1、高等数学课程复习资料 一、填空题： 1.设 2)(xaxf，则函数的图形关于 对称。 2.若 2 sinyxx-01 ，则 )2(y . 3.极限 lim snx0 。 4.已知 2li2bax，则 a , b 。 5.已知 0时， 1)(3x与 cosx是等价无穷小，则常数 a= 6.设 2yzx，其中 可微，则 yz= 。 7.设 2ezux，其中 ),(xz由 0xz确定的隐函数，则 )1,0(xu 。 8.设 ,)()(1fyyfx具有二阶连续导数，则 yxz 2 。 9.函数 xf2,的可能极值点为 和 。 10.设 |)1(sin)(2yy则 yf(1,0) 。 11. xdsi2
2、 12. 0,cos,inyx在 区 间 上 曲 线 之 间 所 围 图 形 的 面 积 为 。 13.若 21de0xk，则 k 。 14.设： y ，则由估值不等式得 Ddxyx)14(2 15.设 D由 22,xy1围成（ 0x） ，则 ,fy在直角坐标系下的两种积分次序 为 和 。 16.设 为 0,yx，则 2Dfxyd的极坐标形式的二次积分为 。 17.设级数 12np 收敛，则常数 p的最大取值范围是 。 18. 064)!3!(dxx 。 19.方程 0122yxd的通解为 。 20微分方程 45的通解为 。 21.当 n= 时，方程 nyxqpy)( 为一阶线性微分方程。 2
3、2.若 阶矩阵 A的行列式为 *|3,A是 的伴随矩阵,则 *|A 。 23.设 A n与 B m均可逆，则 C=0B也可逆，且 1C 。 24.设 312，且 XE3，则 X = 。 25.矩阵 -403 的秩为 。 26.向量 =(-1,5),=(4-2,01),其内积为 。 27.n阶方阵 A的列向量组线性无关的充要条件是 。 28.给定向量组 312,ab，若 321,线性相关，则 a， b 满足 关系式 。 29.已知向量组()与由向量组()可相互线性表示，则 r()与 r()之间向量个数的大小关系是 。 30.向量 =(2,1)T 可以用 =(0,1)T 与 =(1,3)T 线性表
4、示为 。 31.方程组 Ax=0 有非零解是非齐次方程组 AB=b 有无穷组解的 条件。 32.设 A 为 mn 矩阵,非齐次线性方程组 Axb 有唯一解的充要条件是 r(A) r(A|b )= 。 33.已知 元线性方程组 Xb有解，且 nr)(，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 。 34.设 0是方阵 A 的一个特征值，则齐次线性方程组 0xAE0的 都是 A 的属于 0的特征向量。 35.若 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，-3，则 1的特征值为 。 36.设 A 是 n 阶方阵，|A|0, *为 A 的伴随矩阵,E 为 n 阶单位矩阵，若 A 有特征值 0,则 E23*必 有
5、特征值 = 。 37.， 分别为实对称矩阵 A的两个不同特征值 21,所对应的特征向量,则 与 的内积（ ,）= 。 38.二次型 32414321),(xxf的秩为 。 39.矩阵 0A= 为正定矩阵 ,则 的取值范围是 。 40.二次型 221231313(,)fxxtx是正定的,则 t的取值范围是 。 41.A、B、C 代表三事件，事件“A、B、C 至少有二个发生”可表示为 。 42.事件 A、B 相互独立，且知 0.2,.5PAB则 PAB 。 43.若随机事件 A 和 B 都不发生的概率为 p，则 A和 B至少有一个发生的概率为 。 44.在相同条件下，对目标独立地进行 5次射击，如
6、果每次射击命中率为 0.6，那么击中目标 k次的概率 为 (0k)。 45.设随机变量 X服从泊松分布，且 X=12，则 X=3= 。 46.设随机变量 X的分布密度为 0()xaf其 它 ，则 a= 。 47.若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为： Y X 1 2 1 1/16 3/16 2 ab 且 X，Y 相互独立，则常数 = ,b = 。 48.设 X的分布密度为 ()fx，则 3YX的分布密度为 。 49.二维随机变量（X，Y）的联合分布律为： Y X 1 2 1 0.2 2 0.3 则 与 应满足的条件是 ，当 X，Y 相互独立时， 。 50.设随机变量 X与 Y相互独立，且 N
7、(1,2)(0,)。令 Z=-Y+2X+3，则 ()DZ= 。 51.已知随机变量 X的数学期望 4E.令 Y2X3，则 Y= 。 二、单项选择题： 1.设 1)(xf，则 )(xf= A.x B.x + 1 C.x + 2 D.x + 3 2.下列函数中， （ ）不是基本初等函数。 A. xy)e( B. 2lny C. ycosin D. 5y 3.下列各对函数中， （ ）中的两个函数相等。 A. 2)1ln(xy与 xg)1l( B. 2lnxy与 xgl C. si与 cos D. )1(与 )1(y 4.设 )(f在 0处间断，则有 A. x在 处一定没有意义； B. )()(0xf
