ，则 解得： ， （不合题意舍去）OMFhh1h265 把 代入 ，得 yh22yx62x40-=2717xx、 点 在第二象限， 点 的坐标为 12 分GG,72 综上所述，
13、存在直线 或 使 是等腰三角形. 13 分y24OMF 当 时，点 ；当 时，点 （2，4） 14 分y2,17yG 点评：本题是一道典型的“二次综合题”.三个问的 突出特点就是待定系数法的运用，都是为二次 函数图象及其性质运用打下基础；特别是第 是问一个存在性问题，考查了分类讨论的思想 个方程的思想. 二、典型题例 如图,在平面直角坐标系中， 是直角三角形, ,抛ABCV,ACB90COA14o、 物线 经过 两点，抛物线的顶点为 2yxbc、 D .求 的值；、 .点 是直角三角形 斜边 上一动点E (点 除外)，过点 作 轴的垂线交抛物ABEx 线于点 ，当线段 的长度最大时，求点FE
14、的坐标； .在的条件下： .求以点 为顶点的四边形的面积；D、 .在抛物线上是否存在一点 ,使 是以PFV 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有EF 点 的坐标；若不存在，说明理由. P 分析：师生互动形式进行. 三、追踪练习： 1.如图，点 在 轴上， ,将线段 绕点 顺时AxOA4AO 针旋转 120至 的位置 B .求点 的坐标； .求经过 的抛物线的解析式； 、 .在此抛物线的对称轴上，是否存在点 ，使P 得以点 为顶点的三角形是等腰三角形？P 若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由 2.如图，抛物线与 轴交于 两点，与 轴交于 点，点 的坐标为 ，点 的坐标为xAB、yCA,
15、20C 。它的对称轴是直线 .,0312 .求抛物线的解析式； . 是线段 上的任意一点，当 为等MBM 腰三角形时，求 点的坐标. 3.在平面直角坐标系 中（ 为坐标原点），已知抛物线 过点xOy 2yxbc .,-A4013、 .求 的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；bc .设抛物线的对称轴为直线 ，点 是抛物线上在第一象限的点，点 与点 关于直线l,PmnEP 对称，点 与点 关于 轴对称，若四边形 的面积为 48，求点 的坐标；lEFyOAF .在的条件下，设 是直线 上任意一点，试判断 是否存在最小值？若存在，求MMP 出这个最小值及相应的点 的坐标；若不存在，请说明理由. 专
16、题三：圆与二次函数共同搭建的综合题 一、试题赏析： 27 （2012 年中考）如图，抛物线 交 轴于点 ，交lx,A30B1、 轴于点 将抛物线 沿 轴翻折得抛物线 y,C03yl .求 的解析式；1l .在 的对称轴上找出点 ，使点 到点 的对称点 及 两点的P1C 距离差最大，并说出理由； .平行于 轴的一条直线交抛物线 于 两点，若以 为直径x1lEF、EF 的圆恰与 轴相切，求此圆的半径 考点： 二次函数综合题.包括待定系数法求解析式、一元二次方程、圆的切线的性质、轴对称 的性质、三角形三边之间的关系、方程以及分类讨论的思想等. 分析： xyy =hGDEFCMBAO xyDCBAO
17、6 xyDCBAO 6 xyCBA O31 xy图 1CBAO xy120BAO .首先求出翻折变换后点 所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线 的解析式；AB、 1l .如图 2 所示，连接 并延长，与对称轴 交于点 ，则点 即为所求利用轴对称的1Cx1P 性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论为求点 的坐标，P 首先需要求出直线 B1C 的解析式； .如图 3 所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏解题要点是利用圆的半径表示点 （或点F ）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径E 略解： .如图 1 所示，设经翻折后，点 的对应点分别为 ;
