1、第二章 一元函数微分学 2.1 导数与微分 一、主要内容 导数的概念 1导数： 在 的某个邻域内有定义，)(xfy0 x ffxxx )()(limli 0000 0 )()(li0xffx 00 )(0xx dyfy 2左导数： 00 )()(lim)(0 xffxfx 右导数： 00 )()(li)(0 xfffx 定理： 在 的左（或右）邻域上连续在)(xf0 其内可导，且极限存在； 则： )(lim)(00 xfxfx （或： ） )(lim)(00 xfxfx 3.函数可导的必要条件： 定理： 在 处可导 在 处连续)(xf0)(xf0 4. 函数可导的充要条件： 定理： 存在)(0
2、0xfyx ，)()(00ff 且存在。 5.导函数： ),(xfy ),(ba 在 内处处可导。 y )(xf),(ba)(0xf )(xf 6.导数的几何性质： 是曲线 上点 )(0xf )(xfyx 处切线的斜率。 o x0 x0,M 求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o vuvu)（ 2o （ 3o 2v uvu )0(v 3.复合函数的导数： )(),(),( xfyxufy ，或 dxu ydx )()()( xff 注意 与 的区别：)(xf )(f 表示复合函数对自变量 求导；)(fx 表示复合函数对中间变量 求导。)(xf )( 4.高阶导数： )(),(
3、),( )3xfxff 或 )4,2(,)()( )1() nfxfnn 函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。 微分的概念 1.微分： 在 的某个邻域内有定义，)(xf )(xoxAy 其中： 与 无关， 是比 较高)(x)(x 阶的无穷小量，即： 0)(lim0xox 则称 在 处可微，记作：)(fy xAd dxAdy)( )0(x 2.导数与微分的等价关系： 定理： 在 处可微 在 处可导，)(xf )(f 且： )()(xAxf 3.微分形式不变性： dufdy)( 不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的 微分 都具有相同的形式。y 一、 例题分析 例 1.设 存在，且 ，
4、)(xf 1)()2(lim000 xxfxfx 则 等于)(0f A.1, B.0, C.2, D. . 2 1 解： x xfxfx )()(lim000 1)(22)()(li2 0000 xfxffx （应选 D）2 1)(0xf 例 2设 其中 在 处),()()( 22xaxf )(xa 连续；求 。)(af 解： ax fffax)()(lim)( ax aax )()()()(li 2222 )()(lim)()(lim xaxaxaxax )(2 误解： )()()()( 22xaxxf )(2)()()(2)( 22 aaaf 结果虽然相同，但步骤是错 的。因 为已知条件并
5、没说 可导，所以)(x 不一定存在。)(x 例 3设 在 处可导，且 ，求：)(f12)1(f 1 )34lim1xx 解：设 )4(,343 1txt 当 时，1xt 1)4( (lim1)()34(lim311 tffxff tx 623)1(31)()(li31 ftfft 例 4设 是可导的奇函数，且 ，)(xf 0)(0kxf 则 等于：)(0f A. , B. , C. , D. . kkk 1 解： )()(xfxf )()()( xff xfx (应选 A)kf )()(00 （结论：可导奇函数的导数是偶函数； 可导偶函数的导数是奇函数。 ） 例 5设 在 处是否可导？ 12)
6、(2xxf 1x 解法一： )1(1xf 2)1(lim)(lim211 fxx )(li)(li 11 xfxx 在 处连续)(f 12lim1)()(lim)1( 211 xxfff xx 2)(li1li 121 xxx 2lim12lim1)()(lim)( 111 xxxxfff 2)()()1( fff 在 处可导。xf1 解法二： 22)(1xf 2)1(lim)(lim211 fxx 2)(lim)(lim11 xxfxx 在 处连续)(f 当 时，1x 12)(xxf 2lim)(lim)( 11 ff xx li)(li)( 11 xxff 2)()()1( fff 在 处
