1、山东省潍坊市昌乐县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，满分 36 分.多选、不选、错选均记零分.） 1关于 x 的方程（a1）x 2+ x+1=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba 1 且 a1 Ca 1 且 a1 Da 为任意实数 2给出下列命题： 垂直于弦的直线平分弦； 平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 相等的弦所对的圆心角相等； 等弧所对的圆心角相等； 其中正确的命题有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 3若抛物线 y=x22x+c 与 y 轴的交点为（0， 3） ，则下列说法不正确的是（ ） A抛物线开
2、口向上 B抛物线的对称轴是 x=1 C当 x=1 时，y 的最大值为 4 D抛物线与 x 轴的交点为（ 1，0） ， （3，0） 4如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，E 是 BC 延长线上的一点，已知BOD=100 ，则 DCE 的度数为（ ） A40 B60 C50 D80 5已知O 的直径为 8cm，P 为直线 l 上一点，OP=4cm，那么直线 l 与O 的公共点有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 6 O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=6cm，EB=2cm， CEA=30，则弦 CD 的长为（ ） A8cm B4cm C2 D2 7
3、已知直线 y1=2x+6 与双曲线 y2= 在同一坐标系的交点坐标是（ 1，4）和（2，2） ，则当 y1y 2 时，x 的取值范围是（ ） Ax0 或 1x2 Bx 1 C0x1 或 x0 Dx2 8某变阻器两端的电压为 220 伏，则通过变阻器的电流 I（A ）与它的电阻 R（）之间的函数关 系的图象大致为（ ） A B C D 9若一个直角三角形的两边分别为 6 和 8，则这个直角三角形外接圆直径是（ ） A8 B10 C5 或 4 D10 或 8 10如图，E 是ABC 的内心，若 BEC=130，则 A 的度数是（ ） A60 B80 C50 D75 11在下列网格中，小正方形的边长
4、均为 1，点 A，B，O 都在格点上，则 A 的正弦值是（ ） A B C D 12抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 D（ 1，2） ，与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0）和（ 2，0）之间， 其部分图象如图，则以下结论： b24ac0； a+b+c0； ca=2；方程 ax2+bx+c2=0 有两个相等的实数根 其中正确结论的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题 3 分，满分 18 分） 13方程（x+1） 24（x+1）=5 的解是 14有长 24m 的篱笆，一面利用长为 12m 的围墙围成如图所示中间隔有一道篱笆的矩形花圃设 花圃垂直于墙的一
5、边长为 xm，面积为 Sm2则 S 与 x 的函数关系式是 ，x 的取值范 围为 15如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角BAE=30，高 DE=2m，为方便残疾人士，拟将台阶 改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 BC 的坡度 i=1：5，则 AC 的长度 是 16若 A（4，y l） ，B （3，y 2） ，C（1，y 3）为二次函数 y=x2+4x5 的图象上的三点，则 yl，y 2，y 3 的大小关系是 （用号连接） 17抛物线的顶点为 P（ 2，2） ，与 y 轴交于点 A（0，3） ，若平移该抛物线使其顶点移动到点 P1（2，2） ，那么得到的新抛物线的一般
6、式是 18已知O 的半径是 rcm，则其圆内接正六边形的面积是 cm 2 三、解答题（本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.共 66 分） 19已知反比例函数 y1= 的图象与一次函数 y2=2kx+b 的图象交于点 A（1， 2）和点 B，将ABO 绕点 O 沿逆时针方向旋转 90得到 A1B1O （1）求 k、b 的值和点 B 的坐标 （2）求AB 1O 的面积 20如图，以ABC 的 BC 边上的一点 O 为圆心的圆，经过 A，B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，AC=FC （1）求证：AC 是 O 的切线
