1、第 1 页（共 30 页） 2016-2017 学年山西省阳泉市盂县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1点 M（1， 2）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （ 1，2） B （1，2） C （ 1，2） D （2，1） 2若反比例函数 y= （k 0 ）的图象经过点 P（2，3） ，则该函数的图象 的点是（ ） A （3 ， 2） B （1，6） C （ 1，6） D （1，6） 3如图的两个四边形相似，则 的度数是（ ） A87 B60 C75 D120 4已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根b，则 ab 的值为
2、（ ） A 1 B0 C1 D 2 5如果一个扇形的半径是 1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 6在 RtABC 中，C=90，B=35，AB=7，则 BC 的长为（ ） A7sin35 B7cos35 C7tan35 D 7对于反比例函数 y= ，当 x 6 时，y 的取值范围是（ ） Ay1 By1 C 1y 0 Dy1 8如图是以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C 作 第 2 页（共 30 页） CDAB 交 AB 于 D已知 cosACD= ，BC=4，则 AC 的长为（ ） A1 B C3 D 9在研究相似问
3、题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、4、5 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们 的对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似 乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对 应边间距均为 1，则新矩形与原矩形相似 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A甲对，乙不对 B甲不对，乙对 C两人都对 D两人都不对 10二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应 值如下表： x 3 2 1 0 1 y 6 0 4 6 6 给出下列说法： 抛物线与 y 轴的交点为（0，6 ） ； 抛物线的对
4、称轴在 y 轴的左侧； 抛物线一定经过（3，0）点； 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减增大 从表中可知，其中正确的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 第 3 页（共 30 页） 11已知四条线段满足 a= ，将它改写成为比例式为 （写出你认为正确的 一个） 12若点 P（2，6） 、点 Q（ 3，b）都是反比例函数 y= （k0）图象上的点， 则 b= 13如图，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距 离为 14已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，若点 A 的
5、坐标为 （2 ，0） ，抛物线的对称轴为直线 x=2，则线段 AB 的长为 15如图，将 RtABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 RtADE，点 B 的对 应点 D 恰好落在 BC 边上，若 AC= ，B=60，则 CD 的长为 16下列事件： 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数； 测得某天的最高气温是 100； 掷一次骰子，向上一面的数字是 2； 度量四边形的内角和，结果是 360 其中是随机事件的是 （填序号） 三、解答题（共 8 题，共 72 分） 17 （1）解方程 3x（x2）=2（2x） 第 4 页（共 30 页） （2）计算：2cos60 3tan30+2tan45
6、18如图，ABC 在方格纸中 （1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A（2，3） ，C（6，2） ，并求出 B 点坐标； （2）以原点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将ABC 放大，画出放 大后的图形ABC ； （3）计算ABC 的面积 S 19如图所示，在 44 的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上 （1）填空：ABC= ， BC= ； （2）判断ABC 与DEF 是否相似？并证明你的结论 20某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物 的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分 成四个扇
