1、2015-2016 学年安徽省安庆市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1将抛物线 y=x22x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物 线的解析式为( ) Ay= （ x1） 2+4 By= （x 4） 2+4 Cy=（x+2） 2+6 Dy=（x4） 2+6 2抛物线 y=ax2+bx3 经过点（1，1） ，则代数式 a+b 的值为( ) A2 B3 C4 D6 3如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是( ) A1 x5 Bx5 Cx 1 且 x5 Dx1 或 x5
2、4点（1，y 1） ， （2，y 2） ， （ 3，y 3）均在函数 y= 的图象上，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是( ) Ay 3y 2y 1 By 2y 3y 1 Cy 1y 3y 2 Dy 1y 2y 3 5如图，点 P 在 ABC 的边 AC 上，要判断ABPACB，添加一个条件，不正确的是( ) AABP=C BAPB=ABC C = D = 6图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( ) A点 M B点 N C点 O D点 P 7在 RtABC 中， C=90，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则 tanB 的值是( ) A2 B3 C D 8如图，直径为 10
3、 的A 经过点 C（0，5）和点 O（0， 0） ，B 是 y 轴右侧A 优弧上一 点，则 cosOBC 的值为( ) A B C D 9如图，ABC 内接于O，OBC=40，则A 的度数为( ) A80 B100 C110 D130 10如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 P、Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度分 别沿 ABC 和 ADC 的路径向点 C 运动，设运动时间为 x（单位：s） ，四边形 PBDQ 的面积为 y（单位：cm 2） ，则 y 与 x（0x 8）之间函数关系可以用图象表示为( ) A B C D 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 11
4、把一个长、宽、高分别为 3cm，2cm，1cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该 圆柱体铜块的底面积 s（cm 2）与高 h（cm）之间的函数关系式为_ 12若ADE ACB，且 = ，若四边形 BCED 的面积是 2，则ADE 的面积是 _ 13在 RtABC 中， C=90，AB=4，BC=2 ，则 sin =_ 14一个矩形的长为 a，宽为 b（ab） ，如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形 与原矩形相似，那么 =_ 三、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15已知函数 y= x2+x 请用配方法写出这个函数的对称轴和顶点坐标 16计算：tan30cos6
5、0+tan45cos30 四.（本大题共 2 小题，每小题 8 分满分 16 分） 17如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆 AB 的高度，在 C 点测得旗杆顶端 A 的仰角BCA=30 ，向前走了 20 米到达 D 点，在 D 点测得旗杆顶端 A 的仰角BDA=60 ， 求旗杆 AB 的高度 （结果保留根号） 18已知如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，连接 AC若 A=22.5， CD=8cm，求O 的半径 五、 （本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EF AM，垂足为
6、F，交 AD 的延长线于点 E，交 DC 于点 N （1）求证：ABM EFA； （2）若 AB=12，BM=5 ，求 DE 的长 20如图，在坐标系中，正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A、B 两 点 试根据图象求 k 的值； P 为 y 轴上一点，若以点 A、B、P 为顶点的三角形是直角三角形，试直接写出满足条 件的点 P 所有可能的坐标 六.（本题满分 12 分） 21如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 和 DEF 的顶点都在格点上， P1，P 2，P 3，P 4，P 5 是DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明三角形AB
7、C 为直角三角形； （2）判断ABC 和DEF 是否相似，并说明理由； （3）画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P 2，P 3，P 4，P 5 中的 3 个格点并且与ABC 相似（要求：不写作法与证明） 七、 （本题满分 12 分） 22一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶 5 分钟后离开轨道，前 2 分钟其速度 v（米/分） 与时间 t（分）满足二次函数 v=at2，后三分钟其速度 v（米 /分）与时间 t（分）满足反比例 函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠 1 分钟末的速度为 2 米/分，求： （1）二次函数和反比例函数的关系式 （2）弹珠在轨道上行驶的最大速度 （3）求弹珠离开轨道
