1、反三角函数求导公式的证明 2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则 一、反函数的导数 设 )(yx是直接函数， )(xfy是它的反函数，假定 )(yx在 I内单调、 可导，而且 0，则反函数 在间 ,|xI内也是单调、 可导的，而且 )(1yxf (1) 证明： Ix，给 以增量 x),0(xI 由 )(fy 在 I 上的单调性可知 0)(xfxf 于是 y 1 因直接函数 )(yx在 I上单调、可导，故它是连续 的，且反函数 )(xf在 I上也是连续的，当 0x时，必有 0y)(1limli00yyx 即： )( 1yxf 【例 1】试证明下列基本导数公式 ().arcsin)().log)
2、l11232xtxa 证 1、设 yxsin为直接函数， xyarcsin是它的反函数 函数 si在 )2,(yI 上单调、可导，且 ycos0 因此，在 )1,(xI上， 有 ycos )arsin( 注意到，当 )2,(y 时， 0s， 221sin1coxyy 因此， 21 )arcsin(x 证 2设 xtgy， ),(I 则 arctx， ,)tgyx 在 I上单调、可导且 0cos12yx 故 22 21cos)(1( xytgtyarct 证 3 axa ayyx ln1l)(1log( 类似地，我们可以证明下列导数公式： (arcos)(ln)xxtg12 二、复合函数的求导法
3、则 如果 )(xu在点 0可导，而 )(ufy在点 )(00x可导，则复合函数fy 在点 可导，且导数为 )(00xufdxy 证明：因 )(lim00fxyu ，由极限与无穷小的关系，有 )0,()(0 时当 ufy 用 x去除上式两边得： xufy)(0 由 x在 的可导性有： 0u ， 0limli0ux)(limli00fxy xuxuf 00lili)(f 即 )(00xufdxy 上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述： 若 ux()在开区间 Ix可导， yfu()在开区间 Iu可导，且 xI时，对应 的 I，则复合函数 f在 Ix内可导，且dxuy (2) 复合函数求导法则是一个
4、非常重要的法则，特给出如下注记： 弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。 【例 2】 )(xfy，求 dy 引入中间变量， 设 v()， uv()，于是 yfu() 变量关系是 yux，由锁链规则有：dxvd (2)、用锁链规则求导的关键 引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完成后，应将 引入的中间变量代换成原自变量。 【例 3】求 yxsin2的导数 dy 。 解：设 u，则 ui， x2，由锁链规则有：dyxux(sin)(cos)cs2 【例 4】 设 tgxl2 ，求 dy 。 由锁链规则有 dx vuydx21cosv (基本初等函数求导)21cosxtg ( 消中间变量) xsin 由上例，不难发现复合函数求导窍门 中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中 有链”。 然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。 请看下面的演示过程： )2(cos12)(21)ln( xxtgtxgtdxy xxtxtg sincs)(cos212 【例 5】证明幂函数的导数公式 1)( ，( 为实数)。 证明：设 yxe xln1lnln)( xxx
