1、第 1 页（共 25 页） 2015-2016 学年山东省济宁市金乡县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1抛物线 y=2x24 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （0， 2） C （1， 3） D （0，4） 2不在函数 y= 图象上的点是（ ） A （2，6） B （ 2，6） C （3，4） D （3，4） 3若抛物线 y=x2x1 与 x 轴的交点坐标为（m，0） ，则代数式 m2m+2012 的值为（ ） A2012 B2013 C2014 D2015 4如图，O 是ABC 的外接圆，已知ABO=50，则ACB 的大小为（
2、） A40 B30 C45 D50 5如图，ABD=BDC=90 ， A=CBD，AB=3 ，BD=2，则 CD 的长为（ ） A B C2 D3 6如图是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体将正方体移走后，所得几何体（ ） A主视图改变，左视图改变 B俯视图不变，左视图不变 第 2 页（共 25 页） C俯视图改变，左视图改变 D主视图改变，左视图不变 7如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，CDB=30，CD=2 ，则阴影部分图形的面积 为（ ） A4 B2 C D 8已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cm=0 没有实数根
3、，有下列结论：b 24ac0； abc0；m2，其中正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 9如图，在平面直角坐标系中，M 与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交 M 于 P，Q 两点，点 P 在点 Q 的右方，若点 P 的坐标是（ 1，2） ，则点 Q 的坐标是（ ） A （4， 2） B （ 4.5，2） C （ 5，2） D （5.5，2） 10如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在 CB 延长线上，连接 ED 交 AB 于点 F，AF=x（0.2 x0.8） ，EC=y则在下面函数图象中，大致能反映 y 与 x 之间函数关系的 是（ ） 第 3 页（共
4、25 页） A B C D 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11方程 x22x=0 的根是 12设有反比例函数 ， （x 1，y 1） （x 2，y 2）为其图象上两点，若 x10x 2，y 1y 2，则 k 的取值范围是 13如图，ABC 中，DE BC，AE：EB=2：3，则 AED 的面积与四边形 DEBC 的面积之 比为 14如右图，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 是小正方形顶点， O 的半径为 1，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则 sinAPB 等于 15如图，直线 l 是经过点（ 1，0）且与 y 轴平行的直线Rt
5、 ABC 中直角边 AC=4，BC=3 将 BC 边在直线 l 上滑动，使 A，B 在函数 的图象上那么 k 的值是 第 4 页（共 25 页） 三、解答题（本题共小题，共 55 分） 16已知关于 x 的一元二次方程 x2mx2=0 （1）若 x=1 是这个方程的一个根，求 m 的值和方程的另一根； （2）对于任意的实数 m，判断方程的根的情况，并说明理由 17如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点 A、B、C，请在网 格中进行下列操作： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心 D 点的位置，D 点坐标为 ； （2）连接 AD、CD，求D 的半径及扇形 DAC 的圆心角度数；
6、（3）若扇形 DAC 是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径 18在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有 一副空球桌，他们只能选两人打第一场 （1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的 概率； （2）如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场游戏规 则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这 两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“ 手背”都是随机的，请用画树状图的方法 求小莹和小芳打第一场的概率 19小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的
7、大桥 BC，并测得 B，C 两点的俯角分 别为 45，35 已知大桥 BC 与地面在同一水平面上，其长度为 100m，请求出热气球离地 面的高度 （结果保留整数） （参考数据：sin35 ，cos35 ，tan35 ） 第 5 页（共 25 页） 20如图，已知 AB 是 O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切O 于点 D，过点 B 作 BE 垂直于 PD，交 PD 的延长线于点 C，连接 AD 并延长，交 BE 于点 E （1）求证：AB=BE； （2）若 PA=2，cosB= ，求 O 半径的长 21某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试
