1、2015-2016 学年河南省洛阳市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1计算（a 2） 3 的结果是( ) Aa 5 Ba 6 Ca 8 D3a 2 2把 x32x2y+xy2 分解因式，结果正确的是( ) Ax（x+y） （ xy） Bx（ x22xy+y2） Cx（x+y ） 2 Dx（xy） 2 3解分式方程 + =3 时，去分母后变形为( ) A2+ （ x+2）=3（x1） B2 x+2=3（x1） C2 （ x+2）=3（1x） D2（x+2）=3（x1） 4如图，ABC 和DEF 中， AC=DE，B=DEF，添加下列哪一个条件
2、无法证明 ABCDEF( ) AAC DF BA=D CAB=DE D ACB=F 5如图，在ABC 中， A=50， ABC=70，BD 平分ABC，则BDC 的度数是( ) A85 B80 C75 D70 6如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD，其中 AB=AD，BC=DC将仪器上的点 A 与 PRQ 的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD，使它们分别落在角的两边上，过点 A，C 画一条射 线 AE，AE 就是 PRQ 的平分线此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得 ABCADC，这样就有 QAE=PAE则说明这两个三角形全等的依据是( ) ASAS BASA CAAS DSSS 7若
3、 3x=4，9 y=7，则 3x2y 的值为( ) A B C 3 D 8如图，在方格纸中，以 AB 为一边作ABP，使之与ABC 全等，从 P1，P 2，P 3，P 4 四 个点中找出符合条件的点 P，则点 P 有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（共 7 小题，每小题 3 分，满分 21 分） 9计算： + =_ 10若 ab=2，a b=1，则代数式 a2bab2 的值等于_ 11如图，点 D 在ABC 边 BC 的延长线上，CE 平分ACD，A=80 ，B=40 ，则 ACE 的大小是 _度 12已知一个等腰三角形的一边长 4，一边长 5，则这个三角形的周长为_
4、 13如图：ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=3cm，ABD 的周长为 13cm，则 ABC 的周长为_ 14如图，AOE= BOE=15，EFOB，ECOB，若 EC=2，则 EF=_ 15将一张宽为 6cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角 形，则这个三角形面积的最小值是_cm 2 三、解答题（共 8 小题，满分 75 分） 16利用图形面积可以证明乘法公式，也可以解释代数中恒等式的正确性 （1）首先请同学们观察用硬纸片拼成的图形（如图 1） ，根据图形的面积，写出它能说明 的乘法公式_； （2）请同学们观察用硬纸片拼成的图形（如图 2） ，根据图
5、形的面积关系，写出一个代数 恒等式 17先化简，再求值：（x+y） （xy）+（xy） 2+2xy，其中 x=（3 ） 0y=2 18先化简： （ ） ，再从2x3 的范围内选取一个你最喜欢的值代入， 求值 19如图，AD，AE 分别是ABC 的高和角平分线 （1）已知B=40，C=60 ，求 DAE 的度数； （2）设B=，C= （） 请直接写出用 、 表示DAE 的关系式_ 20如图，点 B、D、C、F 在一条直线上，且 BC=FD，AB=EF （1）请你只添加一个条件（不再加辅助线） ，使ABCEFD，你添加的条件是 _； （2）添加了条件后，证明ABCEFD 21如图，在等边ABC 中
6、，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DEAB，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F， （1）求F 的度数； （2）若 CD=3，求 DF 的长 22随着城际铁路的正式开通，从甲市经丙市到乙市的高铁里程比普快里程缩短了 90km， 运行时间减少了 8h，已知甲市到乙市的普快列车里程为 1220km高铁平均时速是普快平 均时速的 2.5 倍 （1）求高铁列车的平均时速； （2）某日王先生要从甲市去距离大约 780km 的丙市参加 14：00 召开的会议，如果他买到 当日 9：20 从甲市到丙市的高铁票，而且从丙市火车站到会议地点最多需要 1 小时试问 在高铁列车准点到达的情况
7、下，它能否在开会之前 20 分钟赶到会议地点？ 23如图，等腰 RtABC 中， ABC=90，AB=BC，点 A、B 分别在坐标轴上 （1）如图，若点 C 的横坐标为 5，直接写出点 B 的坐标_；（提示：过 C 作 CDy 轴于点 D，利用全等三角形求出 OB 即可） （2）如图，若点 A 的坐标为（6，0） ，点 B 在 y 轴的正半轴上运动时，分别以 OB、AB 为边在第一、第二象限作等腰 RtOBF，等腰 RtABE，连接 EF 交 y 轴于点 P， 当点 B 在 y 轴的正半轴上移动时， PB 的长度是否发生改变？若不变，求出 PB 的值若变 化，求 PB 的取值范围 2015-2
