1、1 第一章 第三章 一、极限 数列极限 limnx 函数极限 ， ，()xfli()xflim()xf ， ，0li00 求极限（主要方法）： （） 10 0sin1lm1,li(),li()xxxx xee （）等价无穷小替换（P76） 。当 时， 2 ()() sin(),tan(),arcsin,arctn(),11col),1()l0),(10xx x xea 代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。 （3）洛必达法则（ ） ，只有 可以直接用罗比达法则。0,0,0 幂指函数求极限： ；()lim()lnlivxvxuue 或，令 ，两边取对数 ，若 ，则()vxyll()ylim()l
2、nvxua 。()limvxaue 结合变上限函数求极限。 二、连续 00li()xfx 左、右连续 0 00(),lim()xxffx 函数连续 函数既左连续又右连续 闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题） ，介值，推论。 三、导数 0000()()()lilix xffxffA 左导数 00000()()()limlimx xfffxf A 2 右导数 00000()()()limlimx xffxff A 微分 (yAzdyd 可导 连续 可导 可微 可导 既左可导又右可导 求导数： （） 复合函数链式法则 ()()dyuyfugxfgxx()()f f （） 隐函数求导法
3、则 两边对 求导，注意 、 是 的函数。xyx （3）参数方程求导 ()()()/dtxtytxt2()()dtydtx 四、导数的应用 （）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题） （）单调性（导数符号） ，极值（第一充分条件和第二充分条件） ，最值。 （3）凹凸性（二阶导数符号） ，拐点（曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同 凹凸性） 。 第四章 不定积分 原函数 不定积分 ()(Fxf()()fxdFC 基本性质 或 )dfxfx 或()(c ().dx (分项积分)fxgfg d()kx 基本积分公式 (1) ; (2) xC 1 (d)xxC 3 (3) (4) 1ln|dxC dxe
4、C (5) (6) lxacosin (7) (8) dsincosx 2etadx (9) (10) 2tCscnsecxC (11) (12) dxcsocs 2ari1x (13) 2artn1 除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式 1. 2. tl|cos|;xdxC cotln|si|;xdxC 3. 4. secn|eta|s|cot| 5. 6. 21rct;xdxa 2arsin;xx 7. 8. 2ln;aCxx 22rci;xdaC 9. 22l|.da 求不定积分的方法 1 直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。 2 换元法：第一类换元法（
5、凑微分法） ()()()()d.fxfuFCx 第二类换元法（变量代换法） （注意回代）()()()().fftt 换元的思想： () () ()()().ddxt ftdt txfftgtFC 主要有幂代换、三角代换、倒代换 3 分部积分法 uvxuvvux 的优先选取顺序为：指数函数；三角函数；幂函数 4 第五章 定积分 一、概念 1. 定义 011()lim(),axnbi ia infxdf 2. 性质： 设 、 在 区间上可积，则定积分有以下的性质.fgba, (1). ；bdxa (2). ；babadxgnxfmdxnmf )()( (3). ；ccaba dfx)()( (4)
6、. 若在 上， ，则 ；,0x0)(baxf 推论 1. 若在 上， ，则,bfg()()bbaafdxgx 推论 2. （ ）aadxdxf|)(|)(| (5). 若函数 在区间 上可积，且 ，则, Mfm)()()( abxfbba (6).（定积分中值定理） 设 在区间 上连续，则存在 ，使xf, b, fdba)( 3. 积分上限函数 及其性质()xaftd (1) ，或 xftfxa)(；( (2)如果 ，则 .)(0xtf )()0dtxf (3). 如果 ,()xd 则 .()ftfxfx 4. 广义积分 (1). 无穷限积分 afxdlimtatfxd收 敛 （ 极 限 存