8、销据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元， 每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本 （1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，且每天的总成本不超过 7000 元，那 么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本每天的销售量） 22如图，直线 y=x+3 与 x 轴，y 轴分别相交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一交点为
9、 A，点 A 在点 B 的左边，顶点为 P，且线段 AB 的长为 2 （1）求点 A 的坐标； （2）求该抛物线的函数表达式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 G，使|GCGB|最大？若存在，求 G 点坐标；若不存 在说明理由 （3）连结 AC，请问在 x 轴上是否存在点 Q，使得以点 P，B，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 25 页） 第 7 页（共 25 页） 2015-2016 学年山东省济宁市金乡县九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1抛
10、物线 y=2x24 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （0， 2） C （1， 3） D （0，4） 【考点】二次函数的性质 【分析】形如 y=ax2+k 的顶点坐标为（0，k） ，据此可以直接求顶点坐标 【解答】解：抛物线 y=x24 的顶点坐标为（0，4） 故选 D 【点评】本题考查了二次函数的性质二次函数的顶点式方程 y=a（xk） 2+h 的顶点坐标 是（k，h） ，对称轴方程是 x=k 2不在函数 y= 图象上的点是（ ） A （2，6） B （ 2，6） C （3，4） D （3，4） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据 得 k=xy=12，所以只要点的横坐标
11、与纵坐标的积等于 12，就在函数图 象上 【解答】解：A、26=12 ，不符合题意； B、2（6）=12，不符合题意； C、34=12，不符合题意； D、34=1212，符合题意； 故选 D 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征所有在反比例函数上的点的横纵 坐标的积应等于比例系数 3若抛物线 y=x2x1 与 x 轴的交点坐标为（m，0） ，则代数式 m2m+2012 的值为（ ） A2012 B2013 C2014 D2015 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】计算题 第 8 页（共 25 页） 【分析】先根据抛物线与 x 轴的交点问题可判断 m 为方程 x2x1=0 的解
12、，路一元二次方程 解的定义得到 m2m=1，然后利用整体代入的方法计算代数式 m2m+2012 的值 【解答】解：抛物线 y=x2x1 与 x 轴的交点坐标为（m ，0） ， m 为方程 x2x1=0 的解， m2m1=0，即 m2m=1， m2m+2012=1+2012=2013 故选 B 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程 4如图，O 是ABC 的外接圆，已知ABO=50，则ACB 的大小为（ ） A40 B30 C45 D50 【考点】圆周角定理 【分析】首先根
13、据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出AOB 的度数，再利用圆周 角与圆心角的关系求出ACB 的度数 【解答】解：AOB 中，OA=OB，ABO=50， AOB=1802ABO=80， ACB= AOB=40， 故选 A 【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以 及三角形内角和定理 5如图，ABD=BDC=90 ， A=CBD，AB=3 ，BD=2，则 CD 的长为（ ） 第 9 页（共 25 页） A B C2 D3 【考点】相似三角形的判定与性质 【专题】探究型 【分析】先根据题意判断出ABD BDC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出 CD 的
14、长 【解答】解：ABD= BDC=90，A=CBD ，AB=3，BD=2 ， ABDBDC， = ，即 = ， 解得 CD= 故选 B 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答 此题的关键 6如图是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体将正方体移走后，所得几何体（ ） A主视图改变，左视图改变 B俯视图不变，左视图不变 C俯视图改变，左视图改变 D主视图改变，左视图不变 【考点】简单组合体的三视图 【分析】分别得到将正方体移走前后的三视图，依此即可作出判断 【解答】解：将正方体移走前的主视图正方形的个数为 1，2，1；正方体移走后的主 视图正方形的个数为
