1、第 1 页（共 28 页） 2015-2016 学年山东省青岛市市南区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题 1下列标志是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列多项式能分解因式的是（ ） Ax 2+y2 Bx 2y2 C x2+2xyy2 Dx 2xy+y2 3若将分式 中的 a 与 b 的值都扩大为原来的 2 倍，则这个分式的值将（ ） A扩大为原来的 2 倍 B分式的值不变 C缩小为原来的 D缩小为原来的 4下列图形中不能单独进行镶嵌的是（ ） A等腰三角形 B平行四边形 C正五边形 D正六边形 5如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，EF，
2、HG，MN 都 过点 O，若阴影部分的面积和空白部分的面积分别记为 S1 和 S2，则 S1 与 S2 的大 小关系为（ ） AS 1=S2 BS 1S 2 CS 1 S2 D不能确定 6一副三角板叠在一起如图所示装置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角 三角板的斜边 AB 上，BC 与 DE 交于点 M若ADF=100，则BMD 为（ ） 第 2 页（共 28 页） A90 B95 C80 D85 7小朱要到距家 1500 米的学校上学，一天，小朱出发 10 分钟后，小朱的爸爸 立即去追小朱，并且在距离学校 60 米的地方追上了他已知爸爸比小朱的速度 快 100 米/ 分，求小朱的速度若设
3、小朱速度是 x 米/分，则根据题意所列方程 正确的是（ ） A =10 B =10+ C = +10 D =10 8如图，ABC 经过平移得到 DEF，其中 A 点（2，4）平移到 D 点（2，2） ， 则 B 点（a，b）平移后的对应点 E 的坐标是（ ） A （a +2，b） B （a+4，b 2） C （a+2，b 2） D （a +4，b+2） 二、填空题 9把多项式 4x2y2 分解因式的结果是 10如图，在ABC 中， C=90，A=15，斜边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，AE=10cm，则 BC= cm 第 3 页（共 28 页） 11解关于 x 的
4、方程 = 2 产生增根，则常数 m 的值等于 12如图，将等腰直角ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 60后得到AED，则EAC= 13如图，已知直线 y1=x+a 与 y2=kx+b 相交于点 P（1，2） ，则关于 x 的不等式 x+akx+b 的解集是 14如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=8，若将矩形折叠，使 B 点与 D 点重 合，则 AE 的长为 15如图，菱形 ABCD 中，AB=8，ABC=60 ，E 是 CD 的中点，在对角线 AC 有 一动点 P，在某个位置存在 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 16观察下列二次根式的化简 第 4 页（共 28 页） S1= =
5、1+ ， S2= + =（1 ）+（1 ） S3= + + =（1 ）+（1 ） +（1 ） 则 = 三、作图题 17用圆规直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：线段 a求作： 等腰ABC，使底边 BC=a，高 AD= a 四、解答题 18 （1）2x 3y8x2y2+8xy3 （2） （3）解方程： 2= （4）先化简，再求值：若 2x3y=0，求 的值 19ABC 中， AB=AC，D 是 BC 中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证： DE=DF 第 5 页（共 28 页） 20阳光中学计划利用暑假期间，组织部分老师外出学习，计划参加学习的人 数不少于 12 人，甲、乙两家旅
6、行社组织的学习和服务质量都相同，且费用每人 都是 600 元，甲旅行社给每位老师七五折优惠，乙旅行社免去 1 位老师的费用， 然后给予其余老师八折优惠该中学选择哪一家旅行社支付的费用较少？ 21已知：如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 边上的中点，过点 C 作 CF AB，交 DE 的延长线于 F 点，连接 CD、BF （1）求证：BDE CFE； （2）ABC 满足什么条件时，四边形 BDCF 是矩形？ 22一家蔬菜公司收购某种绿色蔬菜 140 吨，准备加工后进行销售，销售后获 利的情况如图所示 销售方式 粗加工后销 售 精加工后销 售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该