8、f; (即 )(lim)(li00xfxfx)； C. )(lim0xf不存在，或 )(li0xf； D.若 在 0处有定义，则 0时， )(0xf不是无穷小 5.函数 ,21)(xkxf 在 x = 0 处连续，则 k = A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.若 )1()xaef， 0为无穷间断点， 1x为可去间断点，则 a A.1 B.0 C.e D.e-1 7.函数 24xyz2 +y-的定义域为 A. 2x B. C. 2xy D. 24xy 8.二重极限 240limxy A.等于 0 B.等于 1 C.等于 12 D.不存在 9.利用变量替换 xyvu,，一定可以把方程 zyx
9、z化为新的方程 A. z B. z C. vu D. zuv 10若 )()xff，在 ),0(内 ,0)(,( xff则 )(xf在 )0,内 A. (0, B. C. )()fxf D. (),()fxf 11.设 0(f在 的某个邻域内连续 ,且 0)(f, 12sinlmx,则在点 0x处 )(f A.不可导 B.可导,且 )(f C.取得极大值 D.取得极小值 12.设函数 (),fxg是大于零的可导函数，且 ()()0fxgfx，则当 axb时，有 A. )(xbf B. )(gfa C. )(xf D. )(xf 13. ,)()(, FdtfxFxe则且是 连 续 函 数设 A
10、. )(xfefx B. )(xfefx C. )x D. )x 14.设 2,1(在f上具有连续导数，且 1(,1)2(,)1(2 dfff ，则 2 )(dxf A.2 B.1 C.-1 D.-2 15.设 baxf,)(在 上二阶可导，且 ()0,(),()0fxffx。记adfS 1 ， 2abfS， 23abS，则有 A. 32 B. 13 C. 21S D. 231S 16.设幂级数 1)(nnx 在 处收敛，则此级数在 x处 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性不能确定 17.下列命题中,正确的是 A.若级数 1nvu与 的一般项有 ),21(nvu则有 1nnvu
11、B.若正项级数 1n满足 11),(nn则 发散 C.若正项级数 1nu 收敛，则 lim1nu D.若幂级数 1nxa的收敛半径为 )0(R，则 Ran1lim。 18.设级数 12)(n 收敛，则级数 1na A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 19.微分方程 dyxdyx的通解是 A. lc B. lnxyc C. D. 20.设 ()yfx满足微分方程 50y，若 0,ffx，则函数 xf在点 0 A.取极大值 B.取极小值 C.附近单调增加 D.附近单调减少. 21.函数 在点 处的增量满足 21yxo且 0y，则 1y（D） A.2 B. C. 4e D. 4e
12、 22.若含有 s 个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为 r，则必有 A.r=s B.rs C.r=s+1 D.rs C.r=s+1 D.r0， 所以 =A，因而 P( |A)=P(A|A)=1，故选（ A） 35.离散型随机变量 X的分布列为 P X = k =a, k = 1,2,3,4.则 a( ) （A）0.05 （B）0.1 （C）0.2 （D）0.25 解：由概率分布性质可知，常数 a应满足 1)( 41k ， a+2a+3a+4a=1，即 有 a=0.1，故应选（ B） 。 36.设随机变量 X的分布函数为 ()arctn(,)Fxx为 常 数 则3P （ ） （A） 16
13、（B） 3 （C） 12 （D） 3 解： )(FxPaa3rctan13arctn1 21631 ，故应选（ C） 。 37.设随机变量 X服从 ,42NPX则 ，的值（ ） （A）随 增大而减小； （B）随 增大而增大； （C）随 增大而不变； （D）随 减少而增大. 解： X N(, 4) PX2+ =P )1(2，而)1 值不随 的变化而变化， PX2+ 值随 增大而不变，故应选（ C） 。 38.设随机变量 2(,)XN，则 Yab服从( ) （A） 2(,) （B） (0,1) （C） 2)(,baN （D）2(,Nab 解 选（ D） ， E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b