7、； （2）已知圆的半径 R=4，EF=3，求 sinC 的值 21已知在ABC 中， ABC=90，AB=3，BC=4 点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图 2）于点 P （1）当点 P 在线段 AB 上时，求证：AQP ABC； （2）当PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长 22已知关于 x 的二次函数 y=x22（m 1）xm （m+2） （1）试说明：该抛物线与 x 轴总有两个交点； （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点间的距离|x 1x2|=6，且与 y 轴交于负半轴，试求其解析式 23如图，在ABC 中，
8、AB=AC ，以 AB 为半径的O 交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，过点 D 作 O 的切线 DF，交 AC 于点 F （1）求证：DF AC； （2）若 CE=2， CD=3，求 AB 的长； （3）若O 的半径为 4，CDF=22.5 ，求阴影部分的面积 24某加油站销售一批柴油，平均每天可售出 20 桶，每桶盈利 40 元，为了支援我市抗旱救灾，加 油站决定采取降价措施经市场调研发现：如果每桶柴油降价 1 元，加油站平均每天可多售出 2 桶 （1）假设每桶柴油降价 x 元，每天销售这种柴油所获利润为 y 元，求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）每桶柴油降价多少元后出售，农机
9、服务站每天销售这种柴油可获得最大利润？此时，与降价 前比较，每天销售这种柴油可多获利多少元？ （3）请分析并回答该种柴油降价在什么范围内，加油站每天的销售利润不低于 1200 元？ 山东省潍坊市昌乐县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，满分 36 分.多选、不选、错选均记零分.） 1关于 x 的方程（a1）x 2+ x+1=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba 1 且 a1 Ca 1 且 a1 Da 为任意实数 【考点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0） ，以及二
10、次根式有意义的条件是： 被开方数是非负数，即可求解 【解答】解：根据题意得： ， 解得：a1 且 a1 故选 C 【点评】考查了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元 二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0） 特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽 视的知识点 2给出下列命题： 垂直于弦的直线平分弦； 平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 相等的弦所对的圆心角相等； 等弧所对的圆心角相等； 其中正确的命题有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【考点】命题与定理 【分析】根据垂径定理和圆心角、弧、弦之间的关系定理进
11、行判断即可 【解答】解：垂直于弦的直径平分弦，错误； 平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，错误； 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，错误； 等弧所对的圆心角相等，正确； 故选：D 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握垂径 定理及其推论和圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键 3若抛物线 y=x22x+c 与 y 轴的交点为（0， 3） ，则下列说法不正确的是（ ） A抛物线开口向上 B抛物线的对称轴是 x=1 C当 x=1 时，y 的最大值为 4 D抛物线与 x 轴的交点为（ 1，0） ， （3，0） 【考点】二次
12、函数的性质 【分析】A 根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向 B 利用 x= 可以求出抛物线的对称轴 C 利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值 D 当 y=0 时求出抛物线与 x 轴的交点坐标 【解答】解：抛物线过点（0，3） ， 抛物线的解析式为：y=x 22x3 A、抛物线的二次项系数为 10，抛物线的开口向上，正确 B、根据抛物线的对称轴 x= = =1，正确 C、由 A 知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当 x=1 时，y 的最小值为4，而不是最大 值故本选项错误 D、当 y=0 时，有 x22x3=0，解得：x 1=1，x 2=3，抛物线与 x