8、时的速度 八.（本题满分 14 分） 23 （14 分）已知线段 OAOB，C 为 OB 上中点，D 为 AO 上一点，连 AC、BD 交于 P 点 （1）如图 1，当 OA=OB 且 D 为 AO 中点时，求 的值； （2）如图 2，当 OA=OB， 时，求 tanBPC 2015-2016 学年安徽省安庆市九年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1将抛物线 y=x22x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物 线的解析式为( ) Ay= （ x1） 2+4 By= （x 4） 2+4 Cy=（x+2） 2+6 Dy=（x4）
9、2+6 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式 【解答】解：将 y=x22x+3 化为顶点式，得 y=（x1） 2+2 将抛物线 y=x22x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物线 的解析式为 y=（x 4） 2+4， 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加 下减 2抛物线 y=ax2+bx3 经过点（1，1） ，则代数式 a+b 的值为( ) A2 B3 C4 D6 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】把点（1，1）代入函数解析式即可求出 a+b
10、的值 【解答】解：二次函数 y=ax2+bx3（a0）的图象经过点（1，1） ， a+b3=1， a+b=4， 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键 3如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是( ) A1 x5 Bx5 Cx 1 且 x5 Dx1 或 x5 【考点】二次函数与不等式（组） 【专题】压轴题 【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出 ax2+bx+c0 的解集 【解答】解：由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（5，0） ， 图象与
11、 x 轴的另一个交点坐标为（1，0） 利用图象可知： ax2+bx+c0 的解集即是 y0 的解集， x 1 或 x5 故选：D 【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结 合，题目非常典型 4点（1，y 1） ， （2，y 2） ， （ 3，y 3）均在函数 y= 的图象上，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是( ) Ay 3y 2y 1 By 2y 3y 1 Cy 1y 3y 2 Dy 1y 2y 3 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】直接把点（1，y 1） ， （2，y 2） ， （3，y 3）代入函数 y= ，求出 y1，y 2，y 3
12、 的值，并 比较出其大小即可 【解答】解：点（ 1，y 1） ， （2，y 2） ， （3，y 3）均在函数 y= 的图象上， y1= =1，y 2= ，y 3= ， 1 ， y1 y3y 2 故选：C 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐 标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 5如图，点 P 在 ABC 的边 AC 上，要判断ABPACB，添加一个条件，不正确的是( ) AABP=C BAPB=ABC C = D = 【考点】相似三角形的判定 【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可 【解答】解：A、当ABP=C 时，又A= A，ABP
13、ACB，故此选项错误； B、当APB= ABC 时，又A=A，ABPACB，故此选项错误； C、当 = 时，又A=A，ABP ACB，故此选项错误； D、无法得到ABPACB ，故此选项正确 故选：D 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键 6图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( ) A点 M B点 N C点 O D点 P 【考点】位似变换 【专题】网格型 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心即位似中心 一定在对应点的连线上 【解答】解：点 P 在对应点 M 和点 N 所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交 于 P 点，即
14、可得出 P 为两图形位似中心， 故选：D 【点评】此题主要考查了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在 的直线上得出是解题关键 7在 RtABC 中， C=90，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则 tanB 的值是( ) A2 B3 C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据勾股定理求出 AC，根据正切的概念计算即可 【解答】解：设 BC=x，则 AB=3x， 由勾股定理得，AC= =2 x， 则 tanB= =2 ， 故选：A 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角 的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻
