1、2016-2017 学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）以下每小题都给出 了 A，B，C ，D 四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在 表中 1抛物线 y=ax2+bx3 经过点（ 1，1），则代数式 a+b 的值为（ ） A2 B3 C4 D6 2在 RtABC 中，C=90，AB=5，AC=3 下列选项中，正确的是（ ） AsinA= BcosA= CtanA= DcotA= 3若 ab=cd，且 abcd0，则下列式子正确的是（ ） Aa ：c=b： d Bd：c=b：a Ca：b=c ：d D
2、a ：d=c ：b 4对于反比例函数 ，下列说法中不正确的是（ ） A点（2 ， 1）在它的图象上 B它的图象在第一、三象限 C y 随 x 的增大而减小 D当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 5如图，ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，则下列结论： BC=2DE； ADEABC； 其中正确的有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 6AB 为O 的直径，点 C、D 在O 上若ABD=42，则BCD 的度数是（ ） A122 B132 C128 D138 7已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC BC ），则下 列结论正确的是（ ）
3、 AAB 2=ACBC BBC 2=ACBC CAC= BC DBC= AB 8如图，在ABC 中，AB=AC=13，BC=10 ，点 D 为 BC 的中点，DE AB 于点 E，则 tanBDE 的值等于（ ） A B C D 9如图，已知点 P 是 Rt ABC 的斜边 BC 上任意一点，若过点 P 作直线 PD 与 直角边 AB 或 AC 相交于点 D，截得的小三角形与 ABC 相似，那么 D 点的位置 最多有（ ） A2 处 B3 处 C4 处 D5 处 10如图，Rt ABC 中，AC=BC=2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边 上，设 CD 的长度为 x，A
4、BC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，则下列图象 中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11计算：sin60cos30tan45= 12如图，点 A、B、C 在O 上，AOC=60 ，则ABC 的度数是 13有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍，如图，将这两张纸 条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形 ABCD则 AB 与 BC 的数量关系为 14如图，在正方形 ABCD 中，BPC 是等边三角形， BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F ，连结 BD、 DP，BD 与
5、CF 相交于点 H给出下列结论： ABEDCF； = ；DP 2=PHPB； = 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15（8 分）抛物线 y=2x2+8x6 （1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 16（8 分）已知如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，连接 AC若A=22.5 ，CD=8cm，求O 的半径 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17（8 分）如图，ABC 的顶点坐标分别为 A（ 1，3 ）、B（4，2）、 C（ 2，1） （1）作
6、出与ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1，并写出点 A1 的坐标； （2）以原点 O 为位似中心，在原点的另一侧画出A 2B2C2，使 = ，并写 出点 A2 的坐标 18（8 分）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量 釜溪河沙湾段的宽度小宇同学在 A 处观测对岸 C 点，测得CAD=45，小英 同学在距 A 处 50 米远的 B 处测得CBD=30，请你根据这些数据算出河 宽（精确到 0.01 米，参考数据 1.414， 1.732） 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19（10 分）如图，D 是 AC 上一点，BE AC，AE 分别交 B
7、D、BC 于点 F、G若1=2，线段 BF、FG、FE 之间有怎样的关系？请说明理由 20（10 分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅 子 B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线 y= x2+3x+1 的一部分，如图 所示 （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高 BC=3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表演是否成功？请说明理由 六、（本题满分 12 分） 21（12 分）如图，点 M 是ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于ABC 的各边，所形成的三个小三角形 1、 2、 3（图中阴影部分）的面积分别是 1、