13、轴的交点坐标为（1，0） ， （3，0） 正确 故选 C 【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据 a 的正负确定抛物线的开口方向，利用顶点坐标公式 求出抛物线的对称轴和顶点坐标，确定抛物线的最大值或最小值，当 y=0 时求出抛物线与 x 轴的交 点坐标 4如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，E 是 BC 延长线上的一点，已知BOD=100 ，则 DCE 的度数为（ ） A40 B60 C50 D80 【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【分析】根据圆周角定理，可求得A 的度数；由于四边形 ABCD 是O 的内接四边形，根据圆内 接四边形的性质，可得DCE= A，由此可求得 DCE
14、 的度数 【解答】解：BOD=100 ， A=50， 四边形 ABCD 内接于O， DCE=A=50故选 C 【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质以及圆周角定理的应用 5已知O 的直径为 8cm，P 为直线 l 上一点，OP=4cm，那么直线 l 与O 的公共点有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】根据垂线段最短，得圆心到直线的距离小于或等于 4cm，再根据数量关系进行判断若 dr，则直线与圆相交；若 d=r，则直线与圆相切；若 d r，则直线与圆相离；即可得出公共点的 个数 【解答】解：根据题意可知，圆的半径 r=4cm OP=4c
15、m， 当 OPl 时，直线和圆是相切的位置关系，公共点有 1 个； 当 OP 与直线 l 不垂直时，则圆心到直线的距离小于 4cm，所以是相交的位置关系，公共点有 2 个 直线 L 与O 的公共点有 1 个或 2 个， 故选：D 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系特别注意 OP 不一定是圆心到直线的距离 6 O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=6cm，EB=2cm， CEA=30，则弦 CD 的长为（ ） A8cm B4cm C2 D2 【考点】垂径定理；含 30 度角的直角三角形；勾股定理 【专题】压轴题 【分析】先过点 O 作 OMCD，连结 OC，AE=6cm，
16、EB=2cm，求出 AB，再求出 OC、OB、OE ， 再根据CEA=30，求出 OM= OE= 2=1，根据 CM= ，求出 CM，最后根据 CD=2CM 即可得出答案 【解答】解：过点 O 作 OMCD，连结 OC， AE=6cm，EB=2cm， AB=8cm， OC=OB=4cm， OE=42=2（cm） ， CEA=30， OM= OE= 2=1（cm） ， CM= = = ， CD=2CM=2 故选：C 【点评】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、30角的直角三角形，关键 是根据题意做出辅助线，构造直角三角形 7已知直线 y1=2x+6 与双曲线 y2= 在同一坐标
17、系的交点坐标是（ 1，4）和（2，2） ，则当 y1y 2 时，x 的取值范围是（ ） Ax0 或 1x2 Bx 1 C0x1 或 x0 Dx2 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】根据直线 y1=2x+6 与双曲线 y2= 在同一坐标系的交点坐标，即可得到结论 【解答】解：直线 y1=2x+6 与双曲线 y2= 在同一坐标系的交点坐标是（1，4）和（2，2） ， 当 y1 y2 时，直线在双曲线上面， 当 y1 y2 时，x 的取值范围是 x0 或 1x2， 故选 A 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解答此题的关键是利用数形结合求出 x 的取值范围 8某变阻器
18、两端的电压为 220 伏，则通过变阻器的电流 I（A ）与它的电阻 R（）之间的函数关 系的图象大致为（ ） A B C D 【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象 【专题】应用题 【分析】根据物理公式：IR=220，可得 I= （I 0，R0） ，故函数图象为双曲线在第一象限的 部分 【解答】解：依题意，得 IR=220， I= （I 0，R0） ， 函数图象为双曲线在第一象限的部分 故选 D 【点评】本题考查了反比例函数的实际应用关键是建立函数关系式，明确自变量的取值范围 9若一个直角三角形的两边分别为 6 和 8，则这个直角三角形外接圆直径是（ ） A8 B10 C5 或 4 D10
19、 或 8 【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理 【分析】本题应分两种情况进行讨论，当 8 是直角边时，根当 8 是斜边时，分别求出即可 【解答】解：当 8 是直角边时，斜边是 10，这个直角三角形外接圆直径是 10； 当 8 是斜边时，直角三角形外接圆直径是 8 故选 D 【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点 为圆心，斜边长是圆的直径 10如图，E 是ABC 的内心，若 BEC=130，则 A 的度数是（ ） A60 B80 C50 D75 【考点】三角形的内切圆与内心 【分析】利用内心的性质得出ABE= EBC， ACE=ECB，进而利用三