7、公司的加工能力是：粗加工每天加工该种蔬菜的重量是精加工的 3 倍， 但两种加工不能同时进行受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批 蔬菜全部加工后销售 （1）若要求 15 天刚好加工完 140 吨蔬菜，如果绿色蔬菜先精加工 20 吨，剩下 的再进行粗加工，正好按时完成，求精加工和粗加工每天各能加工的吨数 （2）若要求在 13 天的时间内，将 140 吨蔬菜全部加工完，并且两种加工方式 第 6 页（共 28 页） 都要有，先精加工后粗加工，问哪种分配加工时间（时间取整）的方案利润最 大，最大利润是多少？ 23 （1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三 角形分成了两
8、个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相 等，在此基础上我们可以继续研究：如图 1，AD BC，连接 AB，AC，BD，CD，则 SABC =SBCD 证明：分别过点 A 和 D，作 AFBC 于 FDE BC 于 E，由 ADBC ，可得 AF=DE，又因为 SABC = BCAF，S BCD = 所以 SABC =SBCD 由此我们可以得到以下的结论：像图 1 这样 （2）问题解决：如图 2，四边形 ABCD 中，ABDC，连接 AC，过点 B 作 BE AC，交 DC 延长线于点 E，连接点 A 和 DE 的中点 P，请你运用上面的结论 证明：S ABCD=SAPD （3
9、）应用拓展： 如图 3，按此方式将大小不同的两个正方形放在一起，连接 AF，CF，若大正方 形的面积是 80cm2，则图中阴影三角形的面积是 cm 2 24 （1）如图 1，已知ABC，以 AB，AC 为边向ABC 外做等边ABD 和等边 ACE，连接 BE，CD ，求证：BE=CD； （2）如图 2，已知ABC，以 AB，AC 为边向外作正方形 ABFD 和正方形 ACGE，连接 BE，CD ，BE 与 CD 有什么数量关系？简单说明理由； （3）运用（1） 、 （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 3，要测量池塘两岸相对的两点 B，E 的距离，已经测得 ABC=45 ， CAE
10、=90， AB=BC=60 米，AC=AE，求 BE 的长 第 7 页（共 28 页） 第 8 页（共 28 页） 2015-2016 学年山东省青岛市市南区八年级（下）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1下列标志是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴； 把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对 称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可 【解答】解：A、不是轴对称图形
11、，是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D 2下列多项式能分解因式的是（ ） Ax 2+y2 Bx 2y2 C x2+2xyy2 Dx 2xy+y2 【考点】因式分解的意义 【分析】因式分解的常用方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法等用 各种方法分别检验是否能够分解 【解答】解：A不能分解； Bx 2y2 =（ x2+y2） ，不能分解； C x2+2xyy2=（x 22xy+y2）=（xy） 2，故能够分解； 第 9 页（共 28 页
12、） D不能分解 故选 C 3若将分式 中的 a 与 b 的值都扩大为原来的 2 倍，则这个分式的值将（ ） A扩大为原来的 2 倍 B分式的值不变 C缩小为原来的 D缩小为原来的 【考点】分式的基本性质 【分析】依题意分别用 2a 和 2b 去代换原分式中的 a 和 b，利用分式的基本性 质化简即可 【解答】解：分别用 2a 和 2b 去代换原分式中的 a 和 b， 原式= = = = ， 可见新分式是原分式的 倍 故选 C 4下列图形中不能单独进行镶嵌的是（ ） A等腰三角形 B平行四边形 C正五边形 D正六边形 【考点】平面镶嵌（密铺） 【分析】根据镶嵌的条件，判断一种正多边形能否镶嵌，要
13、看周角 360能否被 一个内角度数整除：若能整除，则能进行平面镶嵌；若不能整除，则不能进行 平面镶嵌 【解答】解：A、正三边形的每个内角是 60，能整除 360，能密铺； B、平行四边形的内角和是 360，即能密铺； C、正五边形的每一个内角是 1803605=108，不能整除 360，所以不能密 铺； D、正六边形每个内角是 120 度，能整除 360，可以密铺 第 10 页（共 28 页） 故选 C 5如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，EF，HG，MN 都 过点 O，若阴影部分的面积和空白部分的面积分别记为 S1 和 S2，则 S1 与 S2 的大 小关系为