8、4 、25 则ABC 的面积是 七、（本题满分 12 分） 22（12 分）某商场购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为了 获得更多的利润，商店决定提高价格经调查发现，若按每件 20 元的价格销售 时，每月能卖出 360 件，在此基础上，若涨价 5 元，则每月销售量将减少 150 件，若每月销售量 y（件）与价格 x（元/ 件）满足关系式 y=kx+b （1）求 k，b 的值； （2）问日用品单价应定为多少元？该商场每月获得利润最大，最大利润是多少？ 八、（本题满分 14 分） 23（14 分）如图，在ABCD，E 为边 BC 的中点，F 为线段 AE 上一点，联结 BF 并延长
9、交边 AD 于点 G，过点 G 作 AE 的平行线，交射线 DC 于点 H设 = =x （1）当 x=1 时，求 AG： AB 的值； （2）设 =y，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）当 DH=3HC 时，求 x 的值 2016-2017 学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）以下每小题都给出 了 A，B，C ，D 四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确答案的代号填在 表中 1抛物线 y=ax2+bx3 经过点（ 1，1），则代数式 a+b 的值为（ ） A2 B3 C4 D6 【考点】
10、二次函数图象上点的坐标特征 【分析】把点（1，1）代入函数解析式即可求出 a+b 的值 【解答】解：二次函数 y=ax2+bx3（a0）的图象经过点（1，1）， a +b3=1， a +b=4， 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的 关键 2在 RtABC 中，C=90，AB=5，AC=3 下列选项中，正确的是（ ） AsinA= BcosA= CtanA= DcotA= 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】首先在直角ABC 中利用勾股定理求得 BC 的长，然后利用三角函数的 定义进行判断 【解答】解：在直角ABC 中 BC= = =4 A、sinA=
11、 = ，选项错误； B、cosA= = ，选项正确； C、 tanA= = ，选项错误； D、cotA= = ，选项错误 故选 B 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦 为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 3若 ab=cd，且 abcd0，则下列式子正确的是（ ） Aa ：c=b： d Bd：c=b：a Ca：b=c ：d Da ：d=c ：b 【考点】比例的性质 【分析】根据比例的性质，可得答案 【解答】解：A、a：c=b ： d，得 ad=bc，故 A 错误； B、d：c=b：a，得 bc=ad，故 B 错误； C、 a：b=c：d，得 ac=
12、bd，故 C 错误； D、a：d=c：b，得 ab=cd，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了比例的性质，比例的性质是：两外项的乘积等于两内项的 乘积 4对于反比例函数 ，下列说法中不正确的是（ ） A点（2 ， 1）在它的图象上 B它的图象在第一、三象限 C y 随 x 的增大而减小 D当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 【考点】反比例函数的性质 【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答，当系数 k0 时，函数图象在第 一、三象限，当 x0 或 x0 时，y 随 x 的增大而减小，据此可以得到答案 【解答】解：A、把点（2，1）代入反比例函数 y= 得1=1，本选项正确； B、k
13、=20，图象在第一、三象限，本选项正确； C、当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，本选项不正确； D、当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，本选项正确 故选 C 【点评】本题考查了反比例函数 y= （k0）的性质： 当 k0 时，图象分别 位于第一、三象限；当 k0 时，图象分别位于第二、四象限当 k0 时， 在同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，在同一个象限， y 随 x 的 增大而增大 5如图，ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，则下列结论： BC=2DE； ADEABC； 其中正确的有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 【考点】三角形中
