1、1 计算题 题型一：计算普通债券的久期和凸性 久期的概念公式： t NtWD1 其中，W t 是现金流时间的权重，是第 t 期现金流的现值占债券价格的比重。且 以上求出的久期是以期数为单位的，还要把它除以每年付息的次数，转化成以 年为单位的久期。 久期的简化公式： ycTyD1)(1 其中，c 表示每期票面利率，y 表示每期到期收益率， T 表示距到期日的期数。 凸性的计算公式： t NtWyC12)()( 其中，y 表示每期到期收益率；W t 是现金流时间的权重，是第 t 期现金流的现 值占债券价格的比重。且求出的凸性是以期数为单位的，需除以每年付息次数 的平方，转换成以年为单位的凸性。 2
2、 例一：面值为 100 元、票面利率为 8%的 3 年期债券，半年付息一次，下一次付 息在半年后，如果到期收益率（折现率）为 10%，计算它的久期和凸性。 每期现金流： 实际折现率：42%810C%5210 息票债券久期、凸性的计算 时间 （期数） 现金流 （元） 现金流的现值 （元） 权重 （W t） 时间权重 （tW t） (t2+t)Wt 1 4 8095.3%)1(0.0401 （ 43.8095 0.0401 0.0802 3 ） 2 4 6281.3%)51(0.0382 0.0764 0.2292 3 4 4.)(30.0364 0.1092 0.4368 4 4 2908.%)
3、51(40.0347 0.1388 0.6940 5 4 134.)5(0.0330 0.1650 0.9900 6 104 60.7%)1(0.8176 4.9056 34.3392 总计 94.9243 1 5.4351 36.7694 即，D=5.4351/2=2.7176 利用简化公式： （半年）439.5%1)5(4)461%5D 即，2.7175（年） 36.7694/（1.05） 2=33.3509 ； 以年为单位的凸性：C=33.3509/（2） 2=8.3377 4 利用凸性和久期的概念，计算当收益率变动 1 个基点（0.01%）时，该债券价 格的波动 利用修正久期的意义：
4、yDP*/ （年）581.2%17.*D 当收益率上升一个基点，从 10%提高到 10.01%时， ；%0259.1.58.2/ P 当收益率下降一个基点，从 10%下降到 9.99%时， 。%0259.)1.(58.2/ P 凸性与价格波动的关系： 2*1/ yCyDP 当收益率上升一个基点，从 10%提高到 10.01%时， ；%0259.)1.0(37.821%0.58.2/ 2P 当收益率下降一个基点，从 10%下降到 9.99%时， 5 %067.)1.(37.821%)0.(581.2/ 2P 又因为，债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感，所以凸性的 估计结果与真实价格
5、波动更为接近。 6 题型二：计算提前卖出的债券的总收益率 首先，利息+利息的利息= ；r 1 为每期再投资利率；1)(Cn 然后，有 债券的期末价值=利息+ 利息的利息+投资期末的债券价格； 其中， 投资期末的债券价格： ；N NNNtt rFrCrFCP )1()(1)()1( 2222 N 为投资期末距到期日的期数；r 2 为预期的投资期末的每期收益率。 例二：投资者用 905.53 元购买一种面值为 1000 元的 8 年期债券，票面利 率是 12%，半年付息一次，下一次付息在半年后，再投资利率为 8%。如果债券 持有到第 6 年（6 年后卖出），且卖出后 2 年的到期收益率为 10%，
6、求该债券 的总收益率。 解： 602%10C4281r%5210r 6 年内的利息+6 年内利息的利息 = 元5.901)(61 第 6 年末的债券价格= 元46.3%)51(5)(1044 所以， 7 6 年后的期末价值=901.55+1035.46=1937.01 元 总收益=1937.01-905.53=1031.48 元 半年期总收益率= %54.613.90712 总收益率=（1+6.54% ） 2-1=13.51% 8 题型三：或有免疫策略（求安全边际） 例三：银行有 100 万存款，5 年到期，最低回报率为 8%；现有购买一个票 面利率为 8%，按年付息，3 年到期的债券，且到期