7、形，分别标上 1，2，3，4 四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，当每 次转盘停止后指针所指扇形内的数为每次所得的数（若指针指在分界线时重转） ； 当两次所得数字之和为 8 时，返现金 20 元；当两次所得数字之和为 7 时，返现 金 15 元；当两次所得数字之和为 6 时返现金 10 元 （1）试用树状图或列表的方法表示出一次抽奖所有可能出现的结果； （2）某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少？ 第 5 页（共 30 页） 21如图，一游客在某城市旅游期间，沿街步行前往著名的电视塔观光，他在 A 处望塔顶 C 的仰角为 30，继续前行 250m 后到达 B 处，此时望塔顶的仰角为 4
8、5已知这位游客的眼睛到地面的距离约为 170cm，假若游客所走路线直达电 视塔底请你计算这座电视塔大约有多高？（结果保留整数. 1.7， 1.4；E，F 分别是两次测量时游客眼睛所在的位置 ） 22已知反比例函数 y= （m 为常数）的图象在一、三象限 （1）求 m 的取值范围； （2）如图，若该反比例函数的图象经过ABOD 的顶点 D，点 A、B 的坐标分别 为（0，3） ， （2，0） 求出函数解析式； 设点 P 是该反比例函数图象上的一点，若 OD=OP，则 P 点的坐标为 ；若 以 D、O、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 的个数为 个 第 6 页（共 30 页） 2
9、3如图，AB 是O 的直径，C 是半圆 O 上的一点，AC 平分DAB 如图，AB 是 O 的直径，C 是半圆 O 上的一点，AC 平分DAB，ADCD，垂足为 D，AD 交 O 于 E，连接 CE （1）判断 CD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 E 是弧 AC 的中点， O 的半径为 1，求图中阴影部分的面积 24如图，已知点 A（3，0） ，以 A 为圆心作A 与 Y 轴切于原点，与 x 轴的另 一个交点为 B，过 B 作A 的切线 l （1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及点 C（0，9） ，求此抛物线的解析式； （2）抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，过 D
10、作 A 的切线 DE，E 为切点，求此 切线长； （3）点 F 是切线 DE 上的一个动点，当BFD 与EAD 相似时，求出 BF 的长 第 7 页（共 30 页） 第 8 页（共 30 页） 2016-2017 学年山西省阳泉市盂县九年级（上）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1点 M（1， 2）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （ 1，2） B （1，2） C （ 1，2） D （2，1） 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】根据“ 平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是 （x，y） ，即关于原点的对
11、称点，横纵坐标都变成相反数 ”解答 【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， 则点（1，2）关于原点过对称的点的坐标是（ 1，2） 故选：A 2若反比例函数 y= （k 0 ）的图象经过点 P（2，3） ，则该函数的图象 的点是（ ） A （3 ， 2） B （1，6） C （ 1，6） D （1，6） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】先把 P（2，3）代入反比例函数的解析式求出 k=6，再把所给点的横 纵坐标相乘，结果不是6 的，该函数的图象就不经过此点 【解答】解：反比例函数 y= （k0）的图象经过点 P（ 2，3） ， k=23=6， 只需把各点横纵坐标相乘，不是6
12、 的，该函数的图象就不经过此点， 第 9 页（共 30 页） 四个选项中只有 D 不符合 故选：D 3如图的两个四边形相似，则 的度数是（ ） A87 B60 C75 D120 【考点】相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的对应角相等求出1 的度数，根据四边形内角和等 于 360计算即可 【解答】解：两个四边形相似， 1=138， 四边形的内角和等于 360， =36060 75138=87， 故选：A 4已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根b，则 ab 的值为（ ） A 1 B0 C1 D 2 【考点】一元二次方程的解 【分析】由于关于 x 的一元二次方程 x2