14、=a +b D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2 Y N(a+b， a2 )。 39.对目标进行 3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为 0.72， 则每次射击的命中率等于（ ） （A）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4 解：选（ D） ；由题意知： X B(3, p)，而 D(X)=3 p (1p)=0.72 p=0.4。 40.设随机变量 X的概率密度为 2 1|(),00|xafxa ，则 ()EX=( )。 （A）-1 （B）0 （C）1 （D）以上结论均不正确 解：选（ B） ； E(X)= dxadxf2)(，而被积函数为对
15、称区间上的 奇函数， E(X)=0。 三、解答题： 1.设 22()1ln)axfb 0 ，已知 ()fx在 0处连续可导， 试确立 a,并求 (fx 解： bxx lnlimli200， axxf200limi ， xf在 处连续， ln1ba，即 e,。 当 0x时， 22lnxxf ， 当 时， ， 当 0x时， 01lnim0lim20 xexfff xx ， 1lili 200 fff xx ，故,2ef 。 2.设 )sin,(xyfz, 其中 ),(vuf具有二阶连续偏导数，求 yxz 2 . 解： 21co2ffx, )sin(cos)sin( 2212121 xffxyfxf
16、fyz 22121 coii ffff . 3.设 0,)(2yxf 讨论 f(x,y)在（0，0） （1）偏导数是否存在。 （2）是否可微。 解：（1） 0lim)0,(),(lim)0,( xxfffxx 同理可得 ),(fy，偏导数存在。 （2）若函数 f在原点可微，则 2)0,(),0(),()0,( yxyfxffxdz 应是较 高阶的无穷小量，为此，考察极限 2)0,(,(0limlidzyx， 由前面所知，此极限不存在，因而函数 f在原点不可微。 4.在过点 )6,31(P的所有平面中,求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最 小。 解：设平面方程为 1CzByAx, 其
17、中 CBA,均为正 , 则它与三坐标平面围成 四面体的体积为 V6,且 163,令)(),( F ,则由16300CBAFBCA ，求得 18931CBA 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为 1893zyx, 且81936minV . 5. xd2cos0 解： 20 = 20sin1xxdsin1 21)(412cos00x 6. 2|dxy，其中 D为圆域 9xy。 解：将区域 分为 12,，其中2 21(,)|4(,)|49Dxyxyy 。于是1 2222 322004432|dd(4)d()()12DDxrr 7.设 (,)fxy在 12上连续，求证： 2201lim(,)(0,
18、)RxyRfdf。 证明： 22(,)|DxyR 由重积分中值定理， (,)D，使得 2(,)d(,)(,)fxyfyfy ，当0R 时， (,)(0,y 由 f 的连续性，知 0lim(,)(0,)kfyf，从而有： ),(li),(1li,li 0200 yfyfRdxfrryr 200lim,lim,(,)k Rfff 8.求幂级数 1)4(nnx 收敛区间及和函数 )(xS： 解： 1limli1aRnn ，所以， 14， 53x. 当 3x时，级数成为 1)(n ，由调和级数知发散； 当 5时，级数成为 1n，由交错级数的 Leibniz 判别法知此级数是收敛的. 所 以收敛区间为
19、,3(。 设 1)4)(nnxxS ，则 31)4(1)4()1)( xxxSnn ， 所以， )53( ),l(). 9.求解 ;01,32yxy 解：原方程可化为 22xd，两边积分得122lnl1ln1cy ，即 212,1cxy。由0 得 c，故 2xy即为所求。 10.求解 2)1(,tanyxy。 解：原式可化为 0tx，令 u，得 uxtan，即dusinco , 两边积分得 clsinl，即 xcsi，xy ，由 2)1(得 c， 故所求特解为 xysin。 11.求解 04y满足 .0, 解：特征方程为 142， 21,，故通解为 xeCy211，由0,0y 得 ,21C，故
20、 xey2为所求特解。 12.求解 xe23满足 ;10y 解：对应的齐次方程的通解为 xxeY2，设特解为 xAey*代入原方程 得 2A，故原方程通解为 xxxeCey21，由10,y 得 0,2， xe。 13.设二阶常系数线性微分方程 xey的一个特解为 xxey12，试 确定 ,，并求该方程的通解。 解：将 xxey12， xx12，e4 ，代入原方程得xx e12322 ，故 01234, ，方程为 xy23，故通解为xxx eeCy121 。 14.计算下列行列式 cos-ini 。 解： 2s -=cs+i=ino 1 15.计算下列行列式 14 3- 2 506 解： 2 1