20、角形内角和定理得出 EBC+ECB=50，进而求出答案 【解答】解：E 是ABC 的内心， ABE=EBC，ACE=ECB， BEC=130， EBC+ECB=50， ABC+ACB=100， A=180100=80 故选：B 【点评】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出ABC+ACB=的度 数是解题关键 11在下列网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，O 都在格点上，则 A 的正弦值是（ ） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义 【专题】网格型 【分析】运用勾股定理求出斜边长，根据正弦的定义计算即可 【解答】解：由题意得，OC=2，AC=4 ， 则 AO=
21、 =2 ， sinA= = = ， 故选：C 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为 邻边比斜边，正切为对边比邻边 12抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 D（ 1，2） ，与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0）和（ 2，0）之间， 其部分图象如图，则以下结论： b24ac0； a+b+c0； ca=2；方程 ax2+bx+c2=0 有两个相等的实数根 其中正确结论的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点 【专题】数形结合 【分析】由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b2
22、4ac0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直 线 x=1，则根据抛物线的对称性得抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以 当 x=1 时，y0，则 a+b+c0；由抛物线的顶点为 D（1，2）得 ab+c=2，由抛物线的对称轴为直 线 x= =1 得 b=2a，所以 ca=2；根据二次函数的最大值问题，当 x=1 时，二次函数有最大值为 2，即只有 x=1 时，ax 2+bx+c=2，所以说方程 ax2+bx+c2=0 有两个相等的实数根 【解答】解：抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，所以错误； 顶点为 D（ 1，2） ， 抛物线的对称轴为直线 x=1，
23、抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点（ 3，0）和（2，0）之间， 抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间， 当 x=1 时，y0， a+b+c0，所以正确； 抛物线的顶点为 D（ 1，2） ， ab+c=2， 抛物线的对称轴为直线 x= =1， b=2a， a2a+c=2，即 ca=2，所以 正确； 当 x=1 时，二次函数有最大值为 2， 即只有 x=1 时，ax 2+bx+c=2， 方程 ax2+bx+c2=0 有两个相等的实数根，所以 正确 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象为抛物线， 当 a0，抛物
24、线开口向上；对称轴为直线 x= ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c） ；当 b24ac0，抛物线与 x 轴有两个交点；当 b24ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b24ac0，抛物 线与 x 轴没有交点 二、填空题（每小题 3 分，满分 18 分） 13方程（x+1） 24（x+1）=5 的解是 x 1=4，x 2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：（x+1） 24（x+1）=5， （x+1） 24（x+1）5=0， （x+15 ） （x+1+1）=0 ， x+15=0，x+1+1=0， x1=4
