1、专科起点升本科高等数学（二）知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） 一般形式的定义域：xRcbay k2 （2） 分式形式的定义域：x0 （3） 根式的形式定义域：x0y （4） 对数形式的定义域：x0alog 二、函数的性质 1、函数的单调性 当 时，恒有 ， 在 所在的区间上是增加的。2x)(21xfff21x， 当 时，恒有 ， 在 所在的区间上是减少的。1， 2、 函数的奇偶性 定义：设函数 的定义区间 关于坐标原点对称（即若 ，则有 ）)(xfyDDxx (1) 偶函数 ，恒有 。)(xff (2) 奇函数 ，恒有 。)(xf 三、基本初等函数 1、常数函数
2、： ，定义域是 ，图形是一条平行于 轴的直线。cy),(x 2、幂函数： ， ( 是常数) 。它的定义域随着 的不同而不同。图形过原点。uxu 3、指数函数 定义: ， ( 是常数且 ， ).图形过（0,1）点。xafy)( 0a1 4、对数函数 定义: ， ( 是常数且 ， )。图形过（1,0）点。xfyalog)(0a1 5、三角函数 (1) 正弦函数: sin ， ， 。2T),()fD1,)(Df (2) 余弦函数: .xycos ， ， 。),()f ,)(f (3) 正切函数: .tan ， ， .T ,2)1(,|)( ZRkxfD),()Df (4) 余切函数: .ycot ，
3、 ， .,|)(kxf ),()f 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: ， ， 。ysinarc1,)(fD2,)(f (2) 反余弦函数: ， ， 。 xo0 (3) 反正切函数: ， ， 。yarct ),()f ),(Df (4) 反余切函数: ， ， 。xD 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。 ”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直 接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。 二、函数极
4、限的四则运算法则 设 ， ，则AuxlimBvxli （1） Auxlim)( （2） . vvxxlili 推论 （a) ， ( 为常数)。Cxxli)(li （b） nnum （3） ， ( ).BAvuxxlili 0 （4）设 为多项式 ， 则)(Pnnaxa10 )(lim00xPx （5）设 均为多项式， 且 ， 则 ,xQ)(Q)(li00Qx 三、等价无穷小 常用的等价无穷小量代换有：当 时， ， ， ， ， ，0xxsintaxrctanxrcsinx)1l( ， 。xex121cos 对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当 时， ，其余类似。0 si 四、两个重
5、要极限 重要极限 I 。1sinlm0x 它可以用下面更直观的结构式表示： 1 sinl0 重要极限 II 。exx1li 其结构可以表示为： lim 八、洛必达(LHospital)法则 “ ”型和“ ”型不定式，存在有 （或 ） 。0Axgfxfaa)(lim)(li 一元函数微分学 一、导数的定义 设函数 在点 的某一邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，)(xfy0 x0xx0 相应地函数 取得增量 。如果当 时，函数的增量 与自变量 的增量之比的极)(00fxfyy 限 = = 注意两个符号 和 在题目中可能换成其他的符号表示。0limxy0lixxff)(
6、0）（ 0f x0 二、求导公式 1、基本初等函数的导数公式 （1） ( 为常数) 0)(C （2） （ 为任意常数）1x （3） 特殊情况 aln)( ),(xe)( （4） ， axexalnogl1,0(ax1)(ln （5） cs)(si （6） xi （7） 2cos1)(tan （8） xxi （9） 21)(arcsin)( （10） )1()(ro2 xx （11） 21)(arctnx （12） o 2、导数的四则运算公式 （1） )()(xvuxvu （2） （3） （ 为常数） k （4） )()(2xvuxvu 3、复合函数求导公式：设 , ，且 及 都可导，则复合函数