15、1，2；发生改变 将正方体移走前的左视图正方形的个数为 2，1，1；正方体移走后的左视图正方形的 个数为 2，1，1；没有发生改变 将正方体移走前的俯视图正方形的个数为 1，3，1；正方体移走后的俯视图正方形的 个数，1，3；发生改变 故选 D 【点评】考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形 的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键 7如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，CDB=30，CD=2 ，则阴影部分图形的面积 为（ ） 第 10 页（共 25 页） A4 B2 C D 【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理 【分析】根据垂径定理求得 CE=ED
16、= ，然后由圆周角定理知 COE=60，然后通过解直 角三角形求得线段 OC、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入 S 阴影 =S 扇形 OCBS COE+SBED 【解答】解：如图，假设线段 CD、AB 交于点 E， AB 是O 的直径，弦 CDAB， CE=ED= ， 又CDB=30， COE=2CDB=60， OCE=30， OE=CEcot60= =1， OC=2OE=2， S 阴影 =S 扇形 OCBSCOE+SBED= OEEC+ BEED= + = 故选 D 【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度 是解答本题的关键 8已知二次函数 y=a
17、x2+bx+c（a0）的图象如图，且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cm=0 没有实数根，有下列结论：b 24ac0； abc0；m2，其中正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据抛物线与 x 轴的交点个数对进行判断；由抛物线开口方向得 a0，由抛物 线的对称轴在 y 轴的右侧得 b0，由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方得 c0，则可对 第 11 页（共 25 页） 进行判断；由 ax2+bx+cm=0 没有实数根得到抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=m 没有公共点， 加上二次函数的最大值为 2，则 m2，于是可对进行判
18、断 【解答】解：抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，所以正确； 抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧， b 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以 正确； ax2+bx+cm=0 没有实数根， 即抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=m 没有公共点， 二次函数的最大值为 2， m2，所以正确 故选 D 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，二次项系 数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次 项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的
19、位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点： 抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数由 决定：=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b 24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 9如图，在平面直角坐标系中，M 与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交 M 于 P，Q 两点，点 P 在点 Q 的右方，若点 P 的坐标是（ 1，2） ，则点 Q 的坐标是（ ） A （4， 2） B
20、 （ 4.5，2） C （ 5，2） D （5.5，2） 【考点】坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理 【专题】压轴题 【分析】因为M 与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交 M 于 P，Q 两点，点 P 在 点 Q 的右方，若点 P 的坐标是（ 1，2） ，则点 Q 的坐纵标是 2，设 PQ=2x，作 MAPQ， 第 12 页（共 25 页） 利用垂径定理可求 QA=PA=x，连接 MP，则 MP=MO=x+1，在 RtAMP 中，利用勾股定 理即可求出 x 的值，从而求出 Q 的横坐标= （2x+1 ） 【解答】解：M 与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交M 于 P，Q
21、 两点，点 P 在点 Q 的右方，点 P 的坐标是（ 1，2） 点 Q 的纵坐标是 2 设 PQ=2x，作 MAPQ， 利用垂径定理可知 QA=PA=x， 连接 MP，则 MP=MO=x+1， 在 RtAMP 中，MA 2+AP2=MP2 22+x2=（x+1） 2x=1.5 PQ=3，Q 的横坐标= （1+3）=4 Q（ 4， 2） 故选：A 【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用垂径定理与勾股定理即可解决问题 10如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在 CB 延长线上，连接 ED 交 AB 于点 F，AF=x（0.2 x0.8） ，EC=y则在下面函数图象中，大致能反映