14、位线定理；相似三角形的判定与性质 【分析】若 D、E 是 AB、AC 的中点，则 DE 是ABC 的中位线，可根据三角形 中位线定理得出的等量条件进行判断 【解答】解：D、E 是 AB、AC 的中点， DE 是ABC 的中位线； DEBC，BC=2DE ；（故 正确） ADE ABC；（故正确） ，即 ；（故正确） 因此本题的三个结论都正确，故选 A 【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质 6AB 为O 的直径，点 C、D 在O 上若ABD=42，则BCD 的度数是（ ） A122 B132 C128 D138 【考点】圆周角定理 【分析】连接 AD，根据圆周角定理可
15、得 ADB=90，然后可得DAB=48，再 根据圆内接四边形对角互补可得答案 【解答】解：连接 AD， AB 为O 的直径， ADB=90 ， ABD=42 ， DAB=48 ， BCD=18048=132 ， 故选：B 【点评】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键是掌握半圆 （或直径）所对的圆周角是直角 7已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC BC ），则下 列结论正确的是（ ） AAB 2=ACBC BBC 2=ACBC CAC= BC DBC= AB 【考点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的定义得出 = ，从而判断各选项 【解答】解：点
16、C 是线段 AB 的黄金分割点且 ACBC， = ，即 AC2=BCAB，故 A、B 错误； AC= AB，故 C 错误； BC= AB，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题主要考查黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键 8如图，在ABC 中，AB=AC=13，BC=10 ，点 D 为 BC 的中点，DE AB 于点 E，则 tanBDE 的值等于（ ） A B C D 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理 【分析】连接 AD，由ABC 中，AB=AC=13，BC=10，D 为 BC 中点，利用等腰 三角形三线合一的性质，可证得 ADBC，再利用勾股定理，求得 AD 的长
17、，那 么在直角ABD 中根据三角函数的定义求出 tanBAD，然后根据同角的余角相 等得出BDE=BAD ，于是 tanBDE=tan BAD 【解答】解：连接 AD， ABC 中，AB=AC=13， BC=10，D 为 BC 中点， ADBC，BD= BC=5， AD= =12， tanBAD= = ADBC，DE AB ， BDE+ADE=90，BAD+ADE=90， BDE= BAD， tanBDE=tanBAD= 故选 C 【点评】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角 函数的定义以及余角的性质此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线， 注意数形结合思想的应用 9
18、如图，已知点 P 是 Rt ABC 的斜边 BC 上任意一点，若过点 P 作直线 PD 与 直角边 AB 或 AC 相交于点 D，截得的小三角形与 ABC 相似，那么 D 点的位置 最多有（ ） A2 处 B3 处 C4 处 D5 处 【考点】相似三角形的判定 【分析】过点 P 作直线 PD 与直角边 AB 或 AC 相交于点 D，截得的三角形与原 三角形有一个公共角，只需作一个直角即可 【解答】解：截得的小三角形与ABC 相似， 过 P 作 AC 的垂线，作 AB 的垂线，作 BC 的垂线，所截得的三角形满足题意， 则 D 点的位置最多有 3 处 故选 B 【点评】此题考查了相似三角形的判定
19、，熟练掌握相似三角形的判定方法是解 本题的关键 10如图，Rt ABC 中，AC=BC=2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边 上，设 CD 的长度为 x，ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，则下列图象 中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象；等腰三角形的性质 【分析】分类讨论：当 0x1 时，根据正方形的面积公式得到 y=x2；当 1x 2 时，ED 交 AB 于 M，EF 交 AB 于 N，利用重叠的面积等于正方形的面积 减去等腰直角三角形 MNE 的面积得到 y=x22（x 1） 2，配方得到 y=（
20、x 2） 2+2， 然后根据二次函数的性质对各选项进行判断 【解答】解：当 0x1 时，y=x 2， 当 1x2 时，ED 交 AB 于 M，EF 交 AB 于 N，如图， CD=x，则 AD=2x， RtABC 中，AC=BC=2， ADM 为等腰直角三角形， DM=2x， EM=x（2x）=2x 2， S ENM = （2x2） 2=2（ x1） 2， y=x 22（x1） 2=x2+4x2=（x2） 2+2， y= ， 故选：A 【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决 生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力用图象解决问题 时，要理清图象的含义即
