1、九年级数学相似三角形提优训练题 一选择题（共 10 小题） 1 （2013自贡）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=9，BAD 的平分线交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 F，BGAE 于 G，BG= ，则EFC 的周长为（ ） A 11 B 10 C 9 D 8 2 （2013重庆）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，连接 CE 并延长与 BA 的延长线交于点 F，若 AE=2ED，CD=3cm，则 AF 的长为（ ） A 5cm B 6cm C 7cm D 8cm 3 （2013孝感）如图，在 ABC 中，AB=AC=a，BC=b（ab） 在ABC 内
2、依次作 CBD=A，DCE= CBD，EDF= DCE则 EF 等于（ ） A B C D 4 （2013咸宁）如图，正方形 ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分 EOFB，GHMN 都是正方形的花圃已知自 由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ） A B C D 5 （2013绥化）如图，点 A，B，C ，D 为O 上的四个点， AC 平分 BAD，AC 交 BD 于点 E，CE=4，CD=6 ， 则 AE 的长为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 6 （2013内江）如图，在 ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，S
3、 DEF：S ABF=4：25，则 DE：EC= （ ） A 2：5 B 2：3 C 3：5 D 3：2 7 （2013黑龙江）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC， BCD=90，ABC=45，AD=CD，CE 平分ACB 交 AB 于点 E，在 BC 上截取 BF=AE，连接 AF 交 CE 于点 G，连接 DG 交 AC 于点 H，过点 A 作 ANBC，垂足为 N，AN 交 CE 于点 M则下列结论； CM=AF； CEAF； ABFDAH；GD 平分AGC，其中正确 的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8 （2013恩施州）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC
4、与 BD 相交于点 O，E 为 OD 的中点，连接 AE 并延 长交 DC 于点 F，则 DF：FC=（ ） A 1：4 B 1：3 C 2：3 D 1：2 9 （2013德阳）如图，在 O 上有定点 C 和动点 P，位于直径 AB 的异侧，过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长 线交于点 Q，已知：O 半径为 ，tan ABC= ，则 CQ 的最大值是（ ） A 5 B C D 10 （2012岳阳）如图， AB 为半圆 O 的直径，AD、BC 分别切 O 于 A、B 两点，CD 切O 于点 E，AD 与 CD 相交于 D，BC 与 CD 相交于 C，连接 OD、OC，对于下列结论：
5、OD2=DECD；AD+BC=CD；OD=OC； S 梯形 ABCD= CDOA； DOC=90，其中正确的是（ ） A B C D 二填空题（共 10 小题） 11 （2013昭通）如图， AB 是O 的直径，弦 BC=4cm，F 是弦 BC 的中点， ABC=60若动点 E 以 1cm/s 的速 度从 A 点出发在 AB 上沿着 ABA 运动，设运动时间为 t（s） （0 t16） ，连接 EF，当BEF 是直角三角形时， t（s）的值为 _ （填出一个正确的即可） 12 （2013南通）如图，在 ABCD 中，AB=6cm，AD=9cm，BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延
6、长线于点 F，BGAE ，垂足为 G，BG=4 cm，则 EF+CF 的长为 _ cm 13 （2013菏泽）如图所示，在 ABC 中，BC=6，E、F 分别是 AB、AC 的中点，动点 P 在射线 EF 上，BP 交 CE 于 D，CBP 的平分线交 CE 于 Q，当 CQ= CE 时，EP+BP= _ 14 （2013巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 4 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为 _ 15 （2012自贡）正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N 分别是 BC、CD 上两个动点，且始终保持 AMMN，当 BM= _ cm 时，四边形 ABCN 的面积
7、最大，最大面积为 _ cm 2 16 （2012宜宾）如图，在 O 中，AB 是直径，点 D 是O 上一点，点 C 是 的中点，弦 CEAB 于点 F，过 点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G，连接 AD，分别交 CF、BC 于点 P、Q，连接 AC给出下列结论： BAD=ABC；GP=GD； 点 P 是 ACQ 的外心； APAD=CQCB 其中正确的是 _ （写出所有正确结论的序号） 17 （2012泉州）在 ABC 中， P 是 AB 上的动点（P 异于 A、B ） ，过点 P 的直线截ABC，使截得的三角形与 ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的ABC 的相似线，简记为