7、可导。xf 例 6设 01)(2xaebxf 求 a,b 的值，使 处处可导。)(xf 解： 的定义域：)(xf ),( 当 时，0 是初等函数，在 内有定义，bxf1)( )0,( 不论 a 和 b 为何值， 在 内连续；)(f),( 当 时，0x 是初等函数，在 内有定义， xaef2)(),0( 不论 a 和 b 为何值， 在 内连续；)(f),( 1)1()0( 0xbf )(lim)(lim00 bxfxx aaef xxx 200li)(li 只有当 时， 在 处连续；1a)(f0x 当 时， 处处连续；)(xf 当 时，0a 可 导可 导0202)( 1 xebxaebxf xx
8、a bxff xx 00lim)(lim)0( 22li)(li)( 00 xxx eff 只有当 时， 在 处可导；2b)(f 当 ， 处处可导。,1a)(xf 例 7求下列函数的导数 )21ln(cosxy 解： xvuy 21lncos dxvduyx )21ln(si2121sin xxv )arctn(ta2xy 解： )rt(t 2 )(tan)(tan12)(tan)(tan1 222 xxxx xxx442cossin2i)(tan1sec2 xxy2tan0 解： )2tan(10ln)1( 2tan2tan xxxxx )sec(ta0l 2taxxx （ 为常数） 222
9、ryxr 解法一： 22xry 222222 )()( xrry 22xr 解法二: )()( 222 yx 0 22xry xy )cos(xyy 解法一： )()sin()( xy)()sin(yxxy )sin(1ixyy 解法二:设 )cos(),(yxF )sin(1),sin( xyFxyx )sin(1xy yFdxyyx yxylnln 解法一： )l()l( yxxyx lnln 2lnlnxxyyxyyyxy 解法二:设 yFll),( yxFyxyyx ln,ln 2lnlnxxyyFdxyyxyyx 3 )2)(1(xy 解：（对数法） 3)2)(1(lnl xy )3
10、ln()2ln()1l(21 x)l()l()l()(ln21 xxy )31211(21 xxxy 3)2)(1()31211(2 xxxxy xy 解法一：（对数法） xxylnlnln1ll1 xxy )1(lnxy 解法二：（指数法） xxx eey lnln )ln()(lnln xeeyxx )1(lxx xxy cos)(sin2 解法一：（对数法） 设 xxyy cos21 )(si, 2121 , y xxy lnlnlnln1 )2(l21l2 xxxy )2(ln)2(ln2 21 xxxy xxysilcosln2 xxxy sincosinlsin12 )silsic
11、ot(s)(sincos2 xxxxyx 21y )sinlsincot(s)(sin)1(lncos21 xxxxxx x 解法二：（指数法） xxxeey sinlcoln2 )sinl(cos)l( sinlcosln xxexxx )sinlsict(s)(sin)1(lncos21 xxxxxx x yxy 解法一： xlnln xyxyyll 2lnxxyyy 解法二：设 xyxF),( yxyxyx xxyxy )ln(lnln1 yxyxyy xyyxyxF )ln(lnln1 2ln)ln( xxy yxyFdxy yyxyyyx 例 8已知 ，求 。 fsi)( )(f 解
12、：设 2,txt 2sin)(ttf 2i)(xxf 22cos)(cos)( xf 例 9求下列函数的二阶导数 )1ln(2xy 解： 21xy 222 )1(2)1( xxxy 0lnyxy 解法一： 1yyx 02 yxy xyy12 2)1( )(2xyyxy 2121)( )()(2 22xyxy y 3223 )1( )()1(2xyxyxyy 343)1(2xy 解法二： 0yy02xy xy y12 0)( 2 y 0)(2 2 yxyxyy xyyxyyy xyy 131)(3 2122 3 43343 )1(2)1( xyxyy 例 10设 ，求： 。 xexy29 10,
13、)()10( nyyn 解： x28 xexy279 x2368 xxeexy 29299)9( !17 xey210)10( 10,2)( nxnn 结论：对于 ，若 ，则 mxyn0)(ny 例 11设 ，求 。xxyln 49)50(y 解： 1)48( 212)47( )(9 xxy 313)46( )(84 x 5050150)50( !49)!()( xxy 例 12求下列函数的微分 xey x2sin 解法一： xe xx cossin2i2 )sin(sin 2xxex dxdy x )2i(i2 解法二： )sin( 2xex )(sini)( 22 xdedxx )(sin