15、边 8如图，直径为 10 的A 经过点 C（0，5）和点 O（0， 0） ，B 是 y 轴右侧A 优弧上一 点，则 cosOBC 的值为( ) A B C D 【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义 【专题】计算题 【分析】连接 CD，由COD 为直角，根据 90的圆周角所对的弦为直径，可得出 CD 为圆 A 的直径，再利用同弧所对的圆周角相等得到 CBO=CDO，在直角三角形 OCD 中，由 CD 及 OC 的长，利用勾股定理求出 OD 的长，然后利用余弦函数定义求出 cosCDO 的值， 即为 cosCBO 的值 【解答】解：连接 CD，如图所示： COD=90， CD 为圆 A
16、 的直径，即 CD 过圆心 A， 又CBO 与CDO 为 所对的圆周角， CBO=CDO， 又 C（0，5） ， OC=5， 在 RtCDO 中，CD=10，CO=5， 根据勾股定理得：OD= =5 ， cosCBO=cosCDO= = = 故选 B 【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义， 熟练掌握定理是解本题的关键 9如图，ABC 内接于O，OBC=40，则A 的度数为( ) A80 B100 C110 D130 【考点】圆周角定理 【分析】连接 OC，然后根据等边对等角可得：OCB=OBC=40，然后根据三角形内角和 定理可得BOC=100 ，然后根
17、据周角的定义可求： 1=260，然后根据圆周角定理即可求 出A 的度数 【解答】解：连接 OC，如图所示， OB=OC， OCB=OBC=40， BOC=100， 1+BOC=360， 1=260， A= 1， A=130 故选：D 【点评】此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的 关键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心 角的一半 10如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 P、Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度分 别沿 ABC 和 ADC 的路径向点 C 运动，设运动时间为 x（单位：s） ，四边形 PB
18、DQ 的面积为 y（单位：cm 2） ，则 y 与 x（0x 8）之间函数关系可以用图象表示为( ) A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【专题】压轴题；数形结合 【分析】根据题意结合图形，分情况讨论： 0x4 时，根据四边形 PBDQ 的面积=ABD 的面积APQ 的面积，列出函数关系式， 从而得到函数图象； 4x8 时，根据四边形 PBDQ 的面积=BCD 的面积 CPQ 的面积，列出函数关系式， 从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解 【解答】解：0 x4 时， 正方形的边长为 4cm， y=SABDSAPQ， = 44 xx， = x2+8， 4x8 时， y=SBCDSCP
19、Q， = 44 （8 x） （8 x） ， = （ 8x） 2+8， 所以，y 与 x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有 B 选项图 象符合 故选：B 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式 是解题的关键 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 11把一个长、宽、高分别为 3cm，2cm，1cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该 圆柱体铜块的底面积 s（cm 2）与高 h（cm）之间的函数关系式为 s= 【考点】根据实际问题列反比例函数关系式 【分析】利用长方体的体积=圆柱体的体积，进而得出等式求出即可 【解答】解：由题
20、意可得：sh=321， 则 s= 故答案为：s= 【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，得出长方体体积是解题关 键 12若ADE ACB，且 = ，若四边形 BCED 的面积是 2，则ADE 的面积是 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据题意求出ADE 与 ACB 的相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的 平方计算即可 【解答】解：ADEACB，且 = ， ADE 与ACB 的面积比为： ， ADE 与四边形 BCED 的面积比为： ，又四边形 BCED 的面积是 2， ADE 的面积是 ， 故答案为： 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似
21、比的平方是 解题的关键 13在 RtABC 中， C=90，AB=4，BC=2 ，则 sin = 【考点】特殊角的三角函数值 【专题】推理填空题 【分析】根据在 RtABC 中， C=90，AB=4，BC=2 ，可以求得A 正弦值，从而可以 求得A 的度数，进而可求得 sin 的值 【解答】解：在 RtABC 中， C=90，AB=4，BC=2 ， sinA= ， A=60， sin =sin30= ， 故答案为： 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值 14一个矩形的长为 a，宽为 b（ab） ，如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形 与原矩形相似，那么