14、（ ） AS 1=S2 BS 1S 2 CS 1 S2 D不能确定 【考点】平行四边形的性质 【分析】根据平行四边形是中心对称图形寻找思路：AOG COH ， DOEBOF ，MOB DON 图中阴影部分的面积就是 BCD 的面积，据此得 到答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC，GAO= HCO，AOG=COH ， AOGCOH， 同理可得，DOEBOF ，MOB DON ， 图中阴影部分的面积就是BCD 的面积 S 1=S2， 故选 A 6一副三角板叠在一起如图所示装置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角 三角板的斜边 AB 上，BC 与 DE 交于点 M若ADF
15、=100，则BMD 为（ ） 第 11 页（共 28 页） A90 B95 C80 D85 【考点】等腰直角三角形 【分析】先求得MDB 的度数，然后在DBM 中依据三角形的内角和定理求解 即可 【解答】解：ADF=100，FDE=30， MDB=180100 30=50 又B=45， DMB=18045 50=85 故选：D 7小朱要到距家 1500 米的学校上学，一天，小朱出发 10 分钟后，小朱的爸爸 立即去追小朱，并且在距离学校 60 米的地方追上了他已知爸爸比小朱的速度 快 100 米/ 分，求小朱的速度若设小朱速度是 x 米/分，则根据题意所列方程 正确的是（ ） A =10 B
16、=10+ C = +10 D =10 【考点】由实际问题抽象出分式方程 【分析】设小朱速度是 x 米/分，根据小朱行的时间=小朱先出发的时间+爸爸行 的时间列出方程 【解答】解：设小朱速度是 x 米/分，爸爸的速度为（x+100）米/分，根据题意 得， =10+ 第 12 页（共 28 页） 故选：B 8如图，ABC 经过平移得到 DEF，其中 A 点（2，4）平移到 D 点（2，2） ， 则 B 点（a，b）平移后的对应点 E 的坐标是（ ） A （a +2，b） B （a+4，b 2） C （a+2，b 2） D （a +4，b+2） 【考点】坐标与图形变化平移 【分析】利用点 A 和它的
17、对应点 D 的坐标之间的关系得到平移的规律，然后利 用此平移规律得到 B 点的对应点 E 的坐标 【解答】解：A 点（2，4）先右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位得到 D 点（2，2） ， 所以 B 点（a，b）平移后的对应点 E 的坐标为（a +4，b2） 故选 B 二、填空题 9把多项式 4x2y2 分解因式的结果是 （2x+y） （2x y） 【考点】因式分解运用公式法 【分析】原式利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式=（2x+y） （2x y） ， 故答案为：（2x+y） （2xy） 10如图，在ABC 中， C=90，A=15，斜边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，
18、交 AC 于点 E，AE=10cm，则 BC= 5 cm 第 13 页（共 28 页） 【考点】线段垂直平分线的性质 【分析】连接 BE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AE=BE，根据等边对等角可得A=ABE，再根据三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和求出BEC=30，然后根据直角三角形 30角所对的直角边 等于斜边的一半求解即可 【解答】解：如图，连接 BE，DE 是线段 AB 的垂直平分线， AE=BE=10cm ， A=ABE=15， 由三角形的外角性质得，BEC=A +ABE=30， C=90， 在 RtBEC 中，BC= BE=5cm 故答案为：5 1
19、1解关于 x 的方程 = 2 产生增根，则常数 m 的值等于 m=2 【考点】分式方程的增根 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程， 可得关于 m 的方程，根据解方程，可得答案 【解答】解：两边都乘以（x1） ，得 3xm5=0， 由方程的增根是 x=2， 得 3m5=0 解得 m=2， 第 14 页（共 28 页） 故答案为：m=2 12如图，将等腰直角ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 60后得到AED，则EAC= 105 【考点】旋转的性质；等腰直角三角形 【分析】根据EAC=EAB+BAC，求出EAB 即可解决问题 【解答】解：ADE 是由ACB 绕顶点 A