25、，x 2=2， 故答案为：x 1=4，x 2=2 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关 键 14有长 24m 的篱笆，一面利用长为 12m 的围墙围成如图所示中间隔有一道篱笆的矩形花圃设 花圃垂直于墙的一边长为 xm，面积为 Sm2则 S 与 x 的函数关系式是 S=（24 3x）x ，x 的取值 范围为 4x 8 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【分析】设花圃垂直于墙的一边长为 xm，则平行于墙的一边长为：（24 3x）m，该花圃的面积为： （243x ）x；进而得出函数关系，再根据 3x24，24 3x12 解出 x 的取值范围 【解
26、答】解：由题意得：S=（243x）x， 围墙长 12m， 243x12， 解得：x4， 3x24 ， x 8， 4x8， 故答案为：S=（243x）x；4 x8 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，表示出篱笆的长 和宽 15如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角BAE=30，高 DE=2m，为方便残疾人士，拟将台阶 改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 BC 的坡度 i=1：5，则 AC 的长度 是 （102 ） m 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】过点 B 作 BFCE 于点 F，分别根据BAE=30，斜坡 BC 的
27、坡度 i=1：5，在 RtABF 和 RtBCF 中求出 AF、CF 的长度，然后求出 AC 的长度 【解答】解：如图，过点 B 作 BFCE 于点 F， 则 BF=DE=2m， 在 RtABF 中， BAE=30， AF= = =2 （m） ， 在 RtBCF 中， BF：CF=1：5， CF=52=10， 则 AC=CFAF=（10 2 ）m 故答案为：（102 ）m 【点评】本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识 求解，注意理解坡度与坡角的定义 16若 A（4，y l） ，B （3，y 2） ，C（1，y 3）为二次函数 y=x2+4x5 的图象上
28、的三点，则 yl，y 2，y 3 的大小关系是 y 2y 1y 3 （用号连接） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【专题】计算题 【分析】将二次函数 y=x2+4x5 配方，求对称轴，再根据 A、B 、C 三点与对称轴的位置关系，开 口方向判断 yl，y 2，y 3 的大小 【解答】解：y=x 2+4x5=（x+2 ） 29， 抛物线开口向上，对称轴为 x=2， A、 B、C 三点中，B 点离对称轴最近，C 点离对称轴最远， y2 y1y 3 故本题答案为：y 2y 1y 3 【点评】本题考查了二次函数的增减性当二次项系数 a0 时，在对称轴的左边，y 随 x 的增大而 减小，在对称轴的右
29、边，y 随 x 的增大而增大；a0 时，在对称轴的左边，y 随 x 的增大而增大， 在对称轴的右边，y 随 x 的增大而减小 17抛物线的顶点为 P（ 2，2） ，与 y 轴交于点 A（0，3） ，若平移该抛物线使其顶点移动到点 P1（2，2） ，那么得到的新抛物线的一般式是 y= x2x1 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的 抛物线解析式 【解答】解：抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 P（ 2，2） ， y=a（ x+2） 2+2， 与 y 轴交于点 A（0，3） ， 3=a（ 0+2） 2+2，解得
30、a= ， 原抛物线的解析式为：y= （x+2 ） 2+2， 平移该抛物线使其顶点移动到点 P1（2，2） ， 新抛物线的解析式为 y= （ x2） 22， 即 y= x2x1 故答案为 y= x2x1 【点评】本题考查了运用待定系数法求抛物线的解析式，图象平移的规律，二次函数图象上点的坐 标特征，难度适中 18已知O 的半径是 rcm，则其圆内接正六边形的面积是 r2 cm 2 【考点】正多边形和圆 【分析】设 O 是正六边形的中心， AB 是正六边形的一边，OC 是边心距，则OAB 是正三角形， OAB 的面积的六倍就是正六边形的面积 【解答】解：如图所示： 设 O 是正六边形的中心，AB
31、是正六边形的一边，OC 是边心距， AOB=60，OA=OB=rcm ， 则OAB 是正三角形， AB=OA=rcm， OC=OAsinA=r = r（cm） ， SOAB=ABOC= r = r2（cm 2） ， 正六边形的面积=6 = r2（cm 2） 故答案为： r2 【点评】本题考查的正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；理解正六边形被 半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键 三、解答题（本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.共 66 分） 19已知反比例函数 y1= 的图象与一次函数 y2=2kx+b 的图象交于点 A（1， 2）和点 B，将