13、+ax+b=0 有一个非零根 b，那么代入方程 中即可得到 b2ab+b=0，再将方程两边同时除以 b 即可求解 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根b， 第 10 页（共 30 页） b 2ab+b=0， b0， b0， 方程两边同时除以 b，得 ba+1=0， a b=1 故选：C 5如果一个扇形的半径是 1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 【考点】弧长的计算 【分析】根据弧长公式 l= ，即可求解 【解答】解：设圆心角是 n 度，根据题意得 = ， 解得：n=60 故选：C 6在 RtABC 中，C=90，B=
14、35，AB=7，则 BC 的长为（ ） A7sin35 B7cos35 C7tan35 D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据余弦的定义列出算式，计算即可 【解答】解：在 RtABC 中，cosB= ， BC=ABcosB=7cos35， 故选：B 第 11 页（共 30 页） 7对于反比例函数 y= ，当 x 6 时，y 的取值范围是（ ） Ay1 By1 C 1y 0 Dy1 【考点】反比例函数的性质 【分析】先求出 x=6 时的函数值，再根据反比例函数的性质求解 【解答】解：当 x=6 时， y= = =1， 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，而 y0， y 的取值范围是1y
15、 0 故选 C 8如图是以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C 作 CDAB 交 AB 于 D已知 cosACD= ，BC=4，则 AC 的长为（ ） A1 B C3 D 【考点】圆周角定理；解直角三角形 【分析】由以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C 作 CDAB 交 AB 于 D易得ACD=B，又由 cosACD= ，BC=4 ，即可求得答 案 【解答】解：AB 为直径， ACB=90 ， ACD+BCD=90， CDAB， 第 12 页（共 30 页） BCD+B=90， B= ACD ， cosACD= ， cosB= ，
16、tanB= ， BC=4， tanB= ， = ， AC= 故选：D 9在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、4、5 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们 的对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似 乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对 应边间距均为 1，则新矩形与原矩形相似 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A甲对，乙不对 B甲不对，乙对 C两人都对 D两人都不对 【考点】相似三角形的应用 【分析】甲：根据题意得：ABAB，ACAC，BCBC，即可证得 A=A ，B=B，可得ABCABC； 乙：根据题意
17、得：AB=CD=3，AD=BC=5，则 AB=CD=3+2=5，AD=BC=5 +2=7， 第 13 页（共 30 页） 则可得 ，即新矩形与原矩形不相似 【解答】解：甲：根据题意得：ABAB，ACAC，BCBC， A=A ，B=B， ABCABC， 甲说法正确； 乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则 AB=CD=3+2=5，AD=BC=5+2=7， = = ， = = ， ， 新矩形与原矩形不相似 乙说法不正确 故选：A 10二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应 值如下表： x 3 2 1 0 1 y 6 0 4 6 6 给
18、出下列说法： 抛物线与 y 轴的交点为（0，6 ） ； 抛物线的对称轴在 y 轴的左侧； 抛物线一定经过（3，0）点； 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减增大 第 14 页（共 30 页） 从表中可知，其中正确的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 【考点】二次函数的性质 【分析】由所给数据求得抛物线解析式，再逐个判断即可 【解答】解： 当 x=0 时 y=6，x=1 时 y=6，x=2 时 y=0， 可得 ，解得 ， 抛物线解析式为 y=x2+x+6=（x ） 2+ ， 当 x=0 时 y=6， 抛物线与 y 轴的交点为（0，6 ） ，故正确； 抛物线的对称轴为 x= ，故 不正确； 当
19、x=3 时，y=9+3+6=0， 抛物线过点（3，0） ，故正确； 抛物线开口向下， 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大，故正确； 综上可知正确的个数为 3 个， 故选 B 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11已知四条线段满足 a= ，将它改写成为比例式为 = （写出你认为 正确的一个） 【考点】比例线段 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积对选项一一分析， 选出正确答案 【解答】解：四条线段满足 a= ， 第 15 页（共 30 页） ab=cd， = 故答案为： = 12若点 P（2，6） 、点 Q（ 3，b）都是反比例函数 y= （k0）图象