20、 顺时针旋转 60 得到， EAB=60， BAC=45 ， EAC=EAB+BAC=60+45=105 故答案为 105 13如图，已知直线 y1=x+a 与 y2=kx+b 相交于点 P（1，2） ，则关于 x 的不等式 x+akx+b 的解集是 x 1 【考点】一次函数与一元一次不等式 第 15 页（共 28 页） 【分析】根据观察图象，找出直线 y1=x+a 在直线 y2=kx+b 上方所对应的自变量 的范围即可 【解答】解：当 x1 时，x+akx +b， 所以不等式 x+akx+b 的解集为 x 1 故答案为：x1 14如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=8，若将矩形折叠
21、，使 B 点与 D 点重 合，则 AE 的长为 3 【考点】翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质 【分析】由于折叠得到 BE=DE，设 AE=x，则 BE=DE=8x，根据勾股定理列方程 即可得到结论 【解答】解：折叠纸片使点 D 与点 B 重合， BE=DE， 设 AE=x，则 BE=DE=8x， AB 2+AE2=BE2，即 42+x2=（8x） 2 解得：x=3， AE=3， 故答案为：3 15如图，菱形 ABCD 中，AB=8，ABC=60 ，E 是 CD 的中点，在对角线 AC 有 一动点 P，在某个位置存在 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 4 第 16 页（共 28 页） 【考
22、点】轴对称最短路线问题；菱形的性质 【分析】首先连接 BE，过点 E 作 EFBC 于点 F，由四边形 ABCD 是菱形，可得 BE 是 PD+PE 的和最小值，然后由菱形 ABCD 中，AB=8，ABC=60 ，E 是 CD 的 中点，利用三角函数的知识即可求得 CF 与 EF 的长，再利用勾股定理求得 BE 的 长 【解答】解：连接 BE，过点 E 作 EFBC 于点 F， 四边形 ABCD 是菱形， 点 B，D 关于 AC 对称， BE 是 PD+PE 的和最小值， 菱形 ABCD 中，AB=8，ABC=60 ， BC=CD=AB=8，ABCD， ECF=ABC=60 ， E 是 CD
23、的中点， CE= CD=4， CF=CEcos60=4 =2，EF=CFsin60=4 =2 ， BF=BC+CF=10， BE= =4 即这个最小值为 4 故答案为：4 第 17 页（共 28 页） 16观察下列二次根式的化简 S1= =1+ ， S2= + =（1 ）+（1 ） S3= + + =（1 ）+（1 ） +（1 ） 则 = 【考点】二次根式的化简求值 【分析】先分别计算： =1+ ， =1+ ， =1+ ， =1+ ，再依次计算 S1、S 2、S 3、 、S 2016 的值，从而得出结论 【解答】解： =1+ ， =1+ ， =1+ ， =1+ ， S 1= =1+ ， S2=
24、 + =（1 ）+（1 ） ， 第 18 页（共 28 页） S3= + + =（1+ ）+（1 ）+（1 ） ， S 2016=（1+ ）+（1 ）+（1 ）+（1+ ）+（1+ ） ， =2016+1 ， =2016+ ， 则 = =1+ = 三、作图题 17用圆规直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：线段 a求作： 等腰ABC，使底边 BC=a，高 AD= a 【考点】作图复杂作图；等腰三角形的性质 【分析】先作出线段 BC=a，再做线段 BC 的垂直平分线，最后在 DM 上截取 DA= a 【解答】解：如图， 第 19 页（共 28 页） ABC 是所求作的三角形 四、解答题 18
25、 （1）2x 3y8x2y2+8xy3 （2） （3）解方程： 2= （4）先化简，再求值：若 2x3y=0，求 的值 【考点】解分式方程；提公因式法与公式法的综合运用；分式的化简求值；解 一元一次不等式组 【分析】 （1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可； （3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 y 的值，经检验 即可得到分式方程的解； （4）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算，将已知等式代入计算即可求 出值 【解答】解：（1）原式=2xy（x 24xy+4y2）=2xy（x2y） 2； （2