8、016 学年河南省洛阳市八年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1计算（a 2） 3 的结果是( ) Aa 5 Ba 6 Ca 8 D3a 2 【考点】幂的乘方与积的乘方 【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案 【解答】解：（a 2） 3=a6 故选：B 【点评】本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键 2把 x32x2y+xy2 分解因式，结果正确的是( ) Ax（x+y） （ xy） Bx（ x22xy+y2） Cx（x+y ） 2 Dx（xy） 2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】此多项式有公因
9、式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有 3 项，可 采用完全平方公式继续分解 【解答】解：x 32x2y+xy2， =x（x 22xy+y2） ， =x（xy ） 2 故选 D 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行 因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分 解 3解分式方程 + =3 时，去分母后变形为( ) A2+ （ x+2）=3（x1） B2 x+2=3（x1） C2 （ x+2）=3（1x） D2（x+2）=3（x1） 【考点】解分式方程 【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力观察式
10、子 x1 和 1x 互为相 反数，可得 1x=（x1） ，所以可得最简公分母为 x1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方 程中式子每一项都要乘最简公分母 【解答】解：方程两边都乘以 x1， 得：2（ x+2）=3（x1） 故选 D 【点评】考查了解分式方程，对一个分式方程而言，确定最简公分母后要注意不要漏乘， 这正是本题考查点所在切忌避免出现去分母后：2（x+2 ）=3 形式的出现 4如图，ABC 和DEF 中， AC=DE，B=DEF，添加下列哪一个条件无法证明 ABCDEF( ) AAC DF BA=D CAB=DE D ACB=F 【考点】全等三角形的判定 【分析】根据全等三角形的判定定理
11、，即可得出结论 【解答】解：AC=DF，B=DEF， 添加 ACDF，得出 ACB=F，即可证明ABCDEF ，故 A、D 都正确； 当添加A=D 时，根据 AAS，也可证明 ABCDEF，故 B 正确； 但添加 AB=DE 时，没有 SSA 定理，不能证明 ABCDEF，故 C 不正确； 故选：C 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有： SSS，SAS，ASA ，AAS，还有直角三角形全等的 HL 定理 5如图，在ABC 中， A=50， ABC=70，BD 平分ABC，则BDC 的度数是( ) A85 B80 C75 D70 【考点】三角形内角和定理 【分析】先根
12、据A=50，ABC=70得出C 的度数，再由 BD 平分ABC 求出 ABD 的度 数，再根据三角形的外角等于和它不相邻的内角的和解答 【解答】解：ABC=70，BD 平分ABC， ABD=70 =35， BDC=50+35=85， 故选：A 【点评】本题考查的是三角形的外角和内角的关系，熟知三角形的外角等于和它不相邻的 内角的和是解题的关键 6如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD，其中 AB=AD，BC=DC将仪器上的点 A 与 PRQ 的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD，使它们分别落在角的两边上，过点 A，C 画一条射 线 AE，AE 就是 PRQ 的平分线此角平分仪的画图原理是：根据
13、仪器结构，可得 ABCADC，这样就有 QAE=PAE则说明这两个三角形全等的依据是( ) ASAS BASA CAAS DSSS 【考点】全等三角形的应用 【分析】在ADC 和ABC 中，由于 AC 为公共边，AB=AD，BC=DC，利用 SSS 定理可 判定ADCABC ，进而得到 DAC=BAC，即QAE=PAE 【解答】解：在ADC 和ABC 中， ， ADCABC（SSS） ， DAC=BAC， 即QAE= PAE 故选：D 【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用 SSS 判断全等，再运用性质，是全 等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意 7若 3x=