18、依题意，由翻折变换的性质可AB、 1AB、 知 ， 点坐标不变,因此，抛物线 经过 三,A30B、 ()lh,130C03、 点. 若设抛物线 的解析式为 ，则有：()1lh2yaxbc0a9abc3 解得： ； 故抛物线 的解析式为： .ab2c3、 1l 2yx .抛物线 的对称轴为： .如图 2 所示，连接 并延长，与对称轴 交于()1lhx2a1BCx1 点 ，则点 即为所求;此时， .P11PACBP 设 为对称轴 上不同于点 的任意一点，则有：x （三角形两边之差小于第三边）;11ACB 故 ,即 最大A1 设直线 的解析式为 ，则有：ykxb . 解得： ； 故直线 的解析式为：
19、 ；kb0331BCy3x 令 ，得 ，故 .x1y6,P16 .依题意画出图形，如图 3 所示，有两种情况 .当圆位于 轴上方时，设圆心为 ,半径为 .Dr 由抛物线及圆的对称性可知，点 位于对称轴 上，则 .x1,DrF1r 点 在抛物线 上,F1r2yx r，化简得： . 232r40 解得： （舍去）.,12717r 此圆的半径为 ； .当圆位于 轴下方时，同理可求得圆的半径为 x 172 综上所述，此圆的半径为 或 1721 点评： 本大题的问根据翻折具有轴对称的性质得出抛物线 的三个点的坐标，利用待定系数法即1l 可求出其解析式； 本题的问首先是根据轴对称的知识连接 并延长找出 点
20、，其次是对“距离差最大”的1BCP 理解：其一图中 到点 及 两点的距离差可以具体转化到哪条线段上，利用轴对称知识可解P1AC 决（见分析） ；其二怎样说明 到点 的对称点 及 两点“距离差最大”？这也是本问的一A 个“难点” ；其方法是在抛物线 的对称轴除 点外再任意找一个点，通过三角形三边之间()lh 关系说明此点到 及 两点的距离小于 点到 及 两点的距离即可.1P1 求作差值最大视频解析“链接网址”： 二、典型题例 直角坐标系平面中，已知点 和点 ,点 在以 为直径的 上,四边形A10、D80CB、OAM 为平行四边形.OCBD .求 点坐标； .求过 三点的抛物线解析式，并用配方法求
21、出该、 抛物线的顶点坐标和对称轴； .判断：中抛物线的顶点与 的位置关系，说明理由.M 分析:根据分析示意图求出问的 点坐标（师生互动形式进行）.C 三、追踪练习 1.已知抛物线 与 轴的交点坐标是 .2yaxb4x,A20B8、 .求抛物线与 轴的交点 的坐标及它的解析式； .若平行 轴的直线与该抛物线交于 两点,以 为直径的圆与 轴相切,求该圆半径的MN、 x 长度(精确到 0.01)； .连接 ，在 的上方的抛物线上有一动点 ,当 运动到什么位置时, 的面积最大,求BCPBCP 此时 的坐标.P 2.如图，点 P 在 轴上，P 交 轴于 A，B 两点，连接 BP 并延yx 长交P 于点
22、C，过点 C 的直线 交 轴于点 D，且Py2bx 的半径为 ，AB=4.5 xyBCMDAO xyDCAOPB x y D BC M AO x y HE F D BC M AO .求点 B，P，C 的坐标； .求证：CD 是P 的切线； .若二次函数 的图象经过点 B，求这个二2yxa16 次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数 y2xb 值的 的取值范围.x 3.已知抛物线 与 轴的交点 ,顶点为 ,直线 的解析式 ，并且2yxbcyCMCyx2 线段 的长为 .CM .求抛物线的解析式； .设抛物线与 轴有两个交点 ，且点 在 的左侧，求线段 的长；,12Ax0B、ABAB .若