20、上的点， 则 b= 4 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得 26=3b，再解即可 【解答】解：点 P（2，6） 、点 Q（ 3，b）都是反比例函数 y= （k0）图象 上的点， 26=3b， 解得：b=4， 故答案为：4 13如图，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距 离为 3 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】作 OCAB 于 C，连接 OA，根据垂径定理得到 AC=BC= AB=4，然后在 RtAOC 中利用勾股定理计算 OC 即可 【解答】解：作 OCAB 于 C，连结 OA，如图， OCAB ，
21、第 16 页（共 30 页） AC=BC= AB= 8=4， 在 RtAOC 中，OA=5， OC= = =3， 即圆心 O 到 AB 的距离为 3 故答案为：3 14已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，若点 A 的坐标为 （2 ，0） ，抛物线的对称轴为直线 x=2，则线段 AB 的长为 8 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】由抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=2，交 x 轴于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为（2，0） ，根据二次函数的对称性，求得 B 点的坐标，再求出 AB 的长度 【解答】解：对称轴为直线 x=2 的抛物线 y=
22、ax2+bx+c（a 0）与 x 轴相交于 A、B 两点， A、B 两点关于直线 x=2 对称， 点 A 的坐标为（2，0） ， 点 B 的坐标为（6，0） ， AB=6（2）=8 故答案为：8 15如图，将 RtABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到 RtADE，点 B 的对 应点 D 恰好落在 BC 边上，若 AC= ，B=60，则 CD 的长为 1 第 17 页（共 30 页） 【考点】旋转的性质 【分析】在直角三角形 ABC 中利用三角函数首先求得 AB 和 BC 的长，然后证明 ABD 是等边三角形，根据 CD=BCBD 即可求解 【解答】解：直角ABC 中，AC= ，B=60
23、， AB= = =1，BC= = =2， 又AD=AB， B=60， ABD 是等边三角形， BD=AB=1， CD=BCBD=21=1 故答案是：1 16下列事件： 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数； 测得某天的最高气温是 100； 掷一次骰子，向上一面的数字是 2； 度量四边形的内角和，结果是 360 其中是随机事件的是 （填序号） 【考点】随机事件 【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断 【解答】解：是随机事件； 是不可能事件； 是随机事件； 第 18 页（共 30 页） 是必然事件 故答案是： 三、解答题（共 8 题，共 72 分） 17 （1）解方程
24、3x（x2）=2（2x） （2）计算：2cos60 3tan30+2tan45 【考点】解一元二次方程-因式分解法；实数的运算；特殊角的三角函数值 【分析】 （1）首先把方程右边的移到方程左边，再提公因式分解因式，然后可 得（x2） （3x+2）=0，再解即可； （2）首先代入特殊角的三角函数值，然后再算乘法，后算加减即可 【解答】解：（1）3x（x 2）2（2x）=0 （x2） （3x+2）=0， 则 x2=0，3x +2=0， 解得 x1=2，x 2= ； （2）解：原式=2 3 +21， =1 +2， =3 18如图，ABC 在方格纸中 （1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A（2，
25、3） ，C（6，2） ，并求出 B 点坐标； （2）以原点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将ABC 放大，画出放 大后的图形ABC ； （3）计算ABC 的面积 S 第 19 页（共 30 页） 【考点】作图-位似变换；三角形的面积 【分析】 （1）A 点的坐标为（2，3）所以原点 O 的坐标就在 A 点左 2 个格，下 3 个格的点上由此建立直角坐标系，读出 B 点坐标； （2）连接 OA，OB，OC，并延长到 OA，OB，OC，使 OA，OB，OC的长度是 OA，OB，OC 的 2 倍然后顺次连接三点； （3）从网格上可看出三角形的底和高，利用三角形的面积公式计算 【解答】解：