14、4，9 y=7，则 3x2y 的值为( ) A B C 3 D 【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方 【分析】由 3x=4，9 y=7 与 3x2y=3x32y=3x（3 2） y，代入即可求得答案 【解答】解：3 x=4，9 y=7， 3x2y=3x32y=3x（3 2） y=47= 故选 A 【点评】此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用此题难度适中，注意将 3x2y 变形 为 3x（3 2） y 是解此题的关键 8如图，在方格纸中，以 AB 为一边作ABP，使之与ABC 全等，从 P1，P 2，P 3，P 4 四 个点中找出符合条件的点 P，则点 P 有( ) A1 个 B2 个
15、 C3 个 D4 个 【考点】全等三角形的判定 【分析】根据全等三角形的判定得出点 P 的位置即可 【解答】解：要使ABP 与 ABC 全等，点 P 到 AB 的距离应该等于点 C 到 AB 的距离， 即 3 个单位长度，故点 P 的位置可以是 P1，P 3，P 4 三个， 故选 C 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点 P 的位 置 二、填空题（共 7 小题，每小题 3 分，满分 21 分） 9计算： + =2 【考点】分式的加减法 【专题】计算题 【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果 【解答】解：原式= = =2， 故答案为：2 【点
16、评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 10若 ab=2，a b=1，则代数式 a2bab2 的值等于2 【考点】因式分解-提公因式法 【专题】因式分解 【分析】首先提取公因式 ab，进而将已知代入求出即可 【解答】解：ab=2，ab= 1， a2bab2=ab（a b）=2 （ 1）= 2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键 11如图，点 D 在ABC 边 BC 的延长线上，CE 平分ACD，A=80 ，B=40 ，则 ACE 的大小是 60 度 【考点】三角形的外角性质 【分析】由A=80，B=40 ，根据三角形任意一个外
17、角等于与之不相邻的两内角的和得到 ACD=B+A，然后利用角平分线的定义计算即可 【解答】解：ACD= B+A， 而A=80，B=40， ACD=80+40=120 CE 平分ACD， ACE=60， 故答案为 60 【点评】本题考查了三角形的外角定理，关键是根据三角形任意一个外角等于与之不相邻 的两内角的和 12已知一个等腰三角形的一边长 4，一边长 5，则这个三角形的周长为 13 或 14 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】分 4 是腰长和底边两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断 是否能组成三角形解答 【解答】解：若 4 是腰长，则三角形的三边分别为 4、
18、4、5， 能组成三角形， 周长=4+4+5=13， 若 4 是底边，则三角形的三边分别为 4、5、5， 能组成三角形， 周长=4+5+5=14， 综上所述，这个三角形周长为 13 或 14 故答案为：13 或 14 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用 三角形的三边关系判断是否能组成三角形 13如图：ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=3cm，ABD 的周长为 13cm，则 ABC 的周长为 19 【考点】线段垂直平分线的性质 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到 AD=CD，AC=2AE，结合周长， 进行线段的等量代换可得
19、答案 【解答】解：DE 是 AC 的垂直平分线， AD=CD，AC=2AE=6cm， 又ABD 的周长 =AB+BD+AD=13cm， AB+BD+CD=13cm， 即 AB+BC=13cm， ABC 的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm 故答案为 19 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点 的距离相等） ，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键 14如图，AOE= BOE=15，EFOB，ECOB，若 EC=2，则 EF=4 【考点】含 30 度角的直角三角形；角平分线的性质 【分析】作 EGOA 于 F，根据角平分线的性质得到 EG 的长度
20、，再根据平行线的性质得 到OEF= COE=15，然后利用三角形的外角和内角的关系求出EFG=30 ，利用 30角所 对的直角边是斜边的一半解题 【解答】解：作 EGOA 于 G，如图所示： EFOB，AOE=BOE=15 OEF=COE=15，EG=CE=2， AOE=15， EFG=15+15=30， EF=2EG=4 故答案为：4 【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含 30角的直角三角形的性质；熟 练掌握角平分线的性质，证出EFG=30 是解决问题的关键 15将一张宽为 6cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角 形，则这个三角形面积的最小值是 1