21、会识图也考查了等腰直角三角形的性质 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11计算：sin60cos30tan45= 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】先把 sin60= ，tan45=1 ，cos30= 代入原式，再根据实数的运算 法则进行计算 【解答】解：sin60cos30tan45 ， = 1， = 故答案为： 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解 答此题的关键 12如图，点 A、B、C 在O 上，AOC=60 ，则ABC 的度数是 150 【考点】圆周角定理 【分析】首先在优弧 上取点 D，连接 AD，CD ，由圆周角定理
22、，即可求得 ADC 的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案 【解答】解：在优弧 上取点 D，连接 AD，CD ， AOC=60， ADC= AOC=30， ABC+ADC=180 ， ABC=180 ADC=18030=150 故答案为：150 【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题比较简单，注 意掌握辅助线的作法 13有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍，如图，将这两张纸 条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形 ABCD则 AB 与 BC 的数量关系为 AB=2BC 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】分别过 A 作 AEBC 于 E、作 AFCD
23、于 F，再根据甲纸条的宽度是乙 纸条宽的 2 倍可得出 AE=2AF，再由平行四边形的性质得出ABC=ADC，进而 可判断出ABEADF，其相似比为 2：1 【解答】解：过 A 作 AEBC 于 E、作 AFCD 于 F， 甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍， AE=2AF， 纸条的两边互相平行， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABC=ADC，AD=BC， AEB=AFD=90 ， ABEADF， = = ，即 = 故答案为：AB=2BC 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造 出相似三角形是解答此题的关键 14如图，在正方形 ABCD 中，BPC 是等边三角形
24、， BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F ，连结 BD、 DP，BD 与 CF 相交于点 H给出下列结论： ABEDCF； = ；DP 2=PHPB； = 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性 质 【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到 ABE=DCF，A= ADC ，AB=CD，证得ABEDCF，故正确；由于 FDP=PBD，DFP= BPC=60，推出DFPBPH，得到 = = = 故 错误；由于PDH=PCD=30，DPH= DPC ，推出DPHCPD，得到 = ，PB=CD ，等量代换得到 PD
25、2=PHPB，故正确；根据三角形面积计算 公式，结合图形得到BPD 的面积=BCP 的面积+CDP 面积 BCD 的面积， 得到 = 故正确 【解答】解：BPC 是等边三角形， BP=PC=BC，PBC=PCB=BPC=60， 在正方形 ABCD 中， AB=BC=CD，A= ADC=BCD=90 ABE=DCF=30， 在ABE 与CDF 中， ， ABEDCF，故正确； PC=CD， PCD=30， PDC=75， FDP=15， DBA=45 ， PBD=15， FDP=PBD， DFP=BPC=60， DFPBPH ， = = = ，故错误； PDH=PCD=30， DPH=DPC，
26、DPHCDP， = ， PD 2=PHCD， PB=CD， PD 2=PHPB，故正确； 如图，过 P 作 PMCD ，PNBC， 设正方形 ABCD 的边长是 4，BPC 为正三角形， PBC= PCB=60 ，PB=PC=BC=CD=4， PCD=30 PN=PBsin60=4 =2 ，PM=PCsin30=2 ， SBPD =S 四边形 PBCDSBCD =S PBC+SPDC S BCD= 42 + 24 44=4 +48=4 4， = 故答案为： 【点评】本题考查的正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助 线，利用锐角三角函数的定义求出 PE 及 PF 的长，再根据三角形的
27、面积公式得 出结论 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15抛物线 y=2x2+8x6 （1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质 【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式边形为 y=2（x2） 2+2，由此即可得 出抛物线的顶点坐标以及抛物线的对称轴； （2）由 a=20 利用二次函数的性质即可得出：当 x2 时，y 随 x 的增大而减 小，此题得解 【解答】解：（1）y=2x 2+8x6=2（x 24x） 6=2（x 24x+4）+86=2（x2） 2+2， 该抛物线的顶点坐标为（2，