21、4 1 4 56 23- 2=-30= -3 0 50656 16.证明： )()(133 bcabcacba 证： )()(1)()()(01112233 acbacbacbcba )()()()(01)( bcabcabacab 17.设 AX+E=A2+X，且 A= 12 ，求 X。 解：由 AX+E=A2+X，得(AE) X=A2E，而 AE 可逆，故 X=A+E= 2013 。 18.已知矩阵 210ba673，求常数 a，b。 解：因为 22b 673 所以 6,3a，得 b = 2。 19.将向量 表示成 21的线性组合： ),01(),(),(),(31 解：设 21kk，按分
22、量展开得到20321k 求解得到 ,2k，即 321 20.问 ， 取何值时，齐次方程组 0x231 有非零解？ 解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故 )1(000112 即 或 齐次方程组有非零解。 21.设线性方程组 213123xc 试问 c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。 解： 135021231ccA c01352 可见，当 c = 0 时，方程组有解。且 0513A 原方程组的一般解为 3215x （x 3是自由未知量） 22.求一个正交变换化下列二次型为标准型： （1） 323 214xf 解：对应的矩阵为 320A ， 0)1(5)( E 特
23、征值为 ,231 正交矩阵为 210P ，标准型为 23215yf 23.某工人看管甲、乙、丙 3台机器，在 1小时内，这 3台机器不需照管的概率分别为 0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在 1小时内：(1)有机床需 要工人照管的概率；(2)机床因无人照管而停工的概率. 解：(1)设 Ai 表示“甲、乙、丙三台机床无需照管 ”i=1, 2, 3，则有机床需要工人照 管的事件为 321，因而 6.098.1)()()( 32321 APP =0.568 (2)以 B 表示“机床因无人照看而停工” )()()()() 321321321321 APA =0.20.10.
24、6+0.20.90.4+0.80.10.4+0.20.10.4 =0.124 24.设随机变量 X的分布密度为 2()()1fxx求：(1)常数 A；(2)X 的 分布函数。 解： (1)由性质 )(dxf 即： 1arctn12 AA A= (2)由(1)知 f(x)= 2 F(x)= xdxdf21)( arctnarctn1x 2 (x+) 25.设二维随机变量（X，Y）在区域 201,y内服从均匀分布 .求 (1)（X，Y）的联合分布密度； (2)X与 Y的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？ 解：(1)区域 0x1，y 2x 的面积 A 由图如示： 则： 3/4dA 依题意有： 其
25、它其 它 ,0,14/3,0,1),( 22 xyxyyxf (2) 其 它,010,234),()( xydyxff xX 其 它,),1(),()(122 yxydxfyfY 其 它,0123)(xfX 其 它,01),(43)(2yyfY 又 ),()(xfyffYX X, Y 不相互独立. 26.设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 1,0()xfx其 它 ,0() yYef 求随机变量 ZXY 的概率密度函数. 解：设 Z 的密度函数为 fZ(z)，则由卷积公式得101)()( zYtxY tdfdzf 令 a)当 z0 时，f (t)=0，f Z(z)=0 b)当
26、 0z1 时， z-10，z0 ztz edtf 1)(1 c)当 z1 时，z -10 zzztZef )()(1 综述： 1,)1(0,)zefzZ 27.某工厂生产的一种设备的寿命 X（以年计）服从指数分布，密度函数为140()xf 为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台 设备，工厂获利 100元，而调换一台则损失 200元.求工厂出售一台设备赢利的数学 期望. 解：法一：P X1= 4 1141)(edxdxf ，设 Y 表示厂方出售一台设 备的赢利数，则 Y 的分布律为 Y 100 200 P 4 1e 4 1e E(Y)= 203)(201041 33.64。 法二：E( Y)= dxedxe14410) = 20324114104x 33.64。 28.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且 X和 Y分别服从正态分布 2(1,3)N(0,4)N和 ，X 与 Y的相关系数 ,Z,求 Z的数学期望 ()EZ和方 差 )DZ； 解：E(Z)= 310231)(2)(312YEX； D(Z)= ,covXDYX 3421341)(314391,2)()(22 YXY