22、y 与 x 之间函数关系的 是（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【专题】动点型 【分析】通过相似三角形EFBEDC 的对应边成比例列出比例式 = ，从而得 到 y 与 x 之间函数关系式，从而推知该函数图象 【解答】解：根据题意知，BF=1x，BE=y 1，且EFB EDC， 第 13 页（共 25 页） 则 = ，即 = ， 所以 y= （0.2x 0.8） ，该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分 A、D 的图象都是直线的一部分，B 的图象是抛物线的一部分，C 的图象是双曲线的一部 分 故选：C 【点评】本题考查了动点问题的函数图象解题时，注意自变量 x 的取值范围 二
23、、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11方程 x22x=0 的根是 x 1=0，x 2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】因为 x22x 可提取公因式，故用因式分解法解较简便 【解答】解：因式分解得 x（x2）=0， 解得 x1=0，x 2=2 故答案为 x1=0，x 2=2 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为 0 后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0 的特点 解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用 12设有反比例函数 ， （x 1，y 1） （x
24、2，y 2）为其图象上两点，若 x10x 2，y 1y 2，则 k 的取值范围是 k2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】计算题 【分析】先根据 x10x 2，y 1y 2 判断出 k+2 的符号，求出 k 的取值范围即可 【解答】解：（x 1，y 1） （x 2，y 2）为反比例函数 图象上两点， x10x 2，y 1y 2， k+20，解得 k2 故答案为：k2 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数 的图象在二、四象限是解答此题的关键 13如图，ABC 中，DE BC，AE：EB=2：3，则 AED 的面积与四边形 DEBC 的面积之 比
25、为 4：21 第 14 页（共 25 页） 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由已知条件得到 AE：AB=2 ：5，根据 DEBC，得到ADEABC，根据相似三 角形的性质得到 =（ ） 2= ，即可得到结论 【解答】解：AE：EB=2 ： 3， AE：AB=2 ：5， DEBC， ADEABC， =（ ） 2= ， AED 的面积与四边形 DEBC 的面积之比=4：21， 故答案为：4：21 【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，比例的基本性质的运用，相似三角形的面 积与相似比的关系，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键 14如右图，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，
26、A、B、O 是小正方形顶点， O 的半径为 1，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则 sinAPB 等于 【考点】圆周角定理；特殊角的三角函数值 【专题】网格型 【分析】由题意可得AOB=90，然后由圆周角定理，可求得APB=45，继而求得 sinAPB 的值 【解答】解：四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形， A、B 、O 是小正方形顶点， AOB=90， APB= AOB=45， sinAPB=sin45= 第 15 页（共 25 页） 故答案为： 【点评】此题考查了圆周角定理以及特殊角的三角函数值此题难度不大，注意掌握数形 结合思想的应用 15如图，直线 l 是经过点（
27、1，0）且与 y 轴平行的直线Rt ABC 中直角边 AC=4，BC=3 将 BC 边在直线 l 上滑动，使 A，B 在函数 的图象上那么 k 的值是 【考点】反比例函数综合题 【分析】过点 B 作 BMy 轴于点 M，过点 A 作 ANx 轴于点 N，延长 AC 交 y 轴于点 D，设点 C 的坐标为（1，y） ，根据反比例函数上的点向 x 轴 y 轴引垂线形成的矩形面积等 于反比例函数的 k 值是个定值作为相等关系求得 y 值后再求算 k 值 【解答】解：过点 B 作 BMy 轴于点 M，过点 A 作 ANx 轴于点 N，延长 AC 交 y 轴于 点 D， 设点 C 的坐标为（1，y） ，
28、则 AC=4，BC=3 OM=3+y，ON=5， B（1，3+y） ，A（5，y） ， ， 5y=3+y， 解得，y= ， OM=3+ = ， k=OM1= 故答案为： 第 16 页（共 25 页） 【点评】此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强， 注意反比例函数上的点向 x 轴 y 轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的 k 值 三、解答题（本题共小题，共 55 分） 16已知关于 x 的一元二次方程 x2mx2=0 （1）若 x=1 是这个方程的一个根，求 m 的值和方程的另一根； （2）对于任意的实数 m，判断方程的根的情况，并说明理由 【考点】根的判别式；