7、收益率为 10%；求 1 年后的 安全边际。 解： 银行可接受的终值最小值：100(1+8%) 5=146.93 万元； 如果目前收益率稳定在 10%： 触碰线： 万元36.10%)(9.46 1 年后债券的价值 =1008%+ =104.53 万元；2%)10(81 安全边际：104.53-100.36=4.17 万元； A B 触碰线 9 所以，采取免疫策略为卖掉债券，将所得的 104.53 万元本息和重新投资于 期限为 4 年、到期收益率为 10%的债券。 债券年收益率= %8.110)(53.44 10 题型四：求逆浮动利率债券的价格 例四（付息日卖出）：已知浮动利率债券和逆浮动利率债
8、券的利率之和为 12%，两种债券面值都为 1 万，3 年到期。1 年后卖掉逆浮动利率债券，此时 市场折现率（适当收益率）为 8%，求逆浮动利率债券的价格。 解： 在确定逆浮动利率债券价格时，实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债 券构成一个投资组合，分别投资 1 万元在这两种债券上，则相当于购买了票面 利率为 6%、面值为 1 万元的两张债券。又因为在每个利息支付日，浮动利率 债券价格都等于其面值，所以逆浮动利率债券价格易求。 1 年后，算票面利率为 6%，面值为 1 万的债券价格347.96%)81(0)(62P 元 P 逆 =2P-P 浮 =29643.347-10000=9286.694 元
9、 题型五：关于美国公司债券的各种计算（债券面值 1000 美元、半年付息 一次）（YTM 实为一种折现率） 例五：现有一美国公司债券，息票利率为 8%，30 年到期，适当收益率为 6%，求债券现在的价值？ 解： 因为该债券面值为 1000 美元，每半年付息一次，所以： = + =1276.76 元60 601%)31()(4nnP 3)1(46060%)31( 例六：现有一美国公司债券，息票利率为 8%，30 年到期，假设现在的售 价为 676.77 美元，求债券到期收益率？ 11 解： 因为该债券面值为 1000 美元，每半年付息一次，所以： =60 601 )1()(47. YTMnn60
10、60)1()1(4YTMYT 通过上式求出该债券的半年期到期收益率为 6%，因此该债券的年到期收 益率为 6%2=12% 例七：美国债券市场上交易的一种零息债券，距到期日还有 10 年，到期 价值为 5000 元，年适当贴现率是 8%，计算该债券的价值。 解： 因为该债券半年付息一次，所以每期贴现率为 8%/2=4% n=20 P= =2281.93 元20%)41(5 例八：一种美国公司债券，票面利率是 10%，2008 年 4 月 1 日到期。每 年的 4 月 1 日和 10 月 1 日分别支付一次利息。如果投资者在 2003 年 7 月 10 日购买，该债券的适当贴现率是 6%，则该债券
11、的净价是多少？全价是多少？ （采用 360 天计算） 解： 2003 年 7 月 10 日距下一次利息支付日 10 月 1 日还有 81 天，且利息支付 期为半年，即 180 天。那么 n=81/180=0.45。 元79.18%)3(05)31(5.%)31(50)31(50 4.94.84.4. P 即该债券的净价为 1189.79 元 又因为距上一次付息日为 180-81=99 天，所以 12 元5.2718095AI 即该债券的全价为 27.5+1189.79=1217.29 元 例九：在美国债券市场上有一种 2 年期的零息债券，目前的市场价格为 857.34 元，计算该债券的年到期收
12、益率。 解： 因为该债券为票面价格为 1000 元，半年付息一次，所以：4)1(034.857YTM 通过上式求出该债券的半年到期收益率为 3.9%，因此该债券的年到期收益 率为 3.9%2=7.8% 例十：美国债券市场上有一种债券，票面利率为 10%，每年的 3 月 1 日和 9 月 1 日分别付息一次， 2005 年 3 月 1 日到期，2003 年 9 月 12 日的完整市场 价格为 1045 元，求它的年到期收益率。（按一年 360 天计算） 解： 2003 年 9 月 1 日距下一次利息支付日 2004 年 3 月 1 日还有 169 天，半年 支付一次。即 n=169/180=0.