26、（1）画出原点 O，x 轴、y 轴B（ 2，1 ） （2）画出图形ABC （3）S= 48=16 19如图所示，在 44 的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上 （1）填空：ABC= 135 ，BC= 2 ； （2）判断ABC 与DEF 是否相似？并证明你的结论 第 20 页（共 30 页） 【考点】相似三角形的判定；勾股定理 【分析】 （1）根据已知条件，结合网格可以求出ABC 的度数，根据，ABC 和DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线 段 BC 的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明A
27、BC 与 DEF 相似 【解答】 （1）解：ABC=90+45=135 ， BC= = =2 ； 故答案为：135；2 （2）ABC DEF 证明：在 44 的正方形方格中， ABC=135， DEF=90+45=135， ABC=DEF AB=2，BC=2 ，FE=2，DE= = = ， = = ABCDEF 20某超市计划在“十周年”庆典当天开展购物抽奖活动，凡当天在该超市购物 的顾客，均有一次抽奖的机会，抽奖规则如下：将如图所示的圆形转盘平均分 成四个扇形，分别标上 1，2，3，4 四个数字，抽奖者连续转动转盘两次，当每 次转盘停止后指针所指扇形内的数为每次所得的数（若指针指在分界线时重
28、转） ； 第 21 页（共 30 页） 当两次所得数字之和为 8 时，返现金 20 元；当两次所得数字之和为 7 时，返现 金 15 元；当两次所得数字之和为 6 时返现金 10 元 （1）试用树状图或列表的方法表示出一次抽奖所有可能出现的结果； （2）某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是多少？ 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）首先求得某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的情况，再利用概率公式 即可求得答案 【解答】解：（1）画树状图得： 则共有 16 种等可能的结果； （2）某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的有
29、 6 种情况， 某顾客参加一次抽奖，能获得返还现金的概率是： = 21如图，一游客在某城市旅游期间，沿街步行前往著名的电视塔观光，他在 A 处望塔顶 C 的仰角为 30，继续前行 250m 后到达 B 处，此时望塔顶的仰角为 45已知这位游客的眼睛到地面的距离约为 170cm，假若游客所走路线直达电 视塔底请你计算这座电视塔大约有多高？（结果保留整数. 1.7， 1.4；E，F 分别是两次测量时游客眼睛所在的位置 ） 第 22 页（共 30 页） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】根据 CG 和CFG、CG 和CEG 可以求得 FG、EG 的长度，根据 EF=EGFG 可以求出
30、 CG 的长度，即可解题 【解答】解：延长 EF 交 CD 于 G， 在 RtCGF 中，FG= =CG， RtCGE 中，EG= = CG， EF=EGFG， CG= =125（ +1）337.5 米 170cm=1.7， 337.5+1.7339 米 答：电视塔大约高 339 米 22已知反比例函数 y= （m 为常数）的图象在一、三象限 （1）求 m 的取值范围； （2）如图，若该反比例函数的图象经过ABOD 的顶点 D，点 A、B 的坐标分别 为（0，3） ， （2，0） 第 23 页（共 30 页） 求出函数解析式； 设点 P 是该反比例函数图象上的一点，若 OD=OP，则 P 点的
31、坐标为 （2 ，3 ） ， （3，2） ， （ 3， 2） ；若以 D、O 、P 为顶点的三角形是等腰三角形， 则满足条件的点 P 的个数为 4 个 【考点】反比例函数综合题；等腰三角形的性质；平行四边形的性质 【分析】 （1）根据反比例函数的性质得 12m0，然后解不等式得到 m 的取值 范围； （2）根据平行四边形的性质得 ADOB ，AD=OB=2，易得 D 点坐标为 （2，3） ，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得 12m=6，则反比例函数 解析式为 y= ； 根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得点 D 关于原点的对称点 P 满足 OP=OD，则此时 P 点坐标为（ 2，3）
32、；再根据反比例函数 y= 的图象关于直线 y=x 对称，可得点 D（2，3 ）关于直线 y=x 对称点 P 满足 OP=OD，此时 P 点坐 标为（3，2） ，易得点（3，2）关于原点的对称点 P 也满足 OP=OD，此时 P 点 坐标为（3，2） ；由于以 D、O、P 为顶点的三角形是等腰三角形，所以以 D 点 为顶点可画出点 P1，P 2；以 O 点顶点可画出点 P3，P 4，如图 【解答】解：（1）根据题意得 12m0， 解得 m ； 第 24 页（共 30 页） （2）四边形 ABOD 为平行四边形， ADOB， AD=OB=2， 又A 点坐标为（0，3） ， D 点坐标为（ 2，3）