14、isin 2 xdxdexx )cosin2(i 2 xx dxxe x )2sin(sin2 1 2yex 解法一： 0)()( 2yy 2yex yex y2 dxexdyy2 解法一： 0)()( 2 ydyd 2dyeyxx xexdyy2 2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 中值定理 1.罗尔定理: 满足条件:)(xf .0)(,),().()(3;,2,100. fbabfafba 使 得存 在 一 点内 至 少在内 可 导在 上 连 续 ；在 y )(f )(f)(xf )(xf a o b x a o b x 2.拉格朗日定理： 满足条件:)(f abfffbaba )
15、()()(),(),(2,100 ， 使 得 ：在 一 点 内 至 少 存在内 可 导 ；在 上 连 续 ，在 罗必塔法则：（ 型未定式）,0 定理： 和 满足条件：)(xf)(xg 1o ；）或 ）或 (0)(limlixgfaxax 2o 在点 a 的某个邻域内可导，且 ；0)(xg 3o ）（ 或 ,)(lim)( Axgfax 则： ）（ 或 ,)(li)(li )()( Axgfxgfaxax 注意：1 o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o若不满足法则的条件，不能使用法 则。 即不是 型或 型时，不可求导。0 3o应用法则时，要分 别对分子、分母 求导，而不
16、是对整个分式求 导。 4o若 和 还满足法则的条件，)(xf)(xg 可以继续使用法则，即： ）（ 或 Axgfxgfxgf axaxax )(lim)(lim)(lim)()()( 5o若函数是 型可采用代数变,0 形，化成 或 型；若是 型可 0,1 采用对数或指数变形，化成 或 型。0 导数的应用 1 切线方程和法线方程： 设： ),(),( 0yxMxfy 切线方程： )(000 xfy 法线方程： )0(),()(1 0000 xfxxfy 2 曲线的单调性： ),(0)( baxf 内 单 调 增 加 ；在 ),()(f ),(0)( baxxf 内 单 调 减 少 ；在 ),()
17、(f ),(0)( baxxf内 严 格 单 调 增 加 ；在 ),(ba ),(0)( baxxf内 严 格 单 调 减 少 。在 ),(ba 3.函数的极值： 极值的定义： 设 在 内有定义， 是 内的一点； )(xf),(ba0x),(ba 若对于 的某个邻域内的任意点 ，都有：0 0 )()()()( 00 xfxfxfxf 或 则称 是 的一个极大值（或极小值） ， )(0f)(f 称 为 的极大值点（或极小值点） 。0 x)(xf 极值存在的必要条件： 定理： 0)()(.2)()(.1 000 00 xfxf xff存 在 。存 在 极 值 称为 的驻点0 )(f 极值存在的充分
18、条件： 定理一： 是 极 值 点 。是 极 值 ；时 变 号 。过 不 存 在 ；或 处 连 续 ；在 0000 00 00 )()(.3)(.2).1 xfxffxf xf 当 渐增通过 时， 由（+）变（- ） ；x0 x)(xf 则 为极大值； )(0f 当 渐增通过 时， 由（- ）变（+） ；则 为极小值。x0 x)(xf )(0xf 定理二： 是 极 值 点 。是 极 值 ；存 在 。； 00000 )()(.2.1xfxff 若 ，则 为极大值； )(0f )(0f 若 ，则 为极小值。 )(0xf )(0xf 注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4曲线的凹向及拐点
19、： 若 ；则 在 内是 baxxf ,0)( )(xf),(ba 上凹的（或凹的） ， （） ； 若 ；则 在 内是下 xxf ,)( )(xf),( 凹的（或凸的） ， （） ； 的 拐 点 。为 称时 变 号 。过 ， )(,)(.20).1 000000 xffxff 5。曲线的渐近线： 水平渐近线： 的 水 平 渐 近 线 。是或若 )()(limli xfAyAxffxx 铅直渐近线： 的 铅 直 渐 近 线 。是或若 )()(limli xfCxxffCxx 二、例题分析 例 1 函数 在-1，0 上是否满足罗尔定理的条件？若满 23)(xxf 足，求出 的值。 解： 是初等函数，
