1、1 集合间的基本关系 教学分析 课本从学生熟悉的集合出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,在集合间的关系 教学中,使用 Venn 图有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念 ;随着学习的深入,集合符 号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号. 三维目标 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利 用类比发现新结论的能力. 2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用 Venn 图表达集合的关系 ,加强学生从具体到 抽象的思维能力,树立数形结合的思想. 重点难点 教学重点:理解集合间包含与相等的含义 . 教学难点:理解空集
2、的含义. w W w . X k b 1.c O m 课时安排 X k b 1 . c o m 1 课时 教学过程 导入新课 思路.实数有相等、大小关系,如 5=5,53 等等,类比实数之间的关系 ,你会想到集合之间 有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生) 欲知谁正确,让我们一起来观察、研探. 推进新课 提出问题 (1)观察下面几个例子: A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;来源:学 设 C=x|x 是两条边相等的三角形,D=x|x 是等腰三角形; E=2,4,6,F=6,4,2. 你能发现两个集合间有什么关系吗？ (2)例子中集合 A 是集合 B 的子集
3、,例子中集合 E 是集合 F 的子集,同样是子集,有什么区 别？ (3)结合例子,类比实数中的结论:“若 ab,且 ba,则 a=b”,在集合中,你发现了什么结论? (4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内 ,从楼顶向下看,每位 同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能 用什么表示？ (5)试用 Venn 图表示例子 中集合 A 和集合 B. (6)已知 A B,试用 Venn 图表示集合 A 和 B 的关系. (7)任何方程的解都能组成集合,那么 x2+1=0 的实数根也能组成集合,你能用 Venn 图表示这 个集合吗？
4、 (8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子 ,那么一个集合没有任何元素,应该 如何命名呢？ (9)与实数中的结论“若 ab,且 bc,则 ac”相类比,在集合中 ,你能得出什么结论? 活动：教师从以下方面引导学 生: (1)观察两个集合间元素的特点. (2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果 A B,但存在 xB,且 x A,我们称集合 A 2 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A). (3)实数中的“” 类比集合中的 . (4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素 ,从楼顶看到的就是把集合 中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合
5、间的关系,我们常用平面上封闭曲 线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. (5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制. (6)分类讨论:当 A B 时,A B 或 A=B. (7)方程 x2+1=0 没有实数解. (8)空集记为 ,并规定: 空集是任何集合的子集,即 A;空集是任何非空集合的真子集,即 A(A ). (9)类比子集. 讨论结果： (1)集合 A 中的元素都在集合 B 中; 集合 A 中的元素都在集合 B 中; 集合 C 中的元素都在集合 D 中; 集合 E 中的元素都在集合 F 中. 可以发现:对于任意两个集合 A,B 有下列关系: 集合 A 中的元素都在集合 B
6、中;或集合 B 中的 元素 都在集合 A 中. (2)例子中 A B,但有一个元素 4B,且 4 A;而例子中集合 E 和集合 F 中的元素完全 相同. (3)若 A B,且 B A,则 A=B. (4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合. (5)如图 1-1-2-1 所示表示集合 A,如图 1-1-2-2 所示表示集合 B.x k b 1 . c o m 图 1-1-2-1 图 1-1-2-2 (6) 如图 1-1-2-3 和图 1-1-2-4 所示. 图 1-1-2-3 图 1-1-2-4 (7)不能.因为方程 x2+1=0 没有实数解. (8)空集. (9)若 A B,B
7、C,则 A C;若 A B,B C,则 A C. 应用示例 1 某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用 A 表示合格产品的集合,B 表示重量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.已知集合 A、B、C 均不是空集. (1)则下列包含关系哪些成立？ A B,B A,A C,C A. (2)试用 Venn 图表示集合 A、B、C 间的关系. 活动：学生思考集合间的关系以及 Venn 图的表示形式.当集合 A 中的元素都属于集合 B 时,则 A B 成立,否则 A B 不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以 3 下两点: (1)重量合格的产品不一定是
8、合格产品,但合格的产品一定重量合格 ; 长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格. (2)根据集合 A、B 、C 间的关系来画出 Venn 图. 解：(1)包含关系成立的有:B A,C A. (2)集合 A、B、 C 间的关系用 Venn 图表示,如图 1-1-2-5 所示. 图 1-1-2-5 练习 1 写出集合a,b的所有子集,并指出哪些是它的真子集 . 活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其 本身的真子集.按集合a,b的子集所含元素的个数分类讨论. 解：集合a,b的所有子集为 ,a,b,a,b.真子集为 ,a,b. 练 习 2
9、已知集合 P=1,2,那么满足 Q P 的集合 Q 的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 分析:集合 P=1,2含有 2 个元素,其子集有 22=4 个, 又集合 Q P,所以集合 Q 有 4 个. 答案：A 点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个 数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏. 思考:集合 A 中含有 n 个元素,那么集合 A 有多少个子集？多少个真子集？ 解：当 n=0 时,即空集的子集为 ,即子集的个数是 1=20; 当 n=1 时,即含有一个元素的集合如a的子集为 ,a,即子集的个数是 2=21; 当 n=2
10、时,即含有一个元素的集合如a,b的子集为 ,a,b,a,b,即子集的个数是 4=22. 集合 A 中含有 n 个元素,那么集合 A 有 2n 个子集,由于一个集合不是其本身的真子集 ,所以集 合 A 有(2 n-1)个真子集. 应用示例 2 已知集合 A=-1,3,2m-1,集合 B=3,m2.若 B A,则实数 m=_. 活动：先让学生思考 B A 的含义,根据 B A,知集合 B 中的元素都属于集合 A,集合元素 的互异性,列出方程求实数 m 的值.因为 B A,所以 3A,m 2A.对 m2 的值分类讨论. 解：B A, 3A,m 2A.m 2=-1(舍去)或 m2=2m-1.解得 m=
11、1.m=1. 答案：1 点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现 m2=3,其原因 是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得 m 的值后,再代入验证. 讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或 解不等式.x k b 1 . c o m 练习 3 已知集合 M=x|2-x2 ,由于 N M,则 N= 或 N ,要对集合 N 是否为空集分类讨论 . 4 解：由题意得 M=x|x2 ,则 N= 或 N . 当 N= 时,关于 x 的方程 ax=1 中无解,则有 a=0; 当 N 时,关于 x 的方程 ax=1 中有解,
12、则 a0,此时 x= ,又N M, M. 2.a1a1 0a .综上所得,实数 a 的取值范围是 a=0 或 0a ,即实数 a 的取值范围是a|0a 21 221 课堂小结 本节课学习了: 子集、真子集、空集、Venn 图等概念; 能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集; 清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明. 作业 课本 习题 A 组 设计感想 本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中要留给学生适当的思考时间,使 学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课 程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接 受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式.
