命题与证明的知识点总结.docx

1、 腾飞教育 1 命题、定理与证明的知识点总结 一、 知识结构梳理 二、知识点归类 知识点一 定义的概念 对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。如：“两点 之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。 注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些” 、 “大概” 、 “差不多”等 不能在定义中出现。 知识点二 命题的概念 叙述一件事情的句子（陈述句） ，要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命 如“你是一个学生” 、 “我们所使用是教科书是湘教版的”等。 注意：（1）命题必须是一个完整的句子。 （2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断

2、，二者缺一不可。 知识点三 命题的结构 每个命题都有题设和结论两部分组成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事 项。一般地，命题都可以写出“如果-，那么-”的形式。有的命题表面上看不具有 “如果-，那么 -”的形式，但可以写成这种形式。如： “对顶角相等” ，改写成“如 果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 。 例 把下列命题改写成“如果-，那么-”的形式，并指出条件与结论。 1、同角的余角相等 2、两点确定一条直线 知识点四 真命题与假命题 如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那 腾飞教育 2 么称它是假命题 注意：真、假命题的区别就在于其是

3、否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。 知识点五 证明及互逆命题的定义 1、 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理） ，得出它的结论成立，这个过程叫作证明。 注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不 满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。 2、 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题， 其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。 注意：一个命题为真 不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。 例 说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。 （1）直角三角形的两锐角互余； （2）全等三角形的

4、对应角相等。 类型一： 例、 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？ （1）对顶角相等； (2)画一个角等于已知角； (3)两直线平行，同位角相等； （） ， 两条直线平行吗? (5)鸟是动物； (6)若 ，求 的值； (7)若 ，则 思路点拨:通过本题熟悉命题的定义 解析：句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6) 没有对事情作出判断其中 (1)(3)(5)判 腾飞教育 3 断是正确的， （7）判断是错误的 【变式 1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题? (1)若 ab，则 ； (2)三角形的三条高交于一点；(3)在 ABC 中，

5、若 ABAC，则 CB 吗? (4)两点之间线段最短； (5)解方程 ； (6)123 【答案】 （1） （2） （4） （6）是命题， （3） （5）不是命题 类型二： 例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么 ”的形式： (1)三条边对应相等的两个三角形全等； (2)在同一个三角形中，等角对等边； (3)对顶角相等； (4)同角的余角相等； (5)三角形的内角和等于 180； (6)角平分线上的点到角的两边距离相等 思路点拨: 找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命 题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去 解析：（1） “三

6、条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这 句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等 ”，结论是“这两个三角形全等” 可以改写成“ 如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等 ” （2） “等角对等边含义” 是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成 “如果在同一个三角 形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 ”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件： “在一个三角形中” ，在改写时不能遗漏 （3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等 ”这个命题可以改写成“ 如果 两个角是对顶角，那么这两个角相等” （4）条件是

7、“两个角是同一个角的余角”，结论是“ 这两个角相等 ”这个命题可以改写成“ 如果 两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等” （5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于 180”这个命题 可以改写如果“ 三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于 180”； (6) “如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。 ” 总结升华：注意原命题中省略的重要内内容一定要补充完整。 【变式 1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些 命题的真假 (1)对顶角相等； (2)两直线平行，同位角相等； (3)若 a=0

8、，则 ab=0； (4)两条直线不平行，则一定相交； 【答案】(l)对顶角相等(真) ；相等的角是对顶角(假)；不是对顶角不相等( 假)；不相等的角不是 对顶角(真) (2)两直线平行，同位角相等( 真)；同位角相等，两直线平行(真) ； 两直线不平行，同位角不相等(真) ；同位角不相等，两直线不平行 (真) (3)若 a=0，则 ab=0(真)； 若 ab=0，则 a=0(假) ； 若 a0，则 ab0(假) ； 若 ab0，则 腾飞教育 4 a0(真) (4)两条直线不平行，则一定相交( 假)； 两条直线相交，则一定不平行(真) ； 两条直线平行，则一定不相交(真) ； 两条直线不相交，则

9、一定平行 (假) 【变式 2】判断正误： (1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 （ ） (2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。 （ ） (3)如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。 （ ） (4)如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角。 （ ） (5)如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。 （ ） (6)如果两个角的和是 180，那么这两个角是邻补角。 （ ） (7)对顶角的角平分线在同一条直线上。 （ ） (8)如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。 【答案】：(1)；(2)； (3)；(4)；(5)；(6)；(7

10、)；(8) 。 注：判断题如果是正确的命题需要加以说明或论证，找出依据，如果是错误的命题，只要举出 一个反例即可。 知识点六 公理与定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原 始依据，这样的真命题叫做公理。以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假， 已经判断为真的命题称为定理。 注意：（1）公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明； (2 ) 定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。 例 填空：（1）同位角相等，则两直线 ；（2）平面内两条不重合的直线的位 置关系是 ；（3） 四边形是平行四边形。 知识点七 互

