数学兴趣小组活动记录.doc

1、1 梁村中学数学兴趣小组活动记 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等） 。 活动过程 （教案） 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 三、例题示范 1、数轴与大小 例 1、 已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3，那么满足条件的点 B 与原点 O 的距离之和等于多 少？满足条件的点 B 有多少个？ 例 2、 将 这四个数按由小到大的顺序，用“”98,1,987 连结起来。 提示

2、 1：四个数都加上 1 不改变大小顺序； 提示 2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示 3：考虑其倒数的大小顺序。 例 3、 观察图中的数轴，用字母 a、b、c 依次表示点 A、B、C 对应的 数。试确定三个数 的大小关系。 1, 分析：由点 B 在 A 右边，知 b-a0，而 A、B 都在原点左边，故 ab0, 又 c10,故要比较 的大小关系，只要比较分母的大小关系。cab1, 例 4、 在有理数 a 与 b(ba)之间找出无数个有理数。 提示：P= （n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使 复杂的

3、问题变得简单。 例 5、 在数 1、2、3、1990 前添上“+”和“ ”并依次运算，所 得可能的最小非负数是多少？ 3 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例 6、 计算 123200020012002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+ 末项)项数2。 例 7、 计算 1+234+5+678+9+2000+2001+2002 提示：仿例 5，造零。结论：2003。 例 8、 计算 9991一一一 nnn 提示 1：凑整法，并运用技巧：1999=10 n+999，999=10 n 1。 例 9、

4、计算 )203()203( )203()20131( 提示：字母代数，整体化：令 ，则1, BA 例 10、 计算 （1） ；（2）10932 09814231 提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1） ； （2） ；nm 1)(1nn （3） ；)1()(n （4） 。)2(1)(2)(1nn 例 11 计算 （n 为自然数） 31 例 12、计算 1+2+22+23+22000 提示：1、裂项相消：2 n=2n+12n；2、错项相减：令 S=1+2+22+23+22000，则 S=2SS=220011。 例 13、比较 与 2 的大小。201648S 提示：错项相减：计算 。S 4 活动

5、小结 通过夯实知识的内在联系，培养了学生思维的缜密性，初步发展了学 生独立思考问题的能力 梁村中学数学兴趣小组活动记录 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学小组活动室 活动目的 1、理解绝对值的代数意义。 2、理解绝对值的几何意义。 3掌握绝对值的性质。 活动过程 （教案） 第二讲 绝 对 值 一、知识要点 3、绝对值的代数意义； 4、绝对值的几何意义： （1）|a|、 （2）|a-b|； 5、绝对值的性质： （1）|-a|=|a|, |a|0 , |a|a； （2）|a| 2=|a2|=a2； （3）|ab|=|a|b|； （4） （ b0） ；|

6、a 4、绝对值方程： （1） 最简单的绝对值方程|x|=a 的解： 0ax一 （2）解题方法：换元法，分类讨论法。 二、绝对值问题解题关键： （1）去掉绝对值符号； （2）运用性质； （3）分类讨论。 三、例题示范 例 1 已知 a0，化简|2a-|a|。 提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。 例 2 已知|a|=5，|b|=3 ，且|a-b|=b-a，则 a+b= ，满足条件的 a 有几个？ 例 3 已知 a、b、c 在数轴上表示的数如图，化简： |b+c|-|b-a|-|a-c|-|c- 5 b|+|b|+|-2a|。 例 4 已知 a、b、c 是有理数，且 a+b+c=0，ab

7、c0，求 的值。|cabac 注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。 例 5 已知： 例 6 已知 ，3x 化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。 例 7 已知|x+5|+|x-2|=7 ，求 x 的取值范围。 提示：1、根轴法；2、几何法。 例 8 是否存在数 x,使|x+3|-|x-2|7。 提示：1、根轴法；2、几何法。 例 9 m 为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。 提示：结合几何图形，就 m 所处的四种位置讨论。 结论：最小值为 8。 例 10（北京市 1989 年高一数学竞赛题）设 x 是实数， 且 f（x）=|x+1|+|

8、x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则 f（x）的最小值等于 _6_. 例 11 （1986 年扬州初一竞赛题）设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中 0p15.对于满足 px15 的 x 的来说，T 的最小值是多少？ 解 由已知条件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x. 当 px15 时，上式中在 x 取最大值时 T 最小；当 x=15 时，T=30- 15=15，故 T 的最小值是 15. 例 12 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于 0.试证这两 个数都不在-1 与-之间. 证 设两数为 a、b，则|a|+|b|=|a|

9、b|. |b|=|a|b|-|a|=|a|（|b|-1）. ab0，|a|0，|b|0. |b|-1= 0，|b|1. |ab 同理可证|a|1. a、b 都不在-1 与 1 之间. 6 活动小结 通过解答习题，培养了学生的探索精神与举一反三的能力。 梁村中学数学兴趣小组活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 理解掌握解方程（组）的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法） 。 活动过程 （教案） 第三讲 一次方程（组） 一、基础知识 1、方程的定义：含有未知数的等式。 2、一元一次方程：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一