23、以 为直径作 ,请你判断直线 与 的位置关系，并说明理由.ABNN 4.如图，点 ，以点 为圆心，2 为半径的圆与 轴交于点 ，已知抛物线,40Mx、 过点 和 ，与 轴交于点 .21yxbc6ByC .求点 的坐标，并画出抛物线的大致图象；C .点 在抛物线 上，点 为此抛物线Q8m、21xbc6P 对称轴上一个动点，求 最小值；PQ . 是过点 的 的切线，点 是切点，求 所在EMEOE 直线的解析式. 专题四：其它类型的综合题赏析 2013-2014 上学期统考 24.如图，M 的圆心 M 在 轴上，M 分别交 轴于点 A、B（A 在 B 的左边） ，交 轴的正半轴xx y 于点 C，弦
24、 CD 轴交M 于点 D，已知 A、B 两点的横坐标分别是方程 的两个根.2x43= .求点 C 的坐标； .求直线 AD 的解析式； .点 N 是直线 AD 上的一个动点，求MNB 的周长的最小值，并在图中画 出MNB 周长最小时点 N 的位置. 考点：解一元二次方程、勾股定理、圆的基本性质、垂径定理、矩形 的判定和性质、待定系数法求解析式、轴对称的性质等. 分析：.C 点是M 与坐标轴 轴的交点，连接 在 RtCOM 中求 OCyMC 可以得出 C 点的坐标，斜边 CM 和另一直角边 ON 与M 的圆心和 半径有关，所以求出M 的直径 AB 是本问破题的关键，通过解 求出其两个根问题便解决
25、了.2x43= .用待定系数法求直线 AD 的解析式.A 点的在第问已经求出，若把 D 点的坐标求出来问题便 可以解决. .要求MNB 的周长的最小值，关键是找出或作出 或 关于直线 AD 的对称点，连结后从而B 确定动点 点的位置，根据轴对称的性质和三角形三边之间的关系知 最小.从而得出N MNB MNB 此时的周长有最小值.根据题中条件和的相关结论容易知道 C 点恰好是 M 关于 AD 的 对称点，N 点位置确定后可以将 ,把 转化到 利用勾股MNBC OV 定理解决问题. 略解：.方程 整理得)3(42x01242x 即 1 分(6)06,1 点 A，B 的坐标分别是 ， 2 分)(A)
26、( 点 M 的坐标是 ，OM 的半径为 4. 3 分), 连结 CM（如图） ，则 2422OMC 点 C 的坐标为 . 4 分20(， （2）.如图，过点 M 作 MECD，则 CE=ED= CD 5 分1 CD 轴 ME 轴 xx 四边形 OMEC 是矩形， OE=OM=2 CD=4 点 D 的坐标是(4， ) 6 分23 设直线 AD 的解析式为 ykb 则 解得 ， 7 分 2043kb 直线 AD 的解析式为 8 分23yx （3）.如图，设直线 AD 与 轴的交点是 F 当 时， 0x3 点 F 的坐标为 F（0， ） 9 分2 在 Rt OMF 中 2243()3MO 4C23M
27、F 点 F 在线段 MC 的中垂线上 11 分 MD=CD=4 点 D 也在线段 CM 的中垂线上 直线 AD 是线段 CM 的中垂线. 点 M 关于直线 AD 的对称点是 C 12 分 连结 BC 交直线 AD 于 N（如图） ，连结 MN，此时 最小.则 MNBNB 就是所求作的周长最小的三角形 13 分 xyADCBMO xy EADCBMO xyFNADCBMO xy BDCAMOE 此时在OBC 中， 2226(3)4BCO 根据轴对称的性质可知： NM MNB 的周长为 ,点 N 的位置如图所示. 14 分B 点评：本题是几何、代数的综合题.由代数的一元二次方程根与坐标联系在一起，
28、由坐标再 与一次函数、圆、一次函数以及对称等知识串联在一起.在本题中点的坐标是解答过程中的较 关键环节，比如三个问中问点 的坐标、问点 的坐标、 问点 的坐标；题中的相关计CDF 算特别是点的坐标常用勾股定理来帮忙（本题 3 次用到勾股定理） .本题总体难度不大，但综 合的知识点较多；问“点 M 关于直线 AD 的对称点是 C 点 ”算是是本题的“难点” ，这里要用 垂直平分线的“判定”定理，这是个同学们在平时没有引起重视的一个知识点. 2010-2011 上学期统考 27.已知方程组： 2xk1y4yL .求证：不能 为何值，此方程组一定有实数解； .设等腰 的三边长分别为 其中 ，且 和