29、一元二次方程的解 【分析】 （1）把 x=1 代入已知方程，得到关于 m 的一元一次方程，通过解该方程来求 m 的值； （2）由根的判别式的符号来判定原方程的根的情况 【解答】解：（1）将 x=1 代入方程 x2mx2=0，得 1+m2=0， 解得 m=1， 解方程 x2x2=0，解得 x1=1，x 2=2； （2）=m 2+80， 对于任意的实数 m，方程有两个不相等的实数根 【点评】本题考查了根的判别式和方程的解的定义一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的 根与=b 24ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当=0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当0 时，
30、方程无实数根 上面的结论反过来也成立 17如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点 A、B、C，请在网 格中进行下列操作： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心 D 点的位置，D 点坐标为 （2，0） ； （2）连接 AD、CD，求D 的半径及扇形 DAC 的圆心角度数； （3）若扇形 DAC 是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径 第 17 页（共 25 页） 【考点】圆锥的计算；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理 【专题】压轴题；网格型 【分析】 （1）找到 AB，BC 的垂直平分线的交点即为圆心坐标； （2）利用勾股定理可求得圆的半径；易得AOD DEC，那么OAD=
31、 CDE，即可得到 圆心角的度数为 90； （3）求得弧长，除以 2 即为圆锥的底面半径 【解答】解：（1）如图；D （2，0） （2）如图； ； 作 CEx 轴，垂足为 E AODDEC， OAD=CDE， 又OAD+ ADO=90， CDE+ADO=90， 扇形 DAC 的圆心角为 90 度； （3）弧 AC 的长度即为圆锥底面圆的周长l 弧 = ， 设圆锥底面圆半径为 r，则 ， 【点评】本题用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心；圆锥的弧长等于底面 周长 18在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有 一副空球桌，他们只能选两人打第一场 （1）如
32、果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的 概率； 第 18 页（共 25 页） （2）如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场游戏规 则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这 两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“ 手背”都是随机的，请用画树状图的方法 求小莹和小芳打第一场的概率 【考点】列表法与树状图法；概率公式 【专题】计算题 【分析】 （1）由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中大 刚的概率即可； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手
33、心” 或“手背” 恰好相同的情 况数，即可求出所求的概率 【解答】解：（1）确定小亮打第一场， 再从小莹，小芳和大刚中随机选取一人打第一场，恰好选中大刚的概率为 ； （2）列表如下： 所有等可能的情况有 8 种，其中小莹和小芳伸“手心”或“ 手背” 恰好相同且与大刚不同的结 果有 2 个， 则小莹与小芳打第一场的概率为 = 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数 之比 19小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC，并测得 B，C 两点的俯角分 别为 45，35 已知大桥 BC 与地面在同一水平面上，其长度为 100m，请求出热气球离地 面的
34、高度 （结果保留整数） （参考数据：sin35 ，cos35 ，tan35 ） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】作 ADBC 交 CB 的延长线于 D，设 AD 为 x，表示出 DB 和 DC，根据正切的概 念求出 x 的值即可 【解答】解：作 ADBC 交 CB 的延长线于 D，设 AD 为 x， 由题意得，ABD=45，ACD=35， 第 19 页（共 25 页） 在 RtADB 中， ABD=45， DB=x， 在 RtADC 中， ACD=35， tanACD= ， = ， 解得，x233m 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函
35、数 的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形 20如图，已知 AB 是 O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切O 于点 D，过点 B 作 BE 垂直于 PD，交 PD 的延长线于点 C，连接 AD 并延长，交 BE 于点 E （1）求证：AB=BE； （2）若 PA=2，cosB= ，求 O 半径的长 【考点】切线的性质；解直角三角形 【分析】 （1）本题可连接 OD，由 PD 切O 于点 D，得到 ODPD，由于 BEPC，得到 ODBE，得出 ADO=E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果； （2）由（1）知，ODBE，得到 POD=B，根据三角函数的定
