1、北京市西城区 2010 届高三上学期期末抽样测试 数学试题（理） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。 第卷 （选择题， 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项。 1设全集 U=R，集合 , ，则集合 A CUB= （ ）02|xA1|xb A B10|x| C D2| |x 2下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ） A B C Dxeyxysin3yxy21log 3右图是一个几何体的三视图，则该几何体 的体积为 （ ） A6 B
2、8 C 16 D24 4若向量 ， 满足 ，且 +ab1|ab = ，则向量 ， 的夹角为（ ）23 A30 B45 C60 D 90 5关于直线 ， 及平面 ，下列命题中正确的是 （ ）lm A若 l， =m，则 lm B若 ，m，则 m C若 l ，l，则 D若 l，m l ，则 m 6执行右图所示的程序，输出的结果为 48，对判断框 中应填入的条件为 （ ） A 4i B C 6 D i 7已知 ，设 ， ， ，则 （ ）10babx1logbya1logzzl A Bzxy x C D y 8若椭圆或双曲线上存在点 P，使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2：1，则称此椭圆或双 曲线存
3、在“F 点 ”，下列曲线中存在“F 点”的是 （ ） A B1562yx 425yx C D 2 1 第卷（非选择题，共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9设 是虚数单位，则 。i 31i 10 的展开式中的常数项为 。52)3(x 11若直线 与圆 相切，则 。0y0122axya 12在 ABC 中， ， ， 分别是三个内角 A，B，C 的对边，若 ， ，abc 12b ，则 。31cosBAsin 13将编号为 1、2、3 的三个小球，放入编号为 1、2 、3、4 的四个盒子中 如果每个盒子中最多放一个球，那么不同的放球方法有 种； 如果 4
4、 号盒子中至少放两个球，那么不同的放球方法有 种。 14无穷等差数列 的各项均为整数，首项为 、公差为 ， 是其前 项和，na1adnS 3、21、15 是其中的三项，给出下列命题； 对任意满足条件的 ，存在 ，使得 99 一定是数列 中的一项；d1an 对任意满足条件的 ，存在 ，使得 30 一定是数列 中的一项；a 存在满足条件的数列 ，使得对任意的 N ， 成立。n*nS42 其中正确命题为 。 （写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 .12cos3)sin(co
5、) xxxf （1）求 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求 在区间 上的最大值和最小值。)(xf2,0 16 （本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，M、N 分别为 PA、BC 的中点， PD 平面 ABCD，且 PD=AD= ，CD=12 （1）证明：MN 平面 PCD； （2）证明：MC BD； （3）求二面角 APBD 的余弦值。 17 （本小题满分 13 分） 已知数列 的前 项和 ，数列 为等比数列，且满足 ，na)(*2NnSnb1ab432b （1）求数列 ， 的通项公式；n （2）求数列 的前 项和。a 18 （本小题满分 1
6、3 分） 设 ，函数 .0a xaxf ln)1(2)( （1）若曲线 在 处切线的斜率为-1，求 的值；y,f a （2）求函数 的极值点)(xf 19 （本小题满分 14 分） 已知抛物线 ，直线 与 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点。xyC4:2bkxyl: （1）当 ，且直线 过抛物线 C 的焦点时，求 的值；kl | （2）当直线 OA，OB 的倾斜角之和为 45时，求 ， 之间满足的关系式，并证明直线 过定点。l 20 （本小题满分 14 分） 已知曲线 ，过 C 上一点 作斜率 的直线，交曲线 于另一点1:xy),(1yxA1kC ，再过 作斜率为 的直线，交曲线 C 于另
7、一点 ，),(2A),(22 ),(3yxA 过 作斜率为 的直线，交曲线 C 于另一点 ，其中 ，nyxnk ),(11nnyx1)(41*2Nknn （1）求 与 的关系式；1x （2）判断 与 2 的大小关系，并证明你的结论；n （3）求证： .2|.|21 nxx 参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B C C A D D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9 10 112 12i21 32 13 24， 10 14 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分。若