22、= 【考点】相似多边形的性质 【分析】根据截去的最大的正方形的边长应该是 b，把这个矩形截去一个最大的正方形后 余下的矩形与原矩形相似，根据对应边的比相等列出算式，计算即可 【解答】解：由题意得， = ， 整理得，a 2abb2=0， 解得，a= b， 则 = ， 故答案为： 【点评】本题考查矩形的性质以及相似多边形的识别要注意相似矩形的对应的边分别是 哪条，不要弄混淆了 三、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15已知函数 y= x2+x 请用配方法写出这个函数的对称轴和顶点坐标 【考点】二次函数的三种形式 【分析】利用配方法整理，然后根据顶点式解析式写出对称轴和顶点坐
23、标即可 【解答】解：y= x2+x ， = （x 2+2x+1） ， = （x+1） 23， 所以，抛物线的对称轴为直线 x=1，顶点坐标为（1， 3） 【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键 16计算：tan30cos60+tan45cos30 【考点】特殊角的三角函数值 【专题】计算题 【分析】根据特殊角的三角函数值可以计算出 tan30cos60+tan45cos30的值 【解答】解：tan30cos60+tan45cos30 = = = 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值 四.（本大题共 2 小题，每小题 8 分满分
24、16 分） 17如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆 AB 的高度，在 C 点测得旗杆顶端 A 的仰角BCA=30 ，向前走了 20 米到达 D 点，在 D 点测得旗杆顶端 A 的仰角BDA=60 ， 求旗杆 AB 的高度 （结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】根据题意得C=30，ADB=60，从而得到 DAC=30，进而判定 AD=CD，得到 CD=20 米，在 RtADB 中利用 sinADB 求得 AB 的长即可 【解答】解：C=30 ， ADB=60， DAC=30， AD=CD， CD=20 米， AD=20 米， 在 RtADB 中， =sinA
25、DB， AB=ADsin60=20 =10 米 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形 并正确的利用边角关系求解 18已知如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，连接 AC若 A=22.5， CD=8cm，求O 的半径 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连接 OC，由圆周角定理得出COE=45 ，根据垂径定理可得 CE=DE=4cm，证出 COE 为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案 【解答】解：连接 OC，如图所示： AB 是O 的直径，弦 CDAB， CE=DE= CD=4cm， A=22.5， COE=2A=45， COE
26、 为等腰直角三角形， OC= CE=4 cm， 即 O 的半径为 4 cm 【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周 角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 一半 五、 （本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EF AM，垂足为 F，交 AD 的延长线于点 E，交 DC 于点 N （1）求证：ABM EFA； （2）若 AB=12，BM=5 ，求 DE 的长 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】 （1）由正
27、方形的性质得出 AB=AD，B=90，ADBC，得出AMB=EAF，再由 B=AFE，即可得出结论； （2）由勾股定理求出 AM，得出 AF，由 ABMEFA 得出比例式，求出 AE，即可得出 DE 的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， AB=AD，B=90，ADBC， AMB=EAF， 又 EFAM， AFE=90， B=AFE， ABMEFA； （2）解：B=90 ，AB=12，BM=5， AM= =13，AD=12， F 是 AM 的中点， AF= AM=6.5， ABMEFA， ， 即 ， AE=16.9， DE=AEAD=4.9 【点评】本题考查了正方形的性质、相
28、似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方 形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键 20如图，在坐标系中，正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A、B 两 点 试根据图象求 k 的值； P 为 y 轴上一点，若以点 A、B、P 为顶点的三角形是直角三角形，试直接写出满足条 件的点 P 所有可能的坐标 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】计算题 【分析】利用点 A 在直线 y=x 上确定 A 点坐标，然后把 A 点坐标代入 y= 即可求出 k 的值； 设 P（0，t） ，而 B 点坐标为（1，1） ，分类讨论：当 PAB=90，则 PA2+AB2=PB2；当
29、 PBA=90，则 PB2+AB2=PA2；当APB=90，则 PA2+PB2=AB2，然后利用两点间的距离 公式列出关于 t 的 3 个方程，再解方程求出 t 即可得到 P 点坐标 【解答】解：把 x=1 代入 y=x 得 y=1， A 的坐标是（ 1，1） ， 把 A（1，1）代入 y= 得 k=11=1； 点 A 与点 B 关于原点中心对称， B 点坐标为（1，1） ， AB=2 ， 设 P 点坐标为（0，t ） ， 当PAB=90 ，则 PA2+AB2=PB2，即 12+（t 1） 2+（2 ） 2=12+（t+1） 2，解得 t=2； 当PBA=90 ，则 PB2+AB2=PA2，即