8、P（l x） （x 为自然数） （1）如图，A=90，B=C，当 BP=2PA 时，P （l 1） 、P（l 2）都是过点 P 的ABC 的相似线（其中 l1BC，l 2AC） ，此外，还有 _ 条； （2）如图，C=90 ，B=30，当 = _ 时，P（l x）截得的三角形面积为 ABC 面积的 18 （2012嘉兴）如图，在 RtABC 中，ABC=90，BA=BC点 D 是 AB 的中点，连接 CD，过点 B 作 BG 丄 CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连接 DF给出以下四个结论： ； 点 F 是 GE 的中点； AF= AB；
9、SABC=5SBDF，其中正确的结论序号是 _ 19 （2012泸州）如图， n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 M1，M 2，M 3，M n 分别为边 B1B2，B 2B3，B 3B4，B nBn+1 的中点，B 1C1M1 的面积为 S1，B 2C2M2 的面积为 S2，B nCnMn 的面积为 Sn，则 Sn= _ （用含 n 的式子表示） 20 （2013荆州）如图， ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形，在 ABC 内作第 1 个内接正方形 A1B1D1E1（D 1、E 1 在 AB 上，A 1、B 1 分别在 AC、BC 上） ，再在A 1B1C
10、内接同样的方法作第 2 个内接正方形 A2B2D2E2，如此下去，操作 n 次，则第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长是 _ 三解答题（共 8 小题） 21 （2013珠海）如图，在 RtABC 中，C=90，点 P 为 AC 边上的一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转 （点 P 对应点 P） ，当 AP 旋转至 APAB 时，点 B、P、P恰好在同一直线上，此时作 PEAC 于点 E （1）求证：CBP= ABP； （2）求证：AE=CP； （3）当 ，BP=5 时，求线段 AB 的长 22 （2013湛江）如图，已知 AB 是O 的直径，P 为O 外一点，且 OPBC， P
11、=BAC （1）求证：PA 为 O 的切线； （2）若 OB=5，OP= ，求 AC 的长 23 （2013宜宾）如图， AB 是O 的直径，B=CAD （1）求证：AC 是 O 的切线； （2）若点 E 是 的中点，连接 AE 交 BC 于点 F，当 BD=5，CD=4 时，求 AF 的值 24 （2013襄阳）如图， ABC 内接于 O，且 AB 为O 的直径ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F （1）求证：DPAB； （2）若 AC=6，BC=8 ，求线段 PD 的长
12、25 （2013绍兴）在 ABC 中， CAB=90，AD BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上 （1）如图 1，AC：AB=1 ：2，EFCB ，求证：EF=CD （2）如图 2，AC：AB=1 ： ，EFCE ，求 EF：EG 的值 26 （2013汕头）如图， O 是 RtABC 的外接圆， ABC=90，弦 BD=BA，AB=12，BC=5，BEDC 交 DC 的 延长线于点 E （1）求证：BCA= BAD； （2）求 DE 的长； （3）求证：BE 是O 的切线 27 （2013朝阳）如图，直线 AB 与O 相切于点 A，直径
13、DC 的延长线交 AB 于点 B，AB=8，OB=10 （1）求O 的半径 （2）点 E 在O 上，连接 AE，AC ，EC ，并且 AE=AC，判断直线 EC 与 AB 有怎样的位置关系？并证明你的结 论 （3）求弦 EC 的长 28 （2013成都）如图，点 B 在线段 AC 上，点 D，E 在 AC 同侧，A= C=90，BDBE，AD=BC （1）求证：AC=AD+CE； （2）若 AD=3，CE=5 ，点 P 为线段 AB 上的动点，连接 DP，作 PQDP，交直线 BE 于点 Q； （i）当点 P 与 A，B 两点不重合时，求 的值； （ii）当点 P 从 A 点运动到 AC 的中
14、点时，求线段 DQ 的中点所经过的路径（线段）长 （直接写出结果，不必写 出解答过程） 九年级数学相似三角形提优训练题 参考答案与试题解析 一选择题（共 10 小题） 1 （2013自贡）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=9，BAD 的平分线交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 F，BGAE 于 G，BG= ，则EFC 的周长为（ ） A 11 B 10 C 9 D 8 考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质4387773 分析： 判断出ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形，DF 的长度，继而得到 EC 的长度，在 RtBGE 中求 出 GE，继而得
15、到 AE，求出 ABE 的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出 EFC 的周 长 解答： 解： 在 ABCD 中，AB=CD=6，AD=BC=9 ，BAD 的平分线交 BC 于点 E， BAF=DAF， ABDF，AD BC， BAF=F=DAF，BAE=AEB， AB=BE=6，AD=DF=9， ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形， ADBC， EFC 是等腰三角形，且 FC=CE， EC=FC=96=3， 在ABG 中，BG AE，AB=6 ，BG=4 ， AG= =2， AE=2AG=4， ABE 的周长等于 16， 又CEFBEA，相似比为 1：2， CEF 的周长