32、ABO 绕点 O 沿逆时针方向旋转 90得到 A1B1O （1）求 k、b 的值和点 B 的坐标 （2）求AB 1O 的面积 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化-旋转 【分析】 （1）把 A（1，2）代入反比例函数 y1= 与一次函数 y2=2kx+b 即可求得 k、b，然后联立 解析式，解方程即可求得 B 的坐标； （2）根据待定系数法求得直线 AB1 的解析式，从而求得与 x 轴的交点，进而根据 S =S +SAOC 即可求得 【解答】解：（1）反比例函数 y1= 的图象与一次函数 y2=2kx+b 的图象交于点 A（1，2）和点 B， 2= ，2= 2k+b，解得 k
33、=2， b=6； 解方程组 得： 或 ， B（ ，4） ； （2）由题意可知：点 B1（4 ， ） ， 设直线 AB1 的解析式为：y=mx+n（m0） ， ，解得 直线 AB1 的解析式为： y= x ， 令 y=0，则 x =0，解得 x= ， 与 x 轴的交点为 C（ ，0） ， S =S +SAOC= 2+ = 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形的变换旋转，待定系数法求 得解析式，然后求得交点 B 的坐标是解题的关键 20如图，以ABC 的 BC 边上的一点 O 为圆心的圆，经过 A，B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 A
34、D 交 BC 于 F，AC=FC （1）求证：AC 是 O 的切线； （2）已知圆的半径 R=4，EF=3，求 sinC 的值 【考点】切线的判定；直角三角形的性质；勾股定理 【专题】计算题；证明题；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用 【分析】 （1）作辅助线；证明OAC=90，即可解决问题； （2）在 RtOAC 中，根据勾股定理求出 AC=FC 的长，即可得 OC，再由正弦定义可得结果 【解答】 （1）证明：如图，连接 OA、OD OA=OD，AC=FCOAD=ODA，CAD=AFC=OFD ， OAD+CAD=ODA+OFD， OAD+CAD=90， 又 OA 是 0 的半径， A
35、C 是0 的切线 （2）解：圆的半径 R=4，EF=3OF=1， 在 RtOAC 中，设 AC=x，则 AC=FC=x，OC=x+1， OC2=OA2+AC2 即（x+1 ） 2=16+x2 解得： ， sinC= 【点评】本题题主要考查圆的切线的判定、勾股定理、正弦函数等几何知识点及其应用问题，解题 的关键是作辅助线，灵活运用切线的判定是关键 21已知在ABC 中， ABC=90，AB=3，BC=4 点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图 2）于点 P （1）当点 P 在线段 AB 上时，求证：AQP ABC； （2
36、）当PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长 【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理 【专题】压轴题 【分析】 （1）由两对角相等（APQ=C，A= A） ，证明AQPABC； （2）当PQB 为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论 （I）当点 P 在线段 AB 上时，如题图 1 所示由三角形相似（AQPABC）关系计算 AP 的长； （II）当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图 2 所示利用角之间的关系，证明点 B 为线段 AP 的中点，从而可以求出 AP 【解答】 （1）证明：PQ AQ， AQP=90=ABC， 在APQ 与ABC 中，
37、 AQP=90=ABC，A=A ， AQPABC （2）解：在 RtABC 中，AB=3，BC=4，由勾股定理得： AC=5 QPB 为钝角， 当 PQB 为等腰三角形时， （I）当点 P 在线段 AB 上时，如题图 1 所示 QPB 为钝角， 当 PQB 为等腰三角形时，只可能是 PB=PQ， 由（1）可知，AQP ABC， ，即 ，解得：PB= ， AP=ABPB=3 = ； （II）当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图 2 所示 QBP 为钝角， 当 PQB 为等腰三角形时，只可能是 PB=BQ BP=BQ，BQP= P， BQP+AQB=90，A+P=90， AQB=A， BQ
38、=AB， AB=BP，点 B 为线段 AP 中点， AP=2AB=23=6 综上所述，当PQB 为等腰三角形时，AP 的长为 或 6 【点评】本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大第（2）问中，当PQB 为等腰 三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解 22已知关于 x 的二次函数 y=x22（m 1）xm （m+2） （1）试说明：该抛物线与 x 轴总有两个交点； （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点间的距离|x 1x2|=6，且与 y 轴交于负半轴，试求其解析式 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】计算题；判别式法；二次函数图象及其性质 【分析】 （1）根据=b 24ac