30、 12+（t+1） 2+（2 ） 2=12+（t 1） 2，解得 t=2； 当APB=90 ，则 PA2+PB2=AB2，即 12+（t 1） 2+12+（t+1） 2=（2 ） 2，解得 t= 点 P 的所有可能的坐标是（0， ） ， （0， ） ， （0，2） ， （0， 2） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交 点坐标满足两函数解析式也考查了分类讨论的思想和两点间的距离公式 六.（本题满分 12 分） 21如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 和 DEF 的顶点都在格点上， P1，P 2，P 3，P 4，P 5 是DEF 边上的
31、5 个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明三角形ABC 为直角三角形； （2）判断ABC 和DEF 是否相似，并说明理由； （3）画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P 2，P 3，P 4，P 5 中的 3 个格点并且与ABC 相似（要求：不写作法与证明） 【考点】作图相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定 【分析】 （1）利用网格得出 AB2=20，AC 2=5，BC 2=25，再利用勾股定理逆定理得出答案 即可； （2）利用 AB=2 ，AC= ，BC=5 以及 DE=4 ，DF=2 ，EF=2 ，利用三角形 三边比值关系得出即可； （3）根据P 2P4 P5 三边与ABC
32、三边长度得出答案即可 【解答】解：（1）AB 2=20，AC 2=5，BC 2=25； AB2+AC2=BC2， 根据勾股定理的逆定理得ABC 为直角三角形； （2）ABC 和DEF 相似 由（1）中数据得 AB=2 ， AC= ，BC=5 ， DE=4 ，DF=2 ，EF=2 = = = = ， ABCDEF （3）如图：连接 P2P5，P 2P4，P 4P5， P2P5= ，P 2P4= ，P 4P5=2 ， AB=2 ，AC= ，BC=5， = = = ， ， ABCP2P4 P5 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理与逆定理应用，根据已知得出三 角形各边长度是解题关键 七
33、、 （本题满分 12 分） 22一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶 5 分钟后离开轨道，前 2 分钟其速度 v（米/分） 与时间 t（分）满足二次函数 v=at2，后三分钟其速度 v（米 /分）与时间 t（分）满足反比例 函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠 1 分钟末的速度为 2 米/分，求： （1）二次函数和反比例函数的关系式 （2）弹珠在轨道上行驶的最大速度 （3）求弹珠离开轨道时的速度 【考点】反比例函数的应用 【分析】 （1）二次函数图象经过点（1，2） ，反比例函数图象经过点（2，8） ，利用待定系 数法求函数解析式即可； （2）把 t=2 代入（ 1）中二次函数解析式即可； （
34、3）把 t=5 代入（ 1）中反比例函数解析式即可求得答案 【解答】解：（1）v=at 2 的图象经过点（1，2） ， a=2 二次函数的解析式为：v=2t 2， （0t 2） ； 设反比例函数的解析式为 v= ， 由题意知，图象经过点（2，8） ， k=16， 反比例函数的解析式为 v= （2t 5） ； （2）二次函数 v=2t2， （0 t2）的图象开口向上，对称轴为 y 轴， 弹珠在轨道上行驶的最大速度在 2 秒末，为 8 米/分； （3）弹珠在第 5 秒末离开轨道，其速度为 v= =3.2（米 /分） 【点评】本题考查了反比例函数和二次函数的应用解题的关键是从图中得到关键性的信 息：
35、自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标 八.（本题满分 14 分） 23 （14 分）已知线段 OAOB，C 为 OB 上中点，D 为 AO 上一点，连 AC、BD 交于 P 点 （1）如图 1，当 OA=OB 且 D 为 AO 中点时，求 的值； （2）如图 2，当 OA=OB， 时，求 tanBPC 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形 【专题】几何图形问题 【分析】 （1）过 D 作 BO 的平行线，根据平行线分线段成比例定理，在ACO 中 ED：CO=AD：AO，在ADE 和 PCB 中，ED：BC=PE：PC ，再根据 C 是 BO 的中点， 可以求出 PE：PC=1：2，再
36、根据三角形中位线定理，E 是 AC 的中点，利用比例变形求出 AP 与 PC 的比值等于 2； （2）同（1）的方法，先求出 PC= AC，再过 D 作 DFAC 于 F，设 AD 为 a，利用勾股 定理求出 AC 等于 2 a，再利用相似三角形对应边成比例求出 DF、AF 的值，而 PF=ACAFPC，也可求出，又BPC 与 FPD 是对顶角，所以其正切值便可求出 【解答】解：（1）过 D 作 DECO 交 AC 于 E， D 为 OA 中点， AE=CE= ， ， 点 C 为 OB 中点， BC=CO， ， ， PC= = ， =2； （2）过点 D 作 DEBO 交 AC 于 E， ， = = ， 点 C 为 OB 中点， ， ， PC= = ， 过 D 作 DFAC，垂足为 F，设 AD=a，则 AO=4a， OA=OB，点 C 为 OB 中点，CO=2a， 在 RtACO 中，AC= = =2 a， 又 RtADFRtACO， ， AF= ，DF= ， PF=ACAFPC=2 a = ， tanBPC=tanFPD= = 【点评】本题难度较大，需要对平行线分线段成比例定理灵活运用，根据勾股定理构造出 直角三角形并求出其直角边的长，准确作出辅助线是解决本题的关键，也是求解的难点， 这就要求同学们在平时的学习中对公式定理要熟练掌握并灵活运用，不断提高自己的数学 学习能力