28、2），对称轴为直线 x=2 （2）a=20， 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 【点评】本题考查了二次函数的三种形式以及二次函数的性质，利用配方法将 二次函数解析式的一般式换算成顶点式是解题的关键 16已知如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB ，垂足为 E，连接 AC若 A=22.5，CD=8cm，求O 的半径 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连接 OC，由圆周角定理得出COE=45，根据垂径定理可得 CE=DE=4cm，证出COE 为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答 案 【解答】解：连接 OC，如图所示： AB 是O 的直径，弦 CDAB， CE=DE= CD=4cm，
29、 A=22.5， COE=2A=45， COE 为等腰直角三角形， OC= CE=4 cm， 即O 的半径为 4 cm 【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键 是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17如图，ABC 的顶点坐标分别为 A（1，3）、B （4，2）、C（2，1） （1）作出与ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1，并写出点 A1 的坐标； （2）以原点 O 为位似中心，在原点的另一侧画出A 2B2C2，使 = ，并写 出点 A2 的
30、坐标 【考点】作图-位似变换；作图 -轴对称变换 【分析】（1）利用关于 x 轴对称的点的坐标特征，写出 A1、B 1、C 1 的坐标，然 后描点即可得到A 1B1C1； （2）把 A、B、C 的横纵坐标后乘以 2 得到出 A2、B 2、C 2 的坐标，然后描点即 可得到A 2B2C2 【解答】解：（1）如图，A 1B1C1 为所作，A 1（1，3）； （2）如图，A 2B2C2 为所作， A2（2，6） 【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点 的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这 个点叫做位似中心 18如图所示，我市某中学课外活动
31、小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙 湾段的宽度小宇同学在 A 处观测对岸 C 点，测得CAD=45，小英同学在距 A 处 50 米远的 B 处测得CBD=30，请你根据这些数据算出河宽（精确到 0.01 米，参考数据 1.414， 1.732） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出 AE、EB，然后根 据 BEAE=50 就能求得河宽 【解答】解：过 C 作 CEAB 于 E，设 CE=x 米， 在 RtAEC 中：CAE=45，AE=CE=x 在 RtBCE 中：CBE=30，BE= CE= x， x=x+50 解之得：x=25 +2568.3
32、0 答：河宽为 68.30 米 【点评】此题主要考查了三角函数的概念和应用，解题关键是把实际问题转化 为数学问题，抽象到三角形中，利用三角函数进行解答 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19（10 分）（2016 秋瑶海区期末）如图，D 是 AC 上一点，BEAC，AE 分 别交 BD、BC 于点 F、G若1=2，线段 BF、FG、FE 之间有怎样的关系？请 说明理由 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】根据 BEAC ，可得1= E ，然后有1=2，可得2=E，又由 GFB= BFE，可得出BFGEFB，最后可得出 BF2=FGFE 【解答】解：BF 2=FG
33、FE 理由：BEAC ， 1=E， 1=2， 2=E， 又GFB= BFE， BFGEFB， = ， 即 BF2=FGFE 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据 BE AC，得出 1= E，进而判定BFGEFB 20（10 分）（2008安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹 跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线 y= x2+3x+1 的一部分，如图所示 （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高 BC=3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表演是否成功？请说明理由 【考点】二次函数的应用
34、 【分析】（1）将二次函数化简为 y= （x ） 2+ ，即可解出 y 最大 的值 （2）当 x=4 时代入二次函数可得点 B 的坐标在抛物线上 【解答】解：（1）将二次函数 y= x2+3x+1 化成 y= （x ） 2 ， 当 x= 时，y 有最大值，y 最大值 = ，（5 分） 因此，演员弹跳离地面的最大高度是 4.75 米（6 分） （2）能成功表演理由是： 当 x=4 时，y= 42+34+1=3.4 即点 B（4，3.4）在抛物线 y= x2+3x+1 上， 因此，能表演成功（12 分） 【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题， 借助二次函数解决实际问题