7、在 ）发 散 （ 极 限 不 存 在 ） 5 bdxflimbttfxd收 敛 （ 极 限 存 在 ）发 散 （ 极 限 不 存 在 ） 收敛的充分必要条件是反常积分 、 同时收敛，xf 0fxd0fxd 并且在收敛时，有 dxf0f0f (2). 瑕积分 为瑕点 alimbbaatff收 敛 （ 极 限 存 在 ）发 散 （ 极 限 不 存 在 ） 为瑕点 blibbaatfxdfxd收 敛 （ 极 限 存 在 ）发 散 （ 极 限 不 存 在 ） 为瑕点 则 收敛 与 均收敛，并且在收敛时，有cbafcafbcdxfbadxf 二、计算 （一） 定积分的计算 1、微积分基本公式：设函数 在
8、区间 上连续，且 ，则xfba,xfF ， 牛顿-莱布尼兹（N-L）公式Fdfba)( 2、换元法：设函数 在区间 上连续，函数 满足：x, tx 在区间 上可导，且 连续；,t ， ，当 时， ，则ab,bax,dttfdxfa )( 3、分部积分法： ， 或 |bbauvuvx|bbaauvvdu 4、偶倍奇零： 设函数 在区间 上连续，则xf,0()2()aafxffdfd 5、 2200cossin xxdn 12!)12(!)( knk 6 6、分段函数的定积分。 （二） 与积分上限函数相关的计算 （三） 广义积分的计算（依据定义先求原函数，再求极限） 三、定积分的应用 （一）几何应
9、用 1、 平面图形的面积 （1）直角坐标 ， ba(),|(dd)| dxbbaaAfxfxg（ 上 曲 线 下 曲 线 ） 或 |()y|yyddcc cAy（ 右 曲 线 左 曲 线 ） （2）参数方程 若 与 及 x 轴所围成的面积 ，()xt,b()Atdt 分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值。, （3）极坐标 由曲线 所围的曲边扇形(),()r 的面积 21.Ad 2、 旋转体的体积 （1）直角坐标:由曲线 与 轴所围曲边梯形绕 轴旋转一 (),()yfxabxx 周的旋转体的体积 22().baaVfdfd 由曲线 与 轴所围曲边梯形绕 轴旋转一周(),()xycyy
10、的旋转体的体积 22().ddcc （2）参数方程 由 与 及 x 轴所围成的图形绕 x 由旋转一周的旋转()xty,ab 体的体积 2()Vtdt 3、平面曲线的弧长（积分限从小到大） （1）直角坐标 21()basfx （2）参数方程 tytd （3）极坐标 22()()sr （二）物理应用 （步骤：建立坐标系，选择积分变量，求出功的微元或压力微元，求定积分） 7 x O a a x y 2 a O x y O aa a O x y a a a 阿基米德螺线 心形线 )cos1(r 双纽线 摆线 2cos2ar)cos1(inayx 第六章 微分方程 一 、内容小结： （一） 、概念：微分
11、方程；阶；通解；特解；初始条件；初值问题；线性相关；线性无关 （二） 、解的结构 齐次线性 ()0(*)yPxQy 非齐次线性 fx 1、 是（*）的解，则 也是(*)的解；若 线性无关，则2,y12yCy12,y 为（*）的通解）12C 2、 是（* *）的解，则 是对应齐次线性方程的解2,y12*y 是（*）的通解， 是（* *）的解，则 是（* *）的通解YYy (三)、解方程：判别类型，确定解法。一阶，二阶。 二、一阶微分方程求解 8 1、可分离变量方程 或 或 ()yfxgy()()dyfx12()()0MxNydxyd 解法：先分离变量,两边再同时积分 2、齐次方程 则()yfx解
12、 法 ： 令 ,uxyux 或者 解法： df令 ,d 3、一阶线性微分方程 齐次线性 ()()0(PxdyPxyCe 非齐次线性 ()() ) )xPxdQQeC 三、二阶微分方程求解 (一)、可降阶情形 1、 ()yfx 2、不显含 y 的二阶方程 (,)yfx 解法： , (,)ppfx令 则 原 方 程 化 为 3、不显含 x 的二阶方程 (,)yf 解法： , (,)ddyppfy令 则 原 方 程 化 为 (二)、二阶线性微分方程 1、二阶常系数齐次线性微分方程 （其中 为常数）0(*)yq,pq 特征方程 20rpq 特征根 12, 且为实根,则微分方程通解为 12r12rxrxyCe 为相等实根,则微分方程通解为 p12()rxe 为一对共轭复根,则微分方程通解为 1,2ri 2cosin)yCx 2、二阶常系数非齐次线性微分方程 ,（ 为常数， 是 m 次多项式）()*)xmypqPe()Px 9 其具有特解形式 其中 为与 同次的多项式,(),kxmyQe()m()Px012不 是 特 征 根是 特 征 单 根是 特 征 二 重 根