20、在-1，0 上有定义； 23)(xxf 在-1，0上连续。 23)(f 在（-1 ，0）内有定义； xxxf)(2 在（-1 ，0）内可导。 23)(f 又 )()1( 123xxf 0)()0(23xf 满足罗尔定理的条件。由定理可得： )(xf 023)( f 解得： ,321 不在（-1，0）内，舍去；2 3 例 2。证明：当 时，不等式 成立。2 0x xxtan 证法一：（采用中值定理证明） 设： )2,0(,0,tan)( xttF 是初等函数 ，在0,x上有定义， tt)( 在0,x 上连续。 ttFan 在（0,x）内有定义t tt 22cos1sec)( 在（0,x）内可导。
21、 ttFan)( 满足拉格朗日定理的条件， tt)( 由定理可得： xxFF tan0)()(cos1)(2 ),0(),(,tancs 22 xxx tan,1cos02 xxx tantancos2 ； 证毕。2 0,tanxxx 证法二：（采用函数的单调性证明） 设： )2,0(,tan)( xxxf )2,0(,0tan1sec)( 22 xxxxf )2,0(,)( xxf 0tan)()( fxf 即： 0tan ；证毕。 )2,(t xx 例 3证明： )0(,1)1ln(1 22 xxxx 证：设： )(,)l()( 22 xxxxxf 222 1)1()1ln()( xxxx
22、xxf 222 1)1()()1ln( xxxxxx 22222 1)1(1)1ln( xxxxx 0,0)1ln( 2xxx ,)(f 01)1ln(1)0()( 22 xxxfxf ； )0(,)ln(1 22 xxxx 证毕。 例 4证明：当 时， 。0x x x1arctn)1ln( 解：设： ， xxxxf arctn)1ln()1()( 0x 211)1ln()( xxxxf )0(,01)1ln(2 xxx 0,)(xxf 0,0arctn)1ln()1()0()( xxxxfxf ； 证毕。 0,1arct)1ln( xxx 例 5求下列极限： x exxxtanlim0 解：
23、 2seclimtanli 2000 xxexxxx 0,lnlimaxax 解： 01lim1limlnlim1 axxxax a x exx10lim 解：令： t xt11 当 时， ； 0xt 01limli1limli10 ttttttxx eetee xxxxxelim 解法一： xxxxxxxxxxxx eee )(limli 11lim22xxxe 解法二： xxxxxxxxxx eee )(lili 12lim1lim22 xxxxxx ee )11(lim0xxe 解： )1(lim)11(li 00 xxxxx ee xxxxxxxxx eeee 00 lim1lim00
24、 22 li0xx x lnlim20 解： 20)0(20 1lnlimlnlimxxxxx 0lim2112lim2030 xxxxx xx1)(lnlim未 定 式 ）0( 解法一： （对数法） 设： xy1)(ln x xyln)l(ln1 x yxx lnlimlnlim 0ln1li1lnli xxxx 1)(lnlimli xxxy 解法二：（指数法） xxxx eln)(1li)(lnli 0 10ln1limlnlim eeexxxx xx1lim未 定 式 ）( 解法一：设： xy1 x1 lnln x yxx 1lnlimlnlim1 1lim1lim10 xxxx 11
25、1limli exyxx 解法二： xxxxx xee 1lnlim1ln)1(1lili11lim0 eexx 解法三：设： txt, 0,1tx时 11010)1(11 )1(lim)(limlim ettx ttt xx0li未 定 式 ）0( 解： xxxxxxx ee1ln0)0(ln0)0(0 limlimli 1limlim0102 xxxxx ee 例 6 xxe10)1(lim 解：设： xey1)1( ln)1ln()1(lnl 11 exxexyx 2)1ln(1)1ln(1 xxx 200 )l(limllimxyxx )1(2li21li 000 xxxx 2)1(2
