1、高三数学期末综合练习（二） 一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）各题答案必需答在答题卡上。 1. 已知集合 Z 为整数集, 则 等于 ( )02x|MZM A. B. C. D. ,0,12,101,02 2. 的值等于 ( )65cosin A. B. C. D. 424 3. 在等比数列 中, , 则 的值为 ( )an 2a,3a876543 109a A. 48 B. 72 C. 144 D. 192 4. 已知实数 x、y 满足 则 的最大值是 ( ) ,0,1xy y4xu A. 0 B. 4 C. 7 D. 11 5. 设 a、b、c 表示三条直线,
2、 、 表示两个平面, 则下列命题中逆命题不成立的是 ( ) A. 已知 若 则 ,c B. 已知 , c 是 a 在 内的射影, 若 b c, 则 a b C. 已知 , , 若 , 则 cb D. 已知 , 若 则, 6. 下列四个函数中, 同时具有性质: 最小正周期为 ; 图象关于直线 对称的一23x 个函数是 ( ) A. B. )6xsin(y )6xsin(y C. D. 321 32 7. “ ”是“函数 的值恒为正值”的 ( )0k4kxy2 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 在等差数列 中, 前n项和为 , , 则 是
3、 ( )anS314284S A. B. C. D. 81319103 9. 如图, 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, P 是侧面 BB1C1C 内一动点, 若 点 P 到直线 BC 的距离是点 P 到直线 C1D1 距离的 2 倍, 则动点 P 的 轨迹所在的曲线是 ( ) A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 10. 设 , 则二次曲线 的离心率的取值范围是（ ）)40( 1tanycotx22 A. B. C. D. 21, ),1( ),( ),2( 11. 关于函数 有下列三个命题: 对于任意 ,都有xlg)f 1x 在 上是减函数;对于任意 , ,都有0)x(
4、f(), 12)( 其中正确的命题个数是 ( )1f221 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 方程 的曲线如左图所示, 那么方程 的曲线是 ( ) )y,x( 0)y,x(f 二、填空题：（本大题 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分）各题答案必须填写在答题卡 上（只填结果，不要过程） 。 13. 不等式 的解集为 .12x 14. 已知圆 C 的圆心在第一象限, 与 x 轴相切于点 , 且与直线 也相切, )03( x3y 则该圆的方程为 . 15. 已知 O 为原点, , , , 则)0(A)2(OBABtP)2t(OP 的最小值是 . 16. 给出下列四个命题： 过平面
5、外一点，作与该平面成 ）角的直线一定有无穷多条；00(9 一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行； 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面 直线都平行； 对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号为_（请把所有正确命题的序号都填上） 。 高三数学期末综合练习（二） 班级 姓名 学号 得分 一. 选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二. 填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 三、解答题：
6、（本大题 6 个小题，共 74 分）各题解答必需答在答题卡上（必需写出必 要 的文字说明、推理过程或计算步骤） 。 17 （12 分）已知 , ,记)xcos,4sin(2 a )xsin32),4(cs b .b)x(f (1) 求 的周期及最小值;(2) 若 按 m 平移得到 , 求向量 m .)(f (fiy 18 （12 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中, , D 是 BC 中点, F 为棱 上一1B 点,且 , .1FB2a2 (1) 求证: 平面 ADF;C (2) 若 试求出二面角 DAFB 的正切值.,a5A 19 （12 分）设某银行一年内吸纳储户存款的总数与银行付给
7、储户年利率的平方成正比, 若 该银行在吸纳到储户存款后即以 5的年利率把储户存款总数的 90贷出以获取利润, 问 银行支付给储户年利率定为多少时, 才能获得最大利润? (注: 银行获得的年利润是贷出款额的年利息与支付给储户的年利息之差.) 20 （12 分）已知函数 .0x,4,x)(f2 (1) 求证: 函数 是偶函数;)x(f (2) 判断函数 分别在区间 、 上的单调性, 并加以证明;,0( ), (3) 若 , 求证: .4|1 ,|2 1|(f|21 21 （12 分）已知椭圆 E 的右焦点 F , 右准线 l: , 离心率 .)01(4x21e (1) 求椭圆 E 的方程; (2)