29、是该方程组ABCVabc、42xay2xby 的两个解，求ABC 的周长？ 考点：解方程组、一元二次方程根的判别式、韦达定理、等腰三角形的性质、分类讨论等. 分析：.本问关键是把关于 二元方程组转化为关于 的一元二次方程，然后从一元二次xy、 x 方程根的判别式切入，问题可获得解决. .根据题意可知 是问中一元二次方程的两个解，因此利用“韦达定理”切,ab 入可以得出 和 关于 的式子，然后进行分类讨论先求出 的值，再进一步求出k k 和 的值，三角形的周长可以求出.abc 略解： (1).把方程代入得： 2x1x240 化简得： 2 分2xk140 = 4 分22k9k3+- 原方程组一定有
30、实数解. 5 分 (2). 是方程 的两个解， 6 分,xabx1x40 ,2k14k .当长为 的边是等腰三角形的一腰时，则 或c acb 方程必有一根为 4 2k2 . 方程为： 7 分k5x680 或 符合题意.ac68、bc、k5 10 分b10 . 当长为 的边是等腰三角形的一底时，则c4ab 方程有两个相等的实数根 = 0，即= 2k30 . 方程为： k152x40 不合题意舍去.abck15 综合上述两种情况ABC 的周长为 10. 14 分 点评：本题的部分内容对于现行新人教版来说是属于选学和拓展性的内容，但考试中仍是考 查内容或者以阅读解答出现在考题中.本题主要是转化和分类
31、讨论思想的运用：要注意把二元 转化一元方程来解答；要注意把等腰三角形的 分为为腰和为底来讨论 .在求周长时还要注意整c 体思想的运用. 课外选练： 1. 如图，将等腰 Rt 的直角顶点 置于等腰 Rt 的斜边的中点处作逆时针旋转， EDFVACBV 交 于点 , 交 于点 .DEBCNACM .求证： M .连接 ,试探究线段 BN、 之间的数量关系. 2.某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调 查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天售价 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱. .求平均每天销售量 （箱）与销售价（元/
32、箱）之间的函数解析式，并写出 x 的取值范围；y .求该批发商平均每天销售利润 元与销售价 元/箱）之间的函数解析式；x .当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 3.如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， , 是 上半部分的一ABOCABAB4C2、PO 个动点，连接 .P、 .求 的最大面积；C .求 的最大度数 .如图 2 ，延长 交 于点 ,连接D ；当 .求证： 是 的切线. D 4.已知：如图，抛物线 的图象与 轴分别交于 两点，与 轴交于23yx3xAB、yC 点， 经过原点 及点 ，点 是劣弧 上一动点（ 点与 不重合）.MOAC、OADO .求抛物
33、线的顶点 的坐标；E .求 的面积； .连接 交 于点 ,延长 至 ,使 ;CDFDGF2 试探究:当点 运动到何处时，直线 与 相切，并请说明理由. M xyEBFMACODG NMFCDABE 图 1 图 2 NMFCDABE PCBAO 图 1 DPCBA 图 2 5. 用剪刀将形如图所示的矩形纸片 沿着直线 剪成两部分，其中 为 中点ABCDMMAD 用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图中的 Rt 就是图裁剪的 逆时针BCEVC 旋转拼成的一个图形 .用这两部分纸片除了可以拼成图中的 Rt 外，还可以拼成一些四边形请你试一试， 把拼好的四边形分别画在两个虚框内 .如图，若利用这两部分纸片拼成的 Rt 是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边 和 的长分别为 厘米、 厘米，且 恰好是关于 的方程ABCabab、x 的两个实数根，试求出原矩形纸片的面积01)(2mx 不用注册，免 费下载！ MDBCA 图 EMBCA 图