13、9389 又因为全价=净价+ 应付利息 元06.318950AI 所以，净价=1045-3.06=1041.94 元 即， 938.2938.1938.0 )(05)(50)1(594.0 YTMYTYTM 该债券的半年到期收益率为 YTM=3.58% 年到期收益率为 3.58%2=7.16% 13 题型六：交税方法 例十一：一种 10 年期基金，票面利率为 6%、按年付息、持有到期。政府 对其收税，税率为 20%。现有两种交税方式： 一年一付； 到期时一起付； 问选择哪种交税方式更好？（改变哪个数值会造成相反的结果） 解：设在某年年初购买该基金；基金面值为 100 元； 市场适当收益率为 r
14、； 一年一付（年末付）： 每年年末应交： 元2.1%061 现值： rrPVnn001)(.)(2. 到期时一起付 总利息为：101.2=12 元 现值： 102)(rPV 若 ,则21% 所以： 当市场适当收益率为 1%时，两种交税方式都可以； 当市场适当收益率大于 1%时，选择到期一起付； 当市场适当收益率小于 1%时，选择一年一付。 14 附：课上提过的重点题 例十二：有一个债券组合，由三种半年付息的债券组成，下次付息均在半 年后，每种债券的相关资料如下： 债券名称 票面利率 到期时间 （年） 面值（元） 市场价格 （元） 到期收益率 （年率） A 6% 6 1000 951.68 7%
15、 B 5.5% 5 20 000 20 000 5.5% C 7.5% 4 10 000 9831.68 8% 求该债券组合的到期收益率。（步骤：1、列表 ；2 、列方程 ） 解： 若考试时试题未给出债券的市场价格，必须计算出来。 15 A： 12 12%)5.3(0)5.3(68.95nn B： （平价出售）10 10 )7.()7.2(2nn C： 8 81%)4()(356.93nn 该债券组合的总市场价值为： 951.68+20 000.00+9 831.68=30 783.36 元 列表：r 为债券组合的到期收益率 期数 A 的现金流 （元） B 的现金流 （元） C 的现金流 （元
16、） 债券组合的现 金流（元） 总现金流的现值 （元） 1 30 550 375 955 955/(1+r) 2 30 550 375 955 955/(1+r)2 3 30 550 375 955 955/(1+r)3 4 30 550 375 955 955/(1+r)4 5 30 550 375 955 955/(1+r)5 6 30 550 375 955 955/(1+r)6 7 30 550 375 955 955/(1+r)7 8 30 550 10 375 10 955 10955/(1+r)8 9 30 550 580 580/(1+r)9 10 30 20 550 20 58
17、0 20580/(1+r)10 11 30 30 30/(1+r)11 16 12 1030 1030 1030/(1+r)12 总市场价值 30 783.36 17 列方程： 1211098 7 )(03)()(258)1()(05)1(9536.078 rrrr %1.r 所以该债券的半年期到期收益率为 3.13%；其年到期收益率（内部回报率） 为 6.26%。 例十三：APR 与 EAR 的换算 公式： 1)(nAPRE 其中：EAR 为实际年利率；APR 为名义年利率； n 为一年中的计息次数； A 债券的年利率为 12%，半年支付一次利息。B 债券的年利率为 12%，每 季度支付一次
18、利息。C 债券的年利率为 10%，每季度支付一次利息。求这三种 债券的实际年收益率。 A： %36.121ER B： 5.4 C： %38.101EAR 注：名义利率一样，付息次数越多，实际收益率越大； 付息次数一样，名义利率越大，实际收益率越大。 18 例十四：求债券总收益或总收益率（与题型二对比 此题没有提前出售债券 这一条件 故较为简单） 此时，债券的期末价值=总的利息+ 利息的利息+债券面值 总收益 =债券实际总价值-购买债券时的价格 求总收益率： 公式：每期收益率=（期末价值/期初价值） 1/n-1 实际年收益率=（1+每期收益率） m-1 投资者用 1108.38 元购买一种 8