26、 lim0xx 21100 )1(limli eexyxxx 例 7 为 正 整 数 ）nexnx ,0(,li 解： xnxxnxxnx enee 221 1limlimlim 0!li1)(li xnxxnnx ee 例 8设： ，求 a、b 的值。 3)1sin(lim21 xbax 解： 0ili21x 3)1sin(lim221 xbax 0)(li21bax （）01ba )1(),1()1sin(22 xxx 1lim)1sin(lim21221 xbaxbaxx 322li10 axax 代入（）式，得:4a 5b 当 时，原式成立。 5,4ba 例 9求曲线 在点（1，2）处
27、的切线方程x y 和法线方程。 解： 32 4xxy 44131 xxy 切线方程： )(42y 即： xy46 法线方程： )1(412xy 即： 4 7xy 例 10曲线 的切线在何处与直线22 31xy 平行？452 解： 16 21xy 52 的切线与 平行1y2y 56 2x 1,121x 3)2( 1 311 xxy )2( 1 31 xx x 所要求的点为： ),1(),( 例 11求曲线 上任意点 处的切线与坐标轴组成的三角 2axy)0(x 形的面积。 解：求切线方程： 0 202,xayxay 2020 , xayxay x 切线方程为： )(0200xay 0 22002
28、 xaxaxay （1） x ay2002 求 A、B 的坐标： A: 代入（1）式，得：0Ax 0 2xaya 02xa, B: 代入（ 1）式，得：By 02xxB 0,2xB 求三角形的面积： OABS 2 121高底 200)(2ax 例 12求函数 的单调增减区间x xf1)( 和极值。 解： 的定义域：)(xf ),0(),( 22 11)( xxf 令 ，解得：0)(xf 1 当 时， 无定义， 是间断点)(xf 0x 列表如下： (-,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+)x + 0 - - 0 +)(f 极大值 极小值 当 时， 1x 2)1()1( 1xxf
29、 为极大值； 当 时， 为极大值。1x 2)1()1( 1xxf 单调减少区间为:(-1,0),(0,1)(f 单调增加区间为:(- ,-1),(1,+ )x 例 13作函数 的图形 xef)( 解： 的定义域：)(xf ),()1(xexex 令： ，解得：0)(xf 无一阶导数不存在的点。 )2()( xexefx 令： ，解得：02xxxx eef limlim)(lim 01lixxe 是水平渐近线0)(f 列表如下： x ( -,1) 1 （1,2） 2 （ 2,+） + 0 - -)f - - 0 + )(xf 极大值 拐点 )(xf 37.0)()1( 11exef x 2.2)
30、()2( f x 例 14求下列曲线的渐近线 54 1)(2xxf 解： 1)2(54 1)(2 xxxf 的定义域：)(f ,0541lim)(li 2xxfxx 是水平渐近线。 0)(f xef1)( 解： 的定义域：)(xf ),0(),(x1lim)(limxxx ef 是水平渐近线。 1)(f xxx ef100lim)(lim 是铅直渐近线。 例 15设 ，求 在 上的 142)( 2xxf )(xf2,1 最大值和最小值。 解： )1)(88)( 3 f 令： ，解得：0)( xf ,0,132xx 舍去。 , 2132 84)(2xxf 016)()1(2 xf 为极小值； )
31、4()( 12xxf 812421 21)()(xf 17)142()( 22xxf 为最大值， 为最小值.17)(f )(f 结论：若连续函数 在 内只有一个极小（或大）值，而无极大（或小）值，)(xf,(ba 则此极小（或大）值就是 在 内的最小（或大）值。 )f),( 例 16欲围一个面积为 150m2 的矩形场地。正面所用材料造价为 6 元/m ，其余三面所用材 料的造价为 3 元/m，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？ 解：设：场地的正面长为 x 米， 则：场地的侧面长为 米x 150 所用材料费为 y 元 xx y 90150)2(36 ),0(x 22 )10(909xxy 令： ，解得： （舍负） 0 10 8.181030 xxy 为极小值点1 函数 y 在（0,+）内连续，并只有一个极小值，而无极大值， 函数 y 在 处取得最小值。10x 当场地的正面长为 10 米，侧面长为 15 米时，所用材料费最少。