16、为 8 故选 D 点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比， 此题难度较大 2 （2013重庆）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，连接 CE 并延长与 BA 的延长线交于点 F，若 AE=2ED，CD=3cm，则 AF 的长为（ ） A 5cm B 6cm C 7cm D 8cm 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质4387773 分析： 由边形 ABCD 是平行四边形，可得 ABCD，即可证得AFEDEC，然后由相似三角形的对应边成比例， 求得答案 解答： 解： 四边形 ABCD 是平行四边形， A
17、BCD， AFEDEC， AE：DE=AF ： CD， AE=2ED，CD=3cm， AF=2CD=6cm 故选 B 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应 用 3 （2013孝感）如图，在 ABC 中，AB=AC=a，BC=b（ab） 在ABC 内依次作 CBD=A，DCE= CBD，EDF= DCE则 EF 等于（ ） A B C D 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质4387773 专题： 压轴题 分析： 依次判定ABCBDC CDEDFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出 EF 的长度 解答： 解
18、： AB=AC， ABC=ACB， 又CBD=A， ABCBDC， 同理可得：ABCBDC CDEDFE， = ， = ， = ， = ， AB=AC， CD=CE， 解得：CD=CE= ，DE= ，EF= 故选 C 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解 线段的长度，注意仔细对应，不要出错 4 （2013咸宁）如图，正方形 ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分 EOFB，GHMN 都是正方形的花圃已知自 由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ） A B C D 考点： 相似三角形的应用；正方形的性质；几何
19、概率4387773 专题： 压轴题 分析： 求得阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率； 解答： 解：设正方形的 ABCD 的边长为 a， 则 BF= BC= ，AN=NM=MC= a， 阴影部分的面积为（ ） 2+（ a） 2= a2， 小鸟在花圃上的概率为 = 故选 C 点评： 本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长， 最后表示出面积 5 （2013绥化）如图，点 A，B，C ，D 为O 上的四个点， AC 平分 BAD，AC 交 BD 于点 E，CE=4，CD=6 ， 则 AE 的长为（ ） A 4 B
20、 5 C 6 D 7 考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质4387773 分析： 根据圆周角定理CAD=CDB，继而证明 ACDDCE，设 AE=x，则 AC=x+4，利用对应边成比例，可 求出 x 的值 解答： 解：设 AE=x，则 AC=x+4， AC 平分BAD， BAC=CAD， CDB=BAC（圆周角定理） ， CAD=CDB， ACDDCE， = ，即 = ， 解得：x=5 故选 B 点评： 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出CAD= CDB，证明 ACD DCE 6 （2013内江）如图，在 ABCD 中，E 为 CD
21、上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，S DEF：S ABF=4：25，则 DE：EC= （ ） A 2：5 B 2：3 C 3：5 D 3：2 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质4387773 分析： 先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出DEFBAF，再根据 SDEF：S ABF=4：25 即可 得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB 的值，由 AB=CD 即可得出结论 解答： 解： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， EAB=DEF，AFB= DFE， DEFBAF， SDEF：S ABF=4：25， DE：AB=2 ：5，
22、 AB=CD， DE：EC=2 ： 3 故选 B 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积 的比等于相似比的平方是解答此题的关键 7 （2013黑龙江）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC， BCD=90，ABC=45，AD=CD，CE 平分ACB 交 AB 于点 E，在 BC 上截取 BF=AE，连接 AF 交 CE 于点 G，连接 DG 交 AC 于点 H，过点 A 作 ANBC，垂足为 N，AN 交 CE 于点 M则下列结论； CM=AF； CEAF； ABFDAH；GD 平分AGC，其中正确 的个数是（ ） A 1 B 2