19、年后到期的债券，面值是 1000 元，票面 利率为 12%，每半年付息一次，下一次付息在半年后。假设债券被持有至到期 日，再投资利率等于到期收益率，分别计算该债券的利息、利息的利息以及总 收益、总收益率。 解： 半年期的 YTM=5%，即每期的16 16 )(0)(38.0YTMnn 再投资利率为 5% 利息+利息的利息 = 元45.19%5)1(60 6 该债券的利息=6016=960 元 19 利息的利息=1419.45-960=459.45 元 持有到期时债券的总价值=1419.45+1000=2419.45 元 总收益=2419.45-1108.38=1311.07 元 每期收益率=
20、%5138.042916 总收益率= .52 20 例十五：（资产组合的久期）一个债券组合由三种半年付息的债券构成， 求该债券组合的久期，并说明利率变动时价格的变化。 债券名称 面值（元） 票面利率 到期时间（年） 市场价格（元） YTM（年） A 1000 6% 6 951.68 7% B 20 000 5.5% 5 20000 5.5% C 10 000 7.5% 4 9831.68 8% 解：1.若没给出市场价格，先计算市场价格； 2.利用简化公式，求出各自的久期； 3.得出修正久期，算出总 D*； 4.假设利率变动，计算现在的价格。 久期的简化公式： ；yc TyD1)(1 分别计算出
21、 A、B、C 的久期： （半年）201.%5.31).(%3)(251. AD （半年）=4.9276（年） 852.9.310*A （半年） 87.%)75.21(75.21)(%. 10BD 21 （半年）=4.3201（年）6401.8%)75.21(*BD （半年）048.7%1475.3)75.3(8)1(4C （半年）=3.3887（年）.6%108.*CD 该债券组合的市场总价值等于 951.68+20000+9831.68=30783.36 元，债券 A 的 权重为 0.0309、债券 B 的权重为 0.6497、债券 C 的权重为 0.3194。因此，该债 券组合的久期为：
22、（年）041.39.87.649.0321.09.276.4* D 这表明当组合中的三种债券的年收益率都变动 1 个百分点时，组合的市场价值 将会变动 4.0414%。 22 例十六：如何构造理论上的即期利率曲线解鞋带的方法： 假设存在 5 种政府债券，期限分别从 1 年到 20 年。这些债券都是平价债券， 即价格与面值相等，等于 100 元。因为是平价债券，所以这些债券的到期收益 率与票面利率正好相等。 债券期限（年） YTM（票面利率） 即期利率（ ）nS 远期利率 （ ）nf,1 1 5% 5% 5% 2 5.1% 5.1026% 5.2052% 3 5.2% 5.207% 5.4161
23、% 4 5.35% 5.368% 5.8525% 5 5.45% 5.4763% 5.9106% 解： 在整个计算过程中，债券都被看做是一系列零息债券构成的债券组合，债券 的价格等于这些零息债券的价值总和；先求出即期利率，再利用 ，计算远期利率。1)(,1nnSf 1 年期债券的到期收益率就是 1 年期的即期利率，即 ；%51S 2 年期债券的现金流模式如下： 21)(.0)(.50 解得 、 ；%106.52S25.)1(22, Sf 3 年期债券的现金流模式如下： 321)1(.05)(.)(.0SS 解得 、 ；%207.53S%46.5)06.5(71)( 2 3233,2 Sf 23 4 年期债券的现金流模式如下： 4321 )1(5.0)(.5)(3.)(5.0SS 解得 、 ；%368.54S %85.)207.51(3644,3f 5 年期债券的现金流模式如下： 54321 )1(.0)(.5)1(4.)(5.)(4.0 SSS 解得 、%4763.5 %906.)68.5(7455,4f 根据以上计算，画图： 1 2 3 4 5 4.9000% 5.0000% 5.1000% 5.2000% 5.3000% 5.4000% 5.5000% 5.6000% 5.7000% 5.8000% 5.9000% 6.0000% 即期利率 远期利率