26、） ， 由得：x2， 由得：x1， 则不等式组的解集为1 x2； （3）去分母得：y22y+6=y， 解得：y=2 ， 经检验 y=2 是分式方程的解； 第 20 页（共 28 页） （4）原式= = = ， 由 2x3y=0，得到 3y=2x，代入得：原式 = =3 19ABC 中， AB=AC，D 是 BC 中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证： DE=DF 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 【分析】根据 AB=AC，D 是 BC 中点，DE AB 于 E，DFAC 于 F，利用角角边 定理可证此题， 【解答】证明：AB=AC，D 是 BC 中点， ABC=ACB
27、，BD=DC DEAB 于 E，DFAC 于 F， DEB= DFC=90 在DEB 和 DFC 中， ， DEB DFC（AAS ） ， DE=DF 20阳光中学计划利用暑假期间，组织部分老师外出学习，计划参加学习的人 数不少于 12 人，甲、乙两家旅行社组织的学习和服务质量都相同，且费用每人 都是 600 元，甲旅行社给每位老师七五折优惠，乙旅行社免去 1 位老师的费用， 第 21 页（共 28 页） 然后给予其余老师八折优惠该中学选择哪一家旅行社支付的费用较少？ 【考点】一元一次不等式的应用 【分析】根据题意，可得不等式，根据解不等式，可得答案 【解答】解：设外出的老师为 x 人， 甲的
28、费用 6000.75x，乙的费用 6000.85（x 1） ， 甲乙时，6000.75x6000.85 （x 1） ，解得 x16， 不超过 16 人时，选择乙； 甲乙时，6000.75x6000.85 （x 1） ，解得 x16， 超过 16 人时，选择甲； 甲= 乙时， 6000.75x=6000.85（x 1） ，解得 x=16， 16 人时，选择甲、乙都可以 21已知：如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 边上的中点，过点 C 作 CF AB，交 DE 的延长线于 F 点，连接 CD、BF （1）求证：BDE CFE； （2）ABC 满足什么条件时，四边形 BDCF 是矩形？
29、 【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理 【分析】 （1）由平行线的性质得出DBE=CFE，由中点的定义得出 BE=CE，由 ASA 证明BDECFE 即可； （2）先证明 DE 是ABC 的中位线，得出 DEAC，证出四边形 BDCF 是平行四 边形，得出 AD=CF，证出 CF=BD，得出四边形 BDCF 是平行四边形；再由等腰三 角形的性质得出 CDAB，即可得出结论 第 22 页（共 28 页） 【解答】 （1）证明：CFAB， DBE= CFE， E 是 BC 的中点， BE=CE ， 在BDE 和 CFE 中， ， BDE CFE（ASA） ； （2）解：当
30、BC=AC 时，四边形 BDCF 是矩形，理由如下： D、E 分别是 AB，BC 的中点 DE 是ABC 的中位线， DEAC，又 AFBC， 四边形 BDCF 是平行四边形， AD=CF， 又 BD=AD， CF=BD，又 CFBD， 四边形 BDCF 是平行四边形； BC=AC，BD=AD， CDAB，即BDC=90， 平行四边形 BDCF 是矩形 22一家蔬菜公司收购某种绿色蔬菜 140 吨，准备加工后进行销售，销售后获 利的情况如图所示 销售方式 粗加工后销 售 精加工后销 售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：粗加工每天加工该种蔬菜的重量是精加工的 3 倍，
31、 第 23 页（共 28 页） 但两种加工不能同时进行受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批 蔬菜全部加工后销售 （1）若要求 15 天刚好加工完 140 吨蔬菜，如果绿色蔬菜先精加工 20 吨，剩下 的再进行粗加工，正好按时完成，求精加工和粗加工每天各能加工的吨数 （2）若要求在 13 天的时间内，将 140 吨蔬菜全部加工完，并且两种加工方式 都要有，先精加工后粗加工，问哪种分配加工时间（时间取整）的方案利润最 大，最大利润是多少？ 【考点】一次函数的应用 【分析】 （1）本题等量关系为：精加工天数+粗加工天数=15，进而列出方程求 解即可 （2）首先求出精加工的天数的取值范围，然
32、后表示 W 并求出 W 最大值 【解答】解：（1）设每天精加工 x 吨，则每天粗加工 3x 吨，依题意得， + =15， 解得：x=4， 经检验得：x=4 是原方程的根； 则 3x=12， 答：每天精加工 4 吨，则每天粗加工 12 吨； （2）设精加工的时间为 m 天，依题意得 m+ 13， 解得：m2， 设加工这批蔬菜可获利 W 元，则 W=20004m+1000=140000+4000m（元） （0m 2） ， 由一次函数性质知，W 随 m 的增大而增大， 故当 m=2 时， W 取得最大值为 140000+40002=148000（元） ， 答：安排 2 天进行精加工，11 天粗加工可