33、 ， 1 2m=23=6， 反比例函数解析式为 y= ； 反比例函数 y= 的图象关于原点中心对称， 当点 P 与点 D 关于原点对称，则 OD=OP，此时 P 点坐标为（ 2，3） ， 反比例函数 y= 的图象关于直线 y=x 对称， 点 P 与点 D（2，3）关于直线 y=x 对称时满足 OP=OD， 此时 P 点坐标为（ 3，2） ， 点（3，2）关于原点的对称点也满足 OP=OD， 此时 P 点坐标为（ 3，2） ， 综上所述，P 点的坐标为（2， 3） ， （3 ，2） ， （ 3，2） ； 由于以 D、O、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则以 D 点为圆心，DO 为半径 画弧交反比
34、例函数图象于点 P1，P 2，则点 P1，P 2 满足条件；以 O 点为圆心，OD 为半径画弧交反比例函数图象于点 P3，P 4，则点 P3，P 4 也满足条件，如图，作 线段 OD 的垂直平分线，与反比例函数的图象无交点 第 25 页（共 30 页） 23如图，AB 是O 的直径，C 是半圆 O 上的一点，AC 平分DAB 如图，AB 是 O 的直径，C 是半圆 O 上的一点，AC 平分DAB，ADCD，垂足为 D，AD 交 O 于 E，连接 CE （1）判断 CD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 E 是弧 AC 的中点， O 的半径为 1，求图中阴影部分的面积 【考点】直线与
35、圆的位置关系；角平分线的性质；扇形面积的计算 【分析】 （1）CD 与圆 O 相切，理由如下：由 AC 为角平分线得到一对角相等， 利用等角对等边得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角 相等两直线平行得到 OC 与 AD 平行，进而得到 OC 与 CD 垂直，即可得证； （2）连接 EB，交 OC 于 F，利用直径所对的圆周角为直角，以及切线的性质， 得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到 OC 与 AD 平行，由 O 为 AB 中点，得到 F 为 BE 中点，利用中位线定理求出 OF 的长，进而利用勾股定理 第 26 页（共 30 页） 求出 EF 的长，阴影部分面积
36、等于三角形 EDC 面积，求出即可 【解答】解：（1）CD 与圆 O 相切，理由如下： AC 为DAB 的平分线， DAC=BAC， OA=OC， OAC=OCA， DAC=OCA， OCAD ， ADCD ， OCCD， 则 CD 与圆 O 相切； （2）连接 EB，交 OC 于 F， AB 为直径， AEB=90， EB CD， CD 与O 相切，C 为切点， OCCD， OCAD ， 点 O 为 AB 的中点， OF 为ABE 的中位线， OF= AE= ，即 CF=DE= ， 在 RtOBF 中，根据勾股定理得：EF=FB=DC= ， 则 S 阴影 =SDEC = = 第 27 页（共
37、 30 页） 24如图，已知点 A（3，0） ，以 A 为圆心作A 与 Y 轴切于原点，与 x 轴的另 一个交点为 B，过 B 作A 的切线 l （1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及点 C（0，9） ，求此抛物线的解析式； （2）抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，过 D 作 A 的切线 DE，E 为切点，求此 切线长； （3）点 F 是切线 DE 上的一个动点，当BFD 与EAD 相似时，求出 BF 的长 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式， 然后将 C 点坐标代入求解即可 （2）由于 DE 是A 的切线，连接 AE，那
38、么根据切线的性质知 AEDE，在 RtAED 中，AE、AB 是圆的半径，即 AE=OA=AB=3，而 A、D 关于抛物线的对 称轴对称，即 AB=BD=3，由此可得到 AD 的长，进而可利用勾股定理求得切线 DE 的长 （3）若BFD 与 EAD相似，则有两种情况需要考虑： AED BFD，AEDFBD，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得 第 28 页（共 30 页） BF 的长 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x 6） 2+k； 抛物线经过点 A（3，0）和 C（0，9） ， ， 解得： ， （2）连接 AE； DE 是A 的切线， AED=90 ，AE=3， 直线 l 是抛物线的对称轴，点 A，D 是抛物线与 x 轴的交点， AB=BD=3， AD=6 ； 在 RtADE 中，DE 2=AD2AE2=6232=27， （3）当 BFED 时； AED= BFD=90，ADE=BDF， AED BFD， ， 即 ， ； 当 FBAD 时， AED= FBD=90，ADE=FDB， 第 29 页（共 30 页） AED FBD， ， 即 ； BF 的长为 或 第 30 页（共 30 页） 2017 年 2 月 14 日