36、义即可得到结果 【解答】 （1）证明：连接 OD， PD 切 O 于点 D， ODPD， BEPC， ODBE， ADO=E， OA=OD， OAD=ADO， OAD=E， AB=BE； 第 20 页（共 25 页） （2）解：有（1）知，ODBE ， POD=B， cosPOD=cosB= ， 在 RtPOD 中，cos POD= = ， OD=OA，PO=PA+OA=2+OA， ， OA=3， O 半径 =3 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确 的画出辅助线是解题的关键 21某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进
37、行试 销据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元， 每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本 （1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，且每天的总成本不超过 7000 元，那 么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本每天的销售量） 【考点】二次函数的应用 【专题】销售问题 【分析】 （1）根据“利润= （售价 成本）销售量”列出方程； （2）把（1）中的二次函数解析式
38、转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答； （3）把 y=4000 代入函数解析式，求得相应的 x 值；然后由“每天的总成本不超过 7000 元” 列出关于 x 的不等式 50（5x+550）7000，通过解不等式来求 x 的取值范围 【解答】解：（1）y=（x 50）50+5 =（x50 ） （5x+550 ） =5x2+800x27500 第 21 页（共 25 页） y=5x2+800x27500（50 x100） ； （2）y= 5x2+800x27500 =5（x80） 2+4500 a=50， 抛物线开口向下 50x100，对称轴是直线 x=80， 当 x=80 时，y 最
39、大值 =4500； （3）当 y=4000 时， 5（x80） 2+4500=4000， 解得 x1=70，x 2=90 当 70x90 时，每天的销售利润不低于 4000 元 由每天的总成本不超过 7000 元，得 50（5x+550）7000， 解得 x82 82x90， 50x100， 销售单价应该控制在 82 元至 90 元之间 【点评】本题考查二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问 题 22如图，直线 y=x+3 与 x 轴，y 轴分别相交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一交点为 A，点 A 在点 B 的左边，顶点
40、为 P，且线段 AB 的长为 2 （1）求点 A 的坐标； （2）求该抛物线的函数表达式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 G，使|GCGB|最大？若存在，求 G 点坐标；若不存 在说明理由 （3）连结 AC，请问在 x 轴上是否存在点 Q，使得以点 P，B，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 第 22 页（共 25 页） 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）求值直线 y=x+3 与 x 轴的交点 B，然后根据 AB 的长，即可求得 OA 的长， 则 A 的坐标即可求得； （2）利用待定系数法求得二次函数的解析式； （3）由于 A、B
41、两点关于抛物线的对称轴即直线 x=2 对称，所以 G 点为直线 CA 与直线 x=2 的交点，先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式，再令 x=2，求出 y 的值，进而得出 G 点坐标； （4）分成 = ，PBQ=ABC=45和 = ，QBP=ABC=45 两种情况求得 QB 的长， 据此即可求解 【解答】解：（1）当 y=0 时，x+3=0，解得 x=3，即 B（3，0） ， 由 AB=2，得 32=1， A 的坐标为（1，0） ； （2）根据题意得： ， 解得： ， 则抛物线的解析式是：y=x 24x+3； （3）延长 CA，交对称轴于点 G，连接 GB，则|GC GB|=GCGA=AC
42、 最大 抛物线 y=x24x+3 与 x 轴交于点 A、点 B（3，0） ，且对称轴为直线 x=2， 点 A 的坐标为（1，0） 设直线 AC 的解析式为 y=kx+m， A（ 1， 0） ，C（0，3） ， ， 解得 ， 第 23 页（共 25 页） y=3x+3， 当 x=2 时，y=32+3= 3， G 点坐标为（2， 3） ； （4）当 = ，PBQ=ABC=45时，PBQABC 即 = BQ=3， 又 BO=3， 点 Q 与点 O 重合， Q1 的坐标是（0，0） 当 = ， QBP=ABC=45时，QBPABC 即 = ， QB= OB=3， OQ=OBQB=3 = Q2 的坐标是（ ，0） PBx=18045=135，BAC135， PBxBAC 点 Q 不可能在 B 点右侧的 x 轴上 综上所述，在 x 轴上存在两点 Q1（0，0） ，Q 2（ ，0） 【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数 的解析式，相似三角形的判定与性质，正确进行分类求得 QB 的长是关键 第 24 页（共 25 页） 第 25 页（共 25 页） 2016 年 3 月 6 日