23、 C 3 D 4 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形4387773 专题： 压轴题 分析： 如解答图所示： 结论正确：证明ACMABF 即可； 结论正确：由ACMABF 得 2=4，进而得 4+6=90，即 CEAF； 结论正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等； 结论正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等 解答： 解：（1）结论正确理由如下： 1=2，1+CMN=90 ， 2+6=90， 6=CMN，又5= CMN， 5=6， AM=AE=BF 易知 ADCN 为正方形，ABC 为等腰直角三角形，AB=AC 在ACM 与ABF 中， ，
24、ACMABF（SAS） ， CM=AF； （2）结论正确理由如下： ACMABF，2= 4， 2+6=90，4+ 6=90， CEAF； （3）结论正确理由如下： 证法一：CEAF，ADC+AGC=180，A 、D、C、G 四点共圆， 7=2，2=4， 7=4，又DAH=B=45， ABFDAH； 证法二：CEAF，1=2， ACF 为等腰三角形，AC=CF，点 G 为 AF 中点 在 RtANF 中，点 G 为斜边 AF 中点， NG=AG， MNG=3，DAG=CNG 在ADG 与NCG 中， ， ADGNCG（SAS） ， 7=1，又1=2=4， 7=4，又DAH=B=45， ABFDA
25、H； （4）结论正确理由如下： 证法一：A、 D、C 、G 四点共圆， DGC=DAC=45， DGA=DCA=45， DGC=DGA，即 GD 平分 AGC 证法二：AM=AE，CEAF，3=4，又2= 4，3=2 则CGN=180 190MNG=1801903=9012=45 ADGNCG， DGA=CGN=45= AGC， GD 平分 AGC 综上所述，正确的结论是：，共 4 个 故选 D 点评： 本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直 角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考 8 （2013恩施州
26、）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 为 OD 的中点，连接 AE 并延 长交 DC 于点 F，则 DF：FC=（ ） A 1：4 B 1：3 C 2：3 D 1：2 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质4387773 分析： 首先证明DFE BAE，然后利用对应变成比例，E 为 OD 的中点，求出 DF：AB 的值，又知 AB=DC， 即可得出 DF：FC 的值 解答： 解：在平行四边形 ABCD 中，ABDC， 则DFEBAE ， = ， O 为对角线的交点， DO=BO， 又 E 为 OD 的中点， DE= DB， 则 DE：EB=1 ：3
27、， DF：AB=1 ： 3， DC=AB， DF：DC=1 ： 3， DF：FC=1：2 故选 D 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明 DFEBAE，然后根据对应边成比例求值 9 （2013德阳）如图，在 O 上有定点 C 和动点 P，位于直径 AB 的异侧，过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长 线交于点 Q，已知：O 半径为 ，tan ABC= ，则 CQ 的最大值是（ ） A 5 B C D 考点： 圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质4387773 专题： 计算题；压轴题 分析： 根据圆周角定理的
28、推论由 AB 为O 的直径得到 ACB=90，再根据正切的定义得到 tanABC= = ，然 后根据圆周角定理得到A=P，则可证得ACB PCQ，利用相似比得 CQ= PC= PC，PC 为直径时， PC 最长，此时 CQ 最长，然后把 PC=5 代入计算即可 解答： 解： AB 为O 的直径， AB=5，ACB=90 ， tanABC= ， = ， CPCQ， PCQ=90， 而A= P， ACBPCQ， = ， CQ= PC= PC， 当 PC 最大时，CQ 最大，即 PC 为 O 的直径时，CQ 最大，此时 CQ= 5= 故选 D 点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧
29、所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 一半也考查了三角形相似的判定与性质 10 （2012岳阳）如图， AB 为半圆 O 的直径，AD、BC 分别切 O 于 A、B 两点，CD 切O 于点 E，AD 与 CD 相交于 D，BC 与 CD 相交于 C，连接 OD、OC，对于下列结论： OD2=DECD；AD+BC=CD；OD=OC； S 梯形 ABCD= CDOA； DOC=90，其中正确的是（ ） A B C D 考点： 切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质4387773 专题： 计算题；压轴题 分析： 连接 OE，由 AD，DC，BC 都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角
30、为直角，且利用切线长定理得到 DE=DA，CE=CB，由 CD=DE+EC，等量代换可得出 CD=AD+BC，选项正确；由 AD=ED，OD 为公共 边，利用 HL 可得出直角三角形 ADO 与直角三角形 EDO 全等，可得出 AOD=EOD，同理得到 EOC=BOC，而这四个角之和为平角，可得出DOC 为直角，选项正确；由 DOC 与DEO 都为直角， 再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形 DEO 与三角形 DOC 相似，由 相似得比例可得出 OD2=DECD，选项正确；又 ABCD 为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形 ABCD 的面积为 AB（AD+BC