7、 的导数为fy)(xu)(ufx)(xfy 。)(.xufdxy 三、导数的应用 1、函数的单调性 则 在 内严格单调增加。0)(xf)(f,ba 则 在 内严格单调减少。 2、函数的极值 的点函数 的驻点。设为0)(xf )(xf0x （1）若 时， ； 时， ，则 为 的极大值点。0f0)(f)(0xff （2）若 时， ； 时， ，则 为 的极小值点。0x)(x （3）如果 在 的两侧的符号相同，那么 不是极值点。f )(0xf 3、曲线的凹凸性 ，则曲线 在 内是凹的。0)(xf )(xfy,ba ，则曲线 在 内是凸的。 4、曲线的拐点 （1）当 在 的左、右两侧异号时，点 为曲线
8、的拐点，此时 .)(xf0 )(,0xf)(xfy0)(xf （2）当 在 的左、右两侧同号时，点 不为曲线 的拐点。 5、函数的最大值与最小值 极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。 四、微分公式 ，求微分就是求导数。dxfy)( 一元函数积分学 一、不定积分 1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C 的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。 2、不定积分的性质 （1） 或)()(xfdf dxffd)()( （2） 或CF CF （3） 。 dxxfxxf )()()()()( （4） （ 为常数且 ） 。dfkk0 2、基本积分公式（要求熟练记忆） （1） Cd
9、x0 （2） .)1(1aa （3） . xln （4） Cdxl ),0( （5） ex （6） cossin （7） Cxdi （8） .tacos12 （9） . xcin （10） .Cdarsin12 （11） .Cxdxarctn12 3、第一类换元积分法 对不定微分 ，将被积表达式 凑成g)(dxg)( ，这是关键的一步。)( fdxfdx 常用的凑微分的公式有： （1） )()(1)( bafabf （2） )(xdfkdxx kkkk （3） ff21)( （4） xdfxf 1)(2 （5） )(xee （6） )(ln1lnff （7） siicos)(i xdx （8）
10、 )(coff （9） tantcos1)(tan2xx （10） )(cidfdf （11） )arsinrsi1)(arcsn2 xfxxf （12） )(rco)(r)(ro2dfdxf （13） atnct1actn2 xff （14） )(l)( xdx)0( 4、分部积分法vuud 二、定积分公式 1、 （牛顿莱布尼茨公式） 如果 是连续函数 在区间 上的任意一个原函数，则有)(xF)(xf,ba 。)()( aFbdxfba 2、计算平面图形的面积 如果某平面图形是由两条连续曲线 )(),(21xfyg 及两条直线 和 所围成的（其中 是下面ax1b21y 的曲线， 是 上面的曲
11、线） ，则其面积可由下式求出： .)(dgfSba 3、计算旋转体的体积 设某立体是由连续曲线 和直线 及 轴所围平面图形绕 轴旋转一周所形)0()xfy )(,baxxx 成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积 可由下式求出：V.)()(22dfdxfVbabax 多元函数微分学 1、 偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。 2、全微分公式： 。yBxAydfz),( 3、复合函数的偏导数利用函数结构图 如果 、 在点 处存在连续的偏导数 ， ， ， ，且在对应于 的点),(xu),(v),( xuyxvy),(yx 处，函数 存在连续的偏导数 ， ，则复合函数 在点 处存在对),(v
12、,fzuzv),(,fz, 及 的连续偏导数，且xy ， 。xvuz yvzuy 4、隐函数的导数 对于方程 所确定的隐函数 ，可以由下列公式求出 对 的导数 ：0),(yxF)(xfyyxy ，),( yy )(xfy)(gy a o b x o a x x+dx b x y (f 2、隐函数的偏导数 对于由方程 所确定的隐函数 ，可用下列公式求偏导数：0),(zyxF),(yxfz ， ，),( xzzx),(yxFz 5、二元函数的极值 设函数 在点 的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且),(0yxf),(0 ， 又设 ， ， ，),(0fx y Ayxf),(0 Byxf),(0 Cyxf),(0 则： （1）当 时，函数 在点 处取得极值，且当2ACB),(f),(0A 时有极大值，当 时有极小值。0 （2）当 时，函数 在点 处无极值。2 ),(yxf),(0 （3）当 时，函数 在点 处是否有极值不能确定，要用其它方法另作讨论。 概率常识 1、 数学期望 。 1)(iipxXE 2、方差 。2)()(D 方差的算术平方根称为均方差或标准差，记为 ，即)(X 。iXEX2)()()(