39、 的值与 0 的大小情况，可判断抛物线与 x 轴交点情况； （2）由韦达定理知 x1+x2=2（m 1） ，x 1x2=m（m+2） ，又|x 1x2|= =6，可 得关于 m 的方程，进而得到 m 的值，确定解析式 【解答】解：（1）令 x22（ m1）xm （m 2）=0， =4（m 1） 2+4m（m+2 ）=8m 2+40， 方程 x22（m 1）xm（m 2） =0 总有两个不相等的实数根， 即该抛物线与 x 轴总有两个交点 （2）设该抛物线与 x 轴的两交点坐标为（x 1，0） ， （x 2，0） ， 由题意得：|x 1x2|=6， x1+x2=2（m1） ，x 1x2=m（m+2
40、） ， |x1x2|= = = =6， 解得：m 1=2， m2=2， 抛物线与 y 轴交于负半轴， m（m+2）0， m=2， 其解析式为：y=x 22x8 【点评】本题主要考查二次函数图象与 x 轴交点情况的确定、韦达定理的应用能力，属中档题 23如图，在ABC 中，AB=AC ，以 AB 为半径的O 交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，过点 D 作 O 的切线 DF，交 AC 于点 F （1）求证：DF AC； （2）若 CE=2， CD=3，求 AB 的长； （3）若O 的半径为 4，CDF=22.5 ，求阴影部分的面积 【考点】切线的性质；扇形面积的计算 【分析】 （1）利用圆周
41、角定理得出 ADBC，再利用三角形中位线的判定与性质得出 ODAC，进 而得出 DFOD，进而得出 DFAC； （2）首先证明ACD BCE，再利用相似三角形的性质得出 AC 的长，进而得出答案； （3）利用 S 阴影 =S 扇形 AOESAOE 进而求出答案 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 AD、OD AB 为O 的直径， ADBC， 又 AB=AC， 点 D 是 BC 的中点， 点 O 是 AB 的中点， OD 是 ABC 的中位线，ODAC， DF 是 O 的切线，OD 是过切点的半径， DFOD， DFAC； （2）解：如图 2，连接 BE AB 为的直径， BEAC， 又 AD
42、BC， ADC=BEC=90， 而C= C， ACDBCE， = ， = ， 解得：AC=9， AB=AC=9； （3）解：如图 3，连接 OE， 在 RtCDF 中，CDF=22.5， C=67.5， ABC=C=67.5，A=45， OA=OE， AOE=90， S 阴影 =S 扇形 AOESAOE= = 【点评】此题主要考查了切线的性质以及扇形面积求法以及相似三角形的判定与性质等知识，正确 得出ACD BCE 是解决问题（2）的关键 24某加油站销售一批柴油，平均每天可售出 20 桶，每桶盈利 40 元，为了支援我市抗旱救灾，加 油站决定采取降价措施经市场调研发现：如果每桶柴油降价 1
43、元，加油站平均每天可多售出 2 桶 （1）假设每桶柴油降价 x 元，每天销售这种柴油所获利润为 y 元，求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）每桶柴油降价多少元后出售，农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润？此时，与降价 前比较，每天销售这种柴油可多获利多少元？ （3）请分析并回答该种柴油降价在什么范围内，加油站每天的销售利润不低于 1200 元？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）根据每桶柴油的利润乘以销售量等于销售利润，可以得到 y 与 x 的函数关系式； （2）根据二次函数的性质，用顶点式表示二次函数，可以求出最大利用和降价数； （3）根据题意列方程即可得到结论 【解答】解：
44、由题意得（1）y=（40x）=2x 2+60x+800； （2）y= 2x2+60x+800=2（x15） 2+1250， 当 x=15 时，y 有最大值 1250， 因此，每桶柴油降价 15 元后出售，可获得最大利润12504020=450， 因此，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利 450 元； （3）令 y=1200 元，则 2x2+60x+800=1200， 解得：x 1=10，x 2=20， 当 10x20 时， y1200（元） ， 即该柴油降价在 1020 元范围内时，加油站每天的销售利润不低于 1200 元 【点评】本题考查的是二次函数的应用，先根据销售量与每桶的利润求出 y 与 x 之间的二次函数， 然后利用二次函数的性质得到最大利润和对应的 x 的值