31、） ，将 AD+BC 化为 CD，可得出梯形面积为 ABCD，选项 错误，而 OD 不一定等于 OC，选项 错误，即可得到正确的选项 解答： 解：连接 OE，如图所示： AD 与圆 O 相切， DC 与圆 O 相切，BC 与圆 O 相切， DAO=DEO=OBC=90， DA=DE，CE=CB ，ADBC， CD=DE+EC=AD+BC，选项 正确； 在 RtADO 和 RtEDO 中， ， RtADORtEDO（HL） ， AOD=EOD， 同理 RtCEORtCBO， EOC=BOC， 又AOD+DOE+EOC+ COB=180， 2（ DOE+EOC）=180 ，即 DOC=90，选项正
32、确； DOC=DEO=90，又EDO=ODC， EDOODC， = ，即 OD2=DCDE，选项 正确； 而 S 梯形 ABCD= AB（AD+BC ）= ABCD，选项 错误； 由 OD 不一定等于 OC，选项 错误， 则正确的选项有 故选 A 点评： 此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面 积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键 二填空题（共 10 小题） 11 （2013昭通）如图， AB 是O 的直径，弦 BC=4cm，F 是弦 BC 的中点， ABC=60若动点 E 以 1cm/s 的速 度从 A 点出发
33、在 AB 上沿着 ABA 运动，设运动时间为 t（s） （0 t16） ，连接 EF，当BEF 是直角三角形时， t（s）的值为 4s （填出一个正确的即可） 考点： 圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质4387773 专题： 压轴题；开放型 分析： 根据圆周角定理得到C=90，由于ABC=60，BC=4cm，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 AB=2BC=8cm，而 F 是弦 BC 的中点，所以当 EFAC 时， BEF 是直角三角形，此时 E 为 AB 的中点，易 得 t=4s；当从 A 点出发运动到 B 点名，再运动到 O 点时，此时 t=12s；也可以过 F 点作 A
34、B 的垂线，点 E 点运动到垂足时，BEF 是直角三角形 解答： 解： AB 是O 的直径， C=90， 而ABC=60， BC=4cm， AB=2BC=8cm， F 是弦 BC 的中点， 当 EFAC 时， BEF 是直角三角形， 此时 E 为 AB 的中点，即 AE=AO=4cm， t= =4（s ） 故答案为 4s 点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 一半也考查了圆周角定理的推论以及含 30 度的直角三角形三边的关系 12 （2013南通）如图，在 ABCD 中，AB=6cm，AD=9cm，BAD 的平分线交 BC 于点
35、E，交 DC 的延长线于点 F，BGAE ，垂足为 G，BG=4 cm，则 EF+CF 的长为 5 cm 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质4387773 专题： 压轴题 分析： 首先，由于 AE 平分 BAD，那么 BAE=DAE，由 ADBC，可得内错角DAE= BEA，等量代换后可证 得 AB=BE，即ABE 是等腰三角形，根据等腰三角形 “三线合一”的性质得出 AE=2AG，而在 RtABG 中， 由勾股定理可求得 AG 的值，即可求得 AE 的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出 EF，FC 的长，即可得出答案 解答： 解：
36、AE 平分BAD， DAE=BAE； 又 ADBC， BEA=DAE=BAE， AB=BE=6cm， EC=96=3（cm） ， BGAE，垂足为 G， AE=2AG 在 RtABG 中， AGB=90，AB=6cm ，BG=4 cm， AG= =2（cm） ， AE=2AG=4cm； ECAD， = = = = ， = ， = ， 解得：EF=2（cm ） ，FC=3（cm ） ， EF+CF 的长为 5cm 故答案为：5 点评： 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力， 同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中 13 （2013
37、菏泽）如图所示，在 ABC 中，BC=6，E、F 分别是 AB、AC 的中点，动点 P 在射线 EF 上，BP 交 CE 于 D，CBP 的平分线交 CE 于 Q，当 CQ= CE 时，EP+BP= 12 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理4387773 专题： 压轴题 分析： 延长 BQ 交射线 EF 于 M，根据三角形的中位线平行于第三边可得 EFBC，根据两直线平行，内错角相等 可得M= CBM，再根据角平分线的定义可得PBM=CBM，从而得到M=PBM，根据等角对等边可得 BP=PM，求出 EP+BP=EM，再根据 CQ= CE 求出 EQ=2CQ
38、，然后根据 MEQ 和 BCQ 相似，利用相似三 角形对应边成比例列式求解即可 解答： 解：如图，延长 BQ 交射线 EF 于 M， E、 F 分别是 AB、AC 的中点， EFBC， M=CBM， BQ 是CBP 的平分线， PBM=CBM， M=PBM， BP=PM， EP+BP=EP+PM=EM， CQ= CE， EQ=2CQ， 由 EFBC 得，MEQ BCQ， = =2， EM=2BC=26=12， 即 EP+BP=12 故答案为：12 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长 BQ 构造出相似三角形，求 出 EP+BP=EM 并得到相似三角形是解