21、8cm2 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】当 ACAB 时，重叠三角形面积最小，此时 ABC 是等腰直角三角形，利用三角 形面积公式即可求解 【解答】解：如图，当 ACAB 时，三角形面积最小， BAC=90ACB=45 AB=AC=4cm， SABC= 66=18cm2 故答案是：18 【点评】本题考查了折叠的性质，发现当 ACAB 时，重叠三角形的面积最小是解决问题 的关键 三、解答题（共 8 小题，满分 75 分） 16利用图形面积可以证明乘法公式，也可以解释代数中恒等式的正确性 （1）首先请同学们观察用硬纸片拼成的图形（如图 1） ，根据图形的面积，写出它能说明 的乘法公式（a+
22、b） 2=a2+2ab+b2； （2）请同学们观察用硬纸片拼成的图形（如图 2） ，根据图形的面积关系，写出一个代数 恒等式 【考点】完全平方公式的几何背景 【分析】 （1）图中可以得出，大正方形的边长为 a+b，大正方形的面积就为（a+b） 2，2 个 矩形的边长相同，且长为 a，宽为 b，则 2 个矩形的面积为 2ab，空白的是两个正方形，较 大的正方形的边长为 a，面积等于 a2，小的正方形边长为 b，面积等于 b2，大正方形面积 减去 2 个阴影矩形的面积就等于空白部分的面积 （2）图中可以得出，大正方形的边长为 a+b，大正方形的面积就为（a+b） 2，4 个矩形的 边长相同，且长为
23、 a，宽为 b，则 4 个矩形的面积为 4ab，中间空心的正方形的边长为 ab， 面积等于（ab） 2，大正方形面积减去 4 个阴影矩形的面积就等于中间空白部分的面积 【解答】解：（1）阴影部分都是全等的矩形，且长为 a，宽为 b， 2 个矩形的面积为 2ab， 大正方形的边长为 a+b， 大正方形面积为（a+b） 2， 空白正方形的面积为 a2 和 b2， （ a+b） 2=a2+2ab+b2 故答案为（a+b） 2=a2+2ab+b2 （2）四周阴影部分都是全等的矩形，且长为 a，宽为 b， 四个矩形的面积为 4ab， 大正方形的边长为 a+b， 大正方形面积为（a+b） 2， 中间小正方
24、形的面积为（a+b） 24ab， 中间小正方形的面积也可表示为：（ab） 2， （ ab） 2=（a+b ） 24ab 【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关 键 17先化简，再求值：（x+y） （xy）+（xy） 2+2xy，其中 x=（3 ） 0y=2 【考点】整式的混合运算化简求值；零指数幂 【专题】计算题；整式 【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式=x 2y2+x22xy+y2+2xy=2x2， 当 x=（3 ） 0=1 时，原式=2 【点评】此题考查了整式
25、的混合运算化简求值，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本 题的关键 18先化简： （ ） ，再从2x3 的范围内选取一个你最喜欢的值代入， 求值 【考点】分式的化简求值 【专题】计算题 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式= = = ， 当 x=2 时，原式=4 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 19如图，AD，AE 分别是ABC 的高和角平分线 （1）已知B=40，C=60 ，求 DAE 的度数； （2）设B=，C= （） 请直接写出用 、 表示DA
26、E 的关系式 （） 【考点】三角形内角和定理 【分析】 （1）根据三角形内角和定理求出BAC ，再根据角平分线的定义求出 BAE，根据 直角三角形两锐角互余求出BAD，然后求解即可 （2）同（1）即可得出结果 【解答】解：（1）B=40 ， C=60， BAC=180BC=1804060=80， AE 是角平分线， BAE= BAC= 80=40， AD 是高， BAD=90B=9040=50， DAE=BADBAE=5040=10； （2）B=， C=（） ， BAC=180（+ ） ， AE 是角平分线， BAE= BAC=90 （+） ， AD 是高， BAD=90B=90， DAE=B
27、ADBAE=9090 （ +）= （） ； 故答案为： （） 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形 两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键 20如图，点 B、D、C、F 在一条直线上，且 BC=FD，AB=EF （1）请你只添加一个条件（不再加辅助线） ，使ABCEFD，你添加的条件是B=F 或 ABEF 或 AC=ED； （2）添加了条件后，证明ABCEFD 【考点】全等三角形的判定 【专题】证明题；开放型 【分析】 （1）本题要判定ABCEFD，已知 BC=DF， AB=EF，具备了两组边对应相等， 故添加B= F 或 ABEF 或 AC