35、 六、（本题满分 12 分） 21（12 分）（2016 秋瑶海区期末）如图，点 M 是ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于ABC 的各边，所形成的三个小三角形 1、 2、 3（图中 阴影部分）的面积分别是 1、4、25则ABC 的面积是 64 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】首先过 M 作 BC 的平行线交 AB、AC 于 D、E，过 M 作 AC 平行线交 AB、BC 于 F、 H，过 M 作 AB 平行线交 AC、BC 于 I、G，判断出 1 2 3， 再根据相似三角形的性质，判断出它们的边长比为 1：2：5；然后判断出 BC、 DM 的关系，根据相似三角形的面积的比等于它
36、们的相似比的平方，判断 出 SABC 、S FDM 的关系，求出ABC 的面积是多少即可 【解答】解：如图， ， 过 M 作 BC 的平行线交 AB、AC 于 D、E，过 M 作 AC 平行线交 AB、BC 于 F、H ，过 M 作 AB 平行线交 AC、BC 于 I、G ， 根据题意得， 1 2 3， 1： 2=1：4， 1： 3=1：25， 它们的边长比为 1：2：5， 又四边形 BDMG 与四边形 CEMH 为平行四边形， DM=BG，EM=CH， 设 DM 为 x， 则 BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x， BC ： DM=8：1， S ABC ：S FDM =64：1， S
37、 ABC =164=64 故答案为：64 【点评】此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答 此题的关键是要明确：三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； 两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； 两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 七、（本题满分 12 分） 22（12 分）（2016 秋瑶海区期末）某商场购进一批单价为 16 元的日用品， 销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格经调查发现，若 按每件 20 元的价格销售时，每月能卖出 360 件，在此基础上，若涨价 5 元，则 每月销售量将减少 150 件，若每月销售量 y
38、（件）与价格 x（元/件）满足关系 式 y=kx+b （1）求 k，b 的值； （2）问日用品单价应定为多少元？该商场每月获得利润最大，最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）根据“总利润= 单件利润销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质可 得最值情况 【解答】解：（1）由题意可知： ， 解得： ； （2）由（1）可知：y 与 x 的函数关系应该是 y=30x+960 设商场每月获得的利润为 W，由题意可得 W=（x16）（30x+960） =30x2+1440x15360 300 ， 当 x= =24 时，利润最大，W 最大值 =1920 答：当
39、单价定为 24 元时，获得的利润最大，最大的利润为 1920 元 【点评】本题主要考查二次函数的应用能力，理解题意找到题目蕴含的相等关 系并列出函数解析式是解题的关键 八、（本题满分 14 分） 23（14 分）（2016 秋瑶海区期末）如图，在ABCD，E 为边 BC 的中点，F 为线段 AE 上一点，联结 BF 并延长交边 AD 于点 G，过点 G 作 AE 的平行线，交 射线 DC 于点 H设 = =x （1）当 x=1 时，求 AG： AB 的值； （2）设 =y，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）当 DH=3HC 时，求 x 的值 【考点】相似形综合题 【分析】（1）根据平行四
40、边形的性质得：ADBC，由平行线分线段成比例定 理得： ，由 x=1 得： = =1，根据中点 E 得：AG= AB，从而得出 AG：AB 的值； （2）假设 AB=1，则 AD=x，由（1）得：BE= ，AG= ，DG=x ，证明 GDHEBA，根据面积比等于相似比的平方列式可求得 y 关于 x 的函数关系式； （3）因为 H 是射线 DC 上一点，所以分两种情况：如图 2，当点 H 在边 DC 上时，根据已知 DH=3HC，得 ，再利用GDHEBA ，列比例式可求得 x 的值； 如图 3，当 H 在 DC 的延长线上时，同理可求得 x 的值 【解答】解：（1）如图 1，在ABCD 中，AD
41、=BC，ADBC， ， x=1，即 =1， = =1， AD=AB，AG=BE ， E 为 BC 的中点， BE= BC， AG=BE= BC= AB， 即 AG：AB= ； （2）如图 1， = =x， 不妨设 AB=1，则 AD=x，BE= ， ADBC， ， AG= ，DG=ADAG=x ， GHAE ， DGH=DAE ， ADBC， DAE= AEB， DGH=AEB， 在ABCD 中，D=ABE， GDHEBA， =（ ） 2， y= ， y= ； （3）如图 2，当点 H 在边 DC 上时， DH=3HC， ， ， GDHEBA， = ， = ， 解得：x= ； 如图 3，当 H 在 DC 的延长线上时， DH=3HC， = ， = ， GDHEBA， ， = ， 解得：x=2， 综上所述，可知 x 的值为 或 2