8、 设 A 是椭圆 E 的左顶点, 一经过右焦点 F 的直线与椭圆 E 相交于 P、Q 两点 (P、Q 与 A 不重合), 直线 AP、AQ 分别与右准线 l 相交于点 M、N, 求证: 直线 PN、直 线 QM 与 x 轴相交于同一点. 22 （14 分）设数列 的各项都是正数, 且对任意 都有an Nn 记 为数列 的前 n 项和.,)aa(a 232133231 Sa (1) 求证: ;S (2) 求数列 的通项公式;n (3) 若 ( 为非零常数, ), 问是否存在整数 , 使得对na1)(bn 任意 , 都有 .Nb 高三数学期末综合练习（二） 参考答案及评分标准 一. 选择题（每小题
9、 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D D D A C D B D D C 二. 填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13. 1, 2 ; 14. ; 15. ; 16. ;1)y()3x(2221 三. 解答题（共 74 分） 17 （本小题满分 12 分） 解: (1) (2 分)xcosin32)x4cos()sin(2)x(f ba (6 分)6si 的周期为 ,最小值为2. (8 分)(f (2)若 按向量 m 平移得到x,x2siny 则向量 m (12 分)0,12k k( 18 （本小题满分 12 分） 解:
10、(1) , F 为棱 BB1 上一点, ADBC, ACB 又直三棱柱 ABCA 1B1C1, BB 1底面 ABC, BB 1AD, AD平面 BC1,(3 分) 在 Rt DBF 和 RtFB 1C1 中, RtDBFRtFB 1C1,FD,2a BDF B 1FC1, 又BDFBFD90, B 1FC1BFD90, DFC 1F, C 1F平面 ADF. (6 分) (2) 过 B 作 BEC 1F, 交 DF 于 H, 则 BH平面 ADF, (8 分) 过 H 作 HGAF 交 AF 于 G 点, 连结 BG, 则 BGAF, 则BGH 为所求二面角的平面角, (9 分) 若 AB
11、可得 .(12 分),a543tn 19 （本小题满分 12 分） 解：设银行支付给储户的年利率为, 银行获得的年利润为, 则 . (5 分)0xk05.9kxy22 ),0x(k4532 (7 分),3.(3.02 令 得 ,(9 分),. 当 时, ; 当 时, . 故当 时, y 取极大值, .y. 并且这个极大值就是函数 y 的最大值. (11 分) 所以, 当银行支付给储户年利率为 3时, 银行可获得的年利润. (12 分) 20 （本小题满分 12 分） 解: (1) 当 时, , 则0x)x(4)(f4)(f 22 x42 (2 分 ) 当 时, , 则0x ,)x(4(f4)(
12、f 22 x42 )(f 综上所述, 对于 , 都有 , 函数 是偶函数.(4 分)0xf)(f (2) 当 时, 1x4)(f2 设 , 则 (6 分)12 )()(f2212 当 时, ; 当 时, ,x0010x(f12 函数 在 上是减函数, 函数 在 上是增函数.(8 分)(f0)x(f), (3)由(2)知, 当 时, ,(9 分)46)(f5 又由(1)知, 函数 是偶函数, 当 时, ,(10 分)4|1 6x(f5 若 , , 则 , ,(11 分)|x1|2 )2 , 即 .(12 分)(f|)x(f2 21 （本小题满分 12 分） 解: (1)设椭圆 E 上任一点 P(
13、x, y), 则 ,1|4|y (3 分) 化简得, ,(5 分)13y4x2 (2)当直线 x 轴时, PQ , )34(N),(M)2,(),1( , 令3y:N),4x(2y:,0y 得直线 PN、直线 QM 与 x 轴相交于同一点 , 即右顶点, 设为 B. (6 分) 当直线 PQ 不垂直 x 轴时, 设 , ,1k:PQ x(Q,P21 由 ,012k4x8)k43()1x(ky4222 , , (7 分)2218221 又 AP: AQ: )(x1,x(y2 令 , 得 , . 4y6,M1 )64(N , (9 分)2x)(kk11PB2x)1(k3y2x2NB 08k4354
14、)(3 2212N 直线 PN 与 x 轴相交于右顶点 B. (11 分) 同理, 直线 QM 与 x 轴相交于右顶点 B, 所以, 直线 PN、直线 QM 与 x 轴相交于同一点. (12 分) 22 （本小题满分 14 分） 证明：(1)在已知式中, 当 时, .(1 分)1n,a213,01a 当 时, 2n 2n2n321 (a 21n) 由得, (3 分)(121n 即 适合上式,0an,an2 ,aSn1 .(4 分)NS2 (2)由(1)知, (ann 当 时, 121 由 得, (6 分)nnn2)(a 1na21n , , 数列 是等差数列,首项为 1,01a1 公差为 1, 可得 .(8 分) (3) , (9 分)n ,2)(3(3b n1nann ,021(32b n111 (11 分)n)()( 当 时, 式即为 3,k,2n 2k)3( 依题意, 式对 都成立, 当 时, 21 ,1,n 式即为 依题意, 式对 都成立,1k2)3( 3,21k (13 分) 又 ,230 存在整数 , 使得对任意 , 都有 .(14 分)Nnn1b