39、题的关键，也是本题的难点 14 （2013巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 4 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为 1.5 米 考点： 相似三角形的应用4387773 分析： 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即 DEBC 可知，ADEACB，根据其相似比即可求解 解答： 解： DEBC， ADEACB，即 = ， 则 = ， h=1.5m 故答案为：1.5 米 点评： 本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列 出方程，建立适当的数学模型来解决问题 15 （2012自贡）正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N
40、分别是 BC、CD 上两个动点，且始终保持 AMMN，当 BM= cm 时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为 cm 2 考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质4387773 专题： 压轴题 分析： 设 BM=xcm，则 MC=1xcm，当 AMMN 时，利用互余关系可证 ABMMCN，利用相似比求 CN，根 据梯形的面积公式表示四边形 ABCN 的面积，用二次函数的性质求面积的最大值 解答： 解：设 BM=xcm，则 MC=1xcm， AMN=90， AMB+NMC=90，NMC+ MNC=90， AMB=MNC， 又B=C ABMMCN，则 ，即 ， 解得 CN
41、= =x（1x） ， S 四边形 ABCN= 11+x（1 x） = x2+ x+ ， 0， 当 x= = cm 时，S 四边形 ABCN 最大，最大值是 （ ） 2+ + = cm2 故答案是： ， 点评： 本题考查了二次函数的性质的运用关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式 16 （2012宜宾）如图，在 O 中，AB 是直径，点 D 是O 上一点，点 C 是 的中点，弦 CEAB 于点 F，过 点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G，连接 AD，分别交 CF、BC 于点 P、Q，连接 AC给出下列结论： BAD=ABC；GP=GD； 点 P 是 ACQ 的外心； AP
42、AD=CQCB 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 考点： 切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质4387773 专题： 计算题；压轴题 分析： 连接 BD，由 GD 为圆 O 的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到GDP=ABD ，再由 AB 为圆的 直径，根据直径所对的圆周角为直角得到ACB 为直角，由 CE 垂直于 AB，得到AFP 为直角，再由一对 公共角，得到三角形 APF 与三角形 ABD 相似，根据相似三角形的对应角相等可得出APF 等于ABD ， 根据等量代换及对顶角相等可得出GPD=GDP，利用等角对等边可得出 GP=GD，选项正确；由
43、直径 AB 垂直于弦 CE，利用垂径定理得到 A 为 的中点，得到两条弧相等，再由 C 为 的中点，得到两条弧 相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出CAP=ACP，利用等角对等边可得 出 AP=CP，又 AB 为直径得到 ACQ 为直角，利用等角的余角相等可得出PCQ= PQC，得出 CP=PQ，即 P 为直角三角形 ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形 ACQ 的外心，选项 正确；利用等弧所对的圆周 角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形 ACQ 与三角形 ABC 相似，根据相似得比例得 到 AC2=CQCB，连接 CD，同理可得出三角形 ACP 与三角
44、形 ACD 相似，根据相似三角形对应边成比例 可得出 AC2=APAD，等量代换可得出 APAD=CQCB，选项 正确 解答： 解：BAD 与 ABC 不一定相等，选项错误； 连接 BD，如图所示： GD 为圆 O 的切线， GDP=ABD， 又 AB 为圆 O 的直径，ADB=90， CEAB，AFP=90， ADB=AFP，又PAF= BAD， APFABD， ABD=APF，又APF= GPD， GDP=GPD， GP=GD，选项正确； 直径 ABCE， A 为 的中点，即 = ， 又 C 为 的中点， = ， = ， CAP=ACP， AP=CP， 又 AB 为圆 O 的直径，ACQ=
45、90， PCQ=PQC， PC=PQ， AP=PQ，即 P 为 RtACQ 斜边 AQ 的中点， P 为 RtACQ 的外心，选项正确； 连接 CD，如图所示： = ， B=CAD，又ACQ=BCA， ACQBCA， = ，即 AC2=CQCB， = ， ACP=ADC，又 CAP=DAC， ACPADC， = ，即 AC2=APAD， APAD=CQCB，选项正确， 则正确的选项序号有 故答案为： 点评： 此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握 性质及定理是解本题的关键 17 （2012泉州）在 ABC 中， P 是 AB 上的动点（P 异于 A、B ） ，过点 P 的直线截