8、考生的解法与本解法不同，正确者可参照评 分标准给分。 ） 15 （本小题满分 13 分） 解：（1） 2 分xxxf 2cos3sin2)( 4 分co3sin 6 分)(2x 所以，函数 的最小正周期为 ， 7 分f 由 ， ，得 ， ，23kxZ12kxZ 所以，函数 图象的对称轴方程为 ， ， 9 分)(f k （2）因为 ，所以 10 分,0x34,x 所以 2 11 分3)3sin(2 所以， 在区间 上的最大值为 2，最小值为 13 分)xf, 3 16 （本小题满分 13 分） 解：（1）证明：取 AD 中点 E，连接 ME，NE， 由已知 M，N 分别是 PA，BC 的中点，
9、MEPD，NECD 又 ME，NE 平面 MNE， ME NE=E， 所以，平面 MNE平面 PCD， 2 分 所以，MN平面 PCD 3 分 （2）证明：因为 PD平面 ABCD， 所以 PDDA ，PDDC， 在矩形 ABCD 中，AD DC， 如图，以 D 为坐标原点， 射线 DA，DC，DP 分别为 轴、 轴、 轴来源 :xyz 正半轴建立空间直角坐标系 4 分 则 D（0 ，0，0 ） ，A（ ，0，0 ） ，2 B（ ，1，0） （0，1，0） ，2C P（0，0， ） 6 分 所以 （ ，0， ） ， ， 7 分M2)0,12(BD)2,1(MC =0，所以 MCBD 8 分CB
10、 （3 ）解：因为 MEPD ，所以 ME平面 ABCD，MEBD，又 BDMC ， 所以 BD 平面 MCE, 所以 CEBD ，又 CEPD，所以 CE平面 PBD， 9 分 由已知 ，所以平面 PBD 的法向量 10 分)0,2(E )0,12(EC M 为等腰直角三角形 PAD 斜边中点，所以 DMPA， 又 CD平面 PAD，ABCD，所以 AB平面 PAD，ABDM， 所以 DM平面 PAB， 11 分 所以平面 PAB 的法向量 （- ，0， ） 12 分MD2 设二面角 APBD 的平面角为 ， 则 .6|cosEC 所以，二面角 APBD 的余弦值为 . 13 分 17 （本
11、小题满分 13 分） 解：（1）由已知 ，得 1 分2nS11Sa 当 2 时， 3 分n 2)(nan 所以 5 分)(1*N 由已知， 11ab 设等比数列 的公比为 ，由 得 ，所以 7 分nq432b32q2 所以 8 分12 （2）设数列 的前 项和为 ，nbanT 则 ，122)(.531nnT ，3 两式相减得 10 分nnn 2)1(.212 n)1().2(11 11 分nn()41 12 分3( 所以 13 分2)nnT 18 （本小题满分 13 分） 解：（1）由已知 2 分0x 4 分axf)1()( 曲线 在 处切线的斜率为-1，所以 5 分fy2(,f 1)2(f
12、即 ，所以 6 分)(2a4a （2） 8 分xaxaxxf )(1)1()1()( 2 当 时，0a 当 时， ，函数 单调递增；),(0)(f)(f 当 时， ，函数 单调递减；1xxx 当 时， ，函数 单调递增。),()(f)(f 此时 是 的极大值点， 是 的极小值点 10 分ax1x 当 时，1a 当 时， 0，),0(x)(xf 当 时， ， 当 时，),1()(xf 所以函数 在定义域内单调递增，此时 没有极值点 11 分)(xf 当 时，来源:a 当 时， ，函数 单调递增；)1,0(x0)(xf)(f 当 时， ，函数 单调递减；x 当 时， ，函数 单调递增),(ax)(
13、xf)(f 此时 是 的极大值点，1 是 的极小值点 13 分x)(f 综上，当 时， 是 的极大值点， 是 的极小值点；0aax)(f1x)(f 当 时， 没有极值点；1)(f 当 时， 是 的极大值点， 是 的极小值点xfx)(f 19 （本小题满分 14 分） 解：（1）抛物线 的焦点为（1，0 ） 2 分xyC4:2 由已知 = ，设 ， ，l:x),(A),(2yB 联立 ，消 得 ，14 2yy0162x 所以 ， 4 分62x221211 )()()(| xyAB8422xx （2 ）联立 ，消 得 （*） （依题意 0）bkxy 2 042byk k ， ， 8 分ky421k
14、by21 设直线 OA， OB 的倾斜角分别为 ，斜率分别为 ， ，则 +=45，1k2 ， 9 分045tan)tan(121k 其中 ， ，代入上式整理得 )(416212yy11 分11yxk2 所以 ，即 ， 12 分b644kb 此时，使（* ）式有解的 ， 有无数组 直线 的方程为 ，整理得lxy 4)(yx 消去 ，即 时 恒成立，04x4k 所以直线 过定点（-4 ，4） 14 分l 20 （本小题满分 14 分） 解：（1）由已知过 斜率为 的直线为),(nyxAnx412 ，nyn412)(n 直线交曲线 C 于另一点 ,11nyxA 所以 = 2 分ny1n42)(1n 即 ， 0，nx1nx2)(1nnx1 所以 4 分)(4*Nn （2）解：当 为奇数时， ；当 n 为偶数时， 5 分2nx2nx 因为 ， 6 分来源:114nnnx 注意到 ，所以 与 异号0nx2nx1n 由于 ，所以 ，以此类推，1 当 时， ；)(2*Nknx 当 时， 8 分n2 （3）由于 ， ，0nx1341nnxx 所以 1 （ ，） 9 分n3,2 所以 10 分1|2|1nnnxx |2|nx 所以 12 分|n|1|2 112|nnx 所以 |.|2|1 nxx2)(.)( 14 分)(n 版权所有：高考资源网( )