33、获最大利润为 148000 元 23 （1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三 角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相 第 24 页（共 28 页） 等，在此基础上我们可以继续研究：如图 1，AD BC，连接 AB，AC，BD，CD，则 SABC =SBCD 证明：分别过点 A 和 D，作 AFBC 于 FDE BC 于 E，由 ADBC ，可得 AF=DE，又因为 SABC = BCAF，S BCD = 所以 SABC =SBCD 由此我们可以得到以下的结论：像图 1 这样 同底等高的两三角形面积相等 （2）问题解决：如图 2，四边形
34、ABCD 中，ABDC，连接 AC，过点 B 作 BE AC，交 DC 延长线于点 E，连接点 A 和 DE 的中点 P，请你运用上面的结论 证明：S ABCD=SAPD （3）应用拓展： 如图 3，按此方式将大小不同的两个正方形放在一起，连接 AF，CF，若大正方 形的面积是 80cm2，则图中阴影三角形的面积是 40 cm 2 【考点】四边形综合题 【分析】 （1）根据两三角形的特殊性同底等高得出结论； （2）根据等底等高可得 SABC =SAEC ，即可证明 S 梯形 ABCD=SACD +SABC =SACD +S AEC=SAED ； （3）根据面积的和差得到阴影部分（ACF）的面积
35、= S 正方形 ABCD 【解答】解；（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等； 故答案为：同底等高的两三角形面积相等； （2）ABCE ，BEAC， 四边形 ABEC 为平行四边形， ABC 和AEC 的公共边 AC 上的高也相等， 第 25 页（共 28 页） S ABC =SAEC ， S 梯形 ABCD=SACD +SABC =SACD +SAEC =SAED ； （3）设正方形 ABCD 的边长为 a，正方形 DGFE 的边长为 b， S ACF =S 四边形 ACEFSCEF =SAFG +S 正方形 DEFG+SADC S CEF= b（a b） +bb+ aa b（b
36、+a）= ab b2+b2+ a2 b2 ab= a2， S ACF = S 正方形 ABCD= 80cm2=40cm2； 故答案为：40 24 （1）如图 1，已知ABC，以 AB，AC 为边向ABC 外做等边ABD 和等边 ACE，连接 BE，CD ，求证：BE=CD； （2）如图 2，已知ABC，以 AB，AC 为边向外作正方形 ABFD 和正方形 ACGE，连接 BE，CD ，BE 与 CD 有什么数量关系？简单说明理由； （3）运用（1） 、 （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 3，要测量池塘两岸相对的两点 B，E 的距离，已经测得 ABC=45 ， CAE=90， A
37、B=BC=60 米，AC=AE，求 BE 的长 【考点】四边形综合题 【分析】 （1）由ABD 与ACE 都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相 等，都为 60 度，利用等式的性质得到夹角相等，利用 SAS 得到CAD 与EAB 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证； 第 26 页（共 28 页） （2）利用 SAS 得到CAD 与EAB 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得 证； （3）根据（1） 、 （2）的经验，过 A 作等腰直角ABD，连接 CD，由 AB=AD=100，利用勾股定理求出 BD 的长，由题意得到DBC 为直角三角形，利 用勾股定理求出 CD 的长，即为 BE 的
38、长 【解答】 （1）证明：如图 1 所示： ABD 和 ACE 都是等边三角形， AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=60， BAD+BAC=CAE+BAC，即CAD= EAB， 在CAD 和EAB 中， ， CADEAB（SAS） ， BE=CD； （2）解：BE=CD ，理由同（ 1） ， 四边形 ABFD 和 ACGE 均为正方形， AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=90， CAD=EAB， 在CAD 和EAB 中， ， CADEAB（SAS） ， BE=CD； （3）解：如图 3，由（1） 、 （2）的解题经验可知，过 A 作等腰直角 第 27 页（共 28 页） ABD，BAD=90， 则 AD=AB=60 米，ABD=45， BD=60 米， 连接 CD，BD ，则由（2）可得 BE=CD， ABC=45 ，DBC=90， 在 RtDBC 中，BC=60 米，BD=60 米， 根据勾股定理得：CD= =60 （米） ， 则 BE=CD=60 米 第 28 页（共 28 页） 2017 年 3 月 4 日