11、逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定 理。 注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。如：“对顶角相等”就没逆定 理。 知识点八 证明的含义 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理） ，得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这 个过程叫做证明。推理证明的必要性：判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够 的，必须一步一步，有理有据地进行推理。 证明命题的步骤：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证 腾飞教育 5 明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以 是定义、

12、公理，在此以前学过的定理。 （证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分 清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“ 证明”中 写出推理过程） 证明的四个注意 (1)注意：公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命 题： 公理可以作为判定其他命题真假的根据. (2)注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真 命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题. 这些被选作定理的真命题，在教科书中是 用黑体字排印的. (3)注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。如“两直线平 行，

13、同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法. 只能测量有限个两平行直线的同位角是 相等的. 但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的 同位角相等. (4)注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. 论据必须是真命题，如；定 义、公理、已经学过的定理和已知条件；论据的真实性不能依赖于论证的真实性；论据 应是论题的充足理由. 例 1. 证明：两直线平行，内错角相等。 已知：ab,c 是截线 求证：1=2 分析：要证1=2 只要证3=2 即可，因为3 与1 是对顶角，根据平行线的性质，易得出3=2 证明：ab( 已知) 3=2(两直线平行，同位角相等) 1=

14、3(对顶角相等) 1=2( 等量代换) 例 2. 如图所示，已知：A=F，C=D ，求证：BD CE 分析：要证 BDCE，只需证得 D=CEF 或D+CED=180即可，由于C=D， 因此只要C=CEF 或C+CED=180，这就需要有 ACDF，由已知条件中的 A= F，可以得出 ACDF，故此题可证 证明：A=F(已知) ACDF(内错角相等，两直线平行) C=CEF(两直线平行，内错角相等 ) 又D=C(已知) D= CEF( 等量代换) BDCE(同位角相等，两直线平行) 【变式】 已知：如图正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点， F 为 BC 延长线上一点，且 CECF （

15、1）求证：BCEDCF 腾飞教育 6 （2）若FDC30，求BEF 的度数。 A D E B C F 知识点九 反证法 反证法：在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得 出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾的结论，从而得出假设命题不成立是错 误的，即所求证的命题成立，这种证明方法叫做反正法。 反证法的基本步骤：1.假设命题的结论不成立 2.从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾。 3.有矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 结论的反面不止一种情形的反证法：应用反证法证明命题时，首先要分清命题的题设和结论， 再全面地否定结论，如果结论的反面不止一种情

16、形，那么必须把各种可能性都列出来，并且在逐 一加以否定之后，才能肯定原结论正确。 例 1、已知：如右图，直线 l1，l 2，l 3 在同一平面内，且 l1l 2，1 3 与 11 相交于点 P. 求证：1 3 与 l2 相交 （使用反证法） 思路点拨:仔细阅读反证法的定义，掌握这种方法的规律。 解析：证明：假设， 1 3 与 l2 不相交 ， 即 l 3 l 2 ， 又 l 1 l 2 （已知） ， 过直线 12 外一点 P 有两条直线 11,13 与直线 12 平行， 这与“ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ”相矛盾， 假设不成立，即求证的命题成立， 1 3 与 12 相交 【

17、变式 1】用反证法证明 不是有理数 【变式 2】我们年级有 367 名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日 腾飞教育 7 巩固训练 1.把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果,那么”的形式是 _. 2.命题“如果 2ab ,那么 ab”的逆命题是_. 3.命题“三个角对应相等的两个三角形全等”是一个_命题(填“真”或“假”). 腾飞教育 8 4.如图,已知梯形 ABCD 中, ADBC, AD3, ABCD4, BC7,则B_. 5.用反证法证明“b 1b 2”时,应先假设_. 6.下列语句中,不是命题的是（ ） A.直角都等于 90 B.面积相等的两个三角形全等 C

18、.互补的两个角不相等 D.作线段 AB 7.下列命题是真命题的是（ ） A.两个等腰三角形全等 B.等腰三角形底边中点到两腰距离相等 C.同位角相等 D.两边和一角对应相等的两个三角形全等 8.下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A.两直线平行同位角相等 B.对顶角相等 C.若 ab,则 2 D.若 (1)ax, 则 1x 9.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.面积相等 10.ABC 的三边长 ,abc满足关系式 ()()0abca，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定 11.如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，若 EB 的长为 1， EC 的长为 2，那么正方形 ABCD 的面积是（ ） 腾飞教育 9 A. 3 B. 5 C.3 D.5 12、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一个反例说明. （1）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形. （2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形.