28、=ED 后可分别根据 SAS、AAS、SSS 来判定其全等； （2）因为 AB=EF， B=F， BC=FD，可根据 SAS 判定ABC EFD 【解答】解：（1）B= F 或 ABEF 或 AC=ED； （2）证明：当B= F 时 在ABC 和EFD 中 ABCEFD（SAS） 【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个 三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方 法，看缺什么条件，再去证什么条件 21如图，在等边ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DEAB，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于
29、点 F， （1）求F 的度数； （2）若 CD=3，求 DF 的长 【考点】等边三角形的判定与性质 【分析】 （1）根据平行线的性质可得EDC= B=60，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解 【解答】解：（1）ABC 是等边三角形， B=60， DEAB， EDC=B=60， EFDE， DEF=90， F=90EDC=30； （2）ACB=60，EDC=60， EDC 是等边三角形 ED=DC=3， DEF=90，F=30， DF=2DE=6 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30 度的锐角所对 的直角
30、边等于斜边的一半 22随着城际铁路的正式开通，从甲市经丙市到乙市的高铁里程比普快里程缩短了 90km， 运行时间减少了 8h，已知甲市到乙市的普快列车里程为 1220km高铁平均时速是普快平 均时速的 2.5 倍 （1）求高铁列车的平均时速； （2）某日王先生要从甲市去距离大约 780km 的丙市参加 14：00 召开的会议，如果他买到 当日 9：20 从甲市到丙市的高铁票，而且从丙市火车站到会议地点最多需要 1 小时试问 在高铁列车准点到达的情况下，它能否在开会之前 20 分钟赶到会议地点？ 【考点】分式方程的应用 【分析】 （1）设普快的平均时速为 x 千米/小时，高铁列车的平均时速为 2
31、.5x 千米/ 小时， 根据题意可得，高铁走（122090）千米比普快走 1220 千米时间减少了 8 小时，据此列方 程求解； （2）求出王先生所用的时间，然后进行判断 【解答】解：（1）设普快的平均时速为 x 千米/小时，高铁列车的平均时速为 2.5x 千米/ 小 时， 由题意得， =8， 解得：x=96， 经检验，x=96 是原分式方程的解，且符合题意， 则 2.5x=240， 答：高铁列车的平均时速为 240 千米/小时； （2）780240=3.25， 则坐车共需要 3.25+1=4.25（小时） ， 从 9：20 到下午 1：40，共计 4 小时4.25 小时， 故王先生能在开会之
32、前到达 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合 适的等量关系，列方程求解，注意检验 23如图，等腰 RtABC 中， ABC=90，AB=BC，点 A、B 分别在坐标轴上 （1）如图，若点 C 的横坐标为 5，直接写出点 B 的坐标（0，2） ；（提示：过 C 作 CDy 轴于点 D，利用全等三角形求出 OB 即可） （2）如图，若点 A 的坐标为（6，0） ，点 B 在 y 轴的正半轴上运动时，分别以 OB、AB 为边在第一、第二象限作等腰 RtOBF，等腰 RtABE，连接 EF 交 y 轴于点 P， 当点 B 在 y 轴的正半轴上移动时， PB 的
33、长度是否发生改变？若不变，求出 PB 的值若变 化，求 PB 的取值范围 【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形 【分析】 （1）作 CDBO，易证 ABOBCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解 题； （2）作 EGy 轴，易证BAOEBG 和EGPFBP，可得 BG=AO 和 PB=PG，即可求 得 PB= AO，即可解题 【解答】解：（1）如图 1，作 CDBO 于 D， CBD+ABO=90，ABO+BAO=90， CBD=BAO， 在ABO 和 BCD 中， ， ABOBCD（AAS） ， CD=BO=2， B 点坐标（O ，2） ； 故答案为：（0，2） ； （2）如图 3，作 EGy 轴于 G， BAO+OBA=90， OBA+EBG=90， BAO=EBG， 在BAO 和 EBG 中， ， BAOEBG（AAS ） ， BG=AO，EG=OB， OB=BF， BF=EG， 在EGP 和 FBP 中， ， EGPFBP（AAS） ， PB=PG， PB= BG= AO=3 【点评】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三 角形全等的证明是解本题的关键