10、次的整 式方程。 3、方程的解（根）：使方程左右两边的值相等的未知数的值。 4、字母系数的一元一次方程：ax=b。 其解的情况： 。baabx一一一一0, ; 5、一次方程组：由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。 常见的是二元一次方程组，三元一次方程组。 6、方程式组的解：适合方程组中每一个方程的未知数的值。 7、解方程组的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法） 。 二、例题示范 例 1、 解方程 186)432(5179x 例 2、 关于 x 的方程 中，a,b 为定值，无论 k 为何值bkxak 时，方程的解总是 1，求 a、b 的值。 提示：用赋值法，对 k 赋以某一值后求

11、之。 例 3、（第 36 届美国中学数学竞赛题）设 a，ab，b是实数，且 a 和 a不为零，如果方程 ax+b=0 的解小于 a/x+b=0 的解，求 a，ab，b 7 应满足的条件。 例 4 解关于 x 的方程 .1)(2ax 提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就 a 进行讨论 例 5 k 为何值时，方程 9x-3=kx+14 有正整数解？并求出正整数解。 提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就 k 进行讨论。 例 6（1982 年天津初中数学竞赛题）已知关于 x，y 的二元一次方程(a-1) x+(a+2)y+52a=0，当 a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个 公共解，

12、你能求出这个公共解，并证明对任何 a 值它都能使方程成立吗？ 分析 依题意，即要证明存在一组与 a 无关的 x，y 的值，使等式(a-1) x+(a+2)y+5-2a=0 恒成立，令 a 取两个特殊值（如 a=1 或 a=-2），可得两 个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证， 如满足方程则命题获证， 本例的另一典型解法 例 7（1989 年上海初一试题），方程 并且 abc0，那么 x_ 提示：1、去分母求解；2、将 3 改写为 。bac 例 8（第 4 届美国数学邀请赛试题）若 x1,x2,x3,x4和 x5满足下列方程组： 96248165432154321xxx

13、x 确定 3x4+2x5的值. 说明：整体代换方法是一种重要的解题策略. 例 9 解方程组 )3(21mzyx 提示：仿例 8，注意就 m 讨论。 提示：引进新未知数 8 活动小结 理解和掌握了解方程（组）的一般方法 梁村中学数学兴趣小组活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 1. 学会将生活语言代数化； 2. 掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元） ； 3. 学会寻找数量间的等量关系。 9 活动过程 （教案） 第四讲 列方程（组）解应用题 一、知识要点 1、 列方程解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程、

14、检验、 作结论等. 2、 列方程解应用题要领： 4. 善于将生活语言代数化； 5. 掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元） ； 6. 善于寻找数量间的等量关系。 二、例题示范 1、合理设立未知元 例 1 一群男女学生若干人，如果女生走了 15 人，则余下的男女生比例 为 2:1，在此之后，男生又走了 45 人，于是男女生的比例为 1:5,求原来 男生有多少人？ 提示：（1）直接设元 （2）列方程组： 例 2 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？ 例 3 甲、乙、丙、丁四个孩子共有 45 本书，如果甲减 2 本，乙加 2 本， 丙增加一倍，丁减少一半，则四个孩子的书就

15、一样多，问每个孩子原来 各有多少本书？ 提示：（1）设四个孩子的书一样多时每人有 x 本书，列方程； （2）设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有 x,y,z,t 本书，列方程组： 例 4 （1986 年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C 三人各有豆若干粒， 要求互相赠送，先由 A 给 B、C，所给的豆数等于 B、C 原来各有的豆数， 依同法再由 B 给 A、C 现有豆数，后由 C 给 A、B 现有豆数，互送后每人 恰好各有 64 粒，问原来三人各有豆多少粒？ 提示：用列表法分析数量关系。 例 5 如果某一年的 5 月份中，有五个星期五，它们的日期之和为 80， 求这一年的 5 月 4 日是星期几？

16、提示：间接设元.设第一个星期五的日期为 x， 例 6 甲、乙两人分别从 A、B 两地相向匀速前进，第一次相遇在距 A 点 700 米处，然后继续前进，甲到 B 地，乙到 A 地后都立即返回，第 二次相遇在距 B 点 400 米处，求 A、B 两地间的距离是多少米？ 提示：直接设元。 例 7 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了 6.4%，使得 利润率增加了 8 个百分点，求经销这种商品原来的利润率。 提示：商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为： 商品利润率=（商品售价商品进价）商品进价100%。 例 8 （1983 年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从 A 地先以每小 时 1

17、2 千米的速度下坡后，以每小时 9 千米的速度走平路到 B 地，共用 55 分钟.回来时，他以每小时 8 千米的速度通过平路后，以每小时 4 千 米的速度上坡，从 B 地到 A 地共用 小时，求 A、B 两地相距多少千米？21 10 提示：1 （选间接元）设坡路长 x 千米 2 选直接元辅以间接元）设坡路长为 x 千米，A、B 两地相距 y 千米 3 （选间接元）设下坡需 x 小时，上坡需 y 小时， 2、设立辅助未知数 例 9 （1972 年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊 8%，而售价 保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 x%增加到(x+10)% ，x 等于多少？ 提示

18、：引入辅助元进货价 M，则 0.92M 是打折扣的价格，x 是利润， 以百分比表示，那么写出售货价（固定不变）的等式。 例 10（1985 年江苏东台初中数学竞赛题）从两个重为 m 千克和 n 千克， 且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块 和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下 的重量是多少千克？ 提示： 采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为 x 千克，并设 m 千 克的铜合金中含铜百分数为 q1，n 千克的铜合金中含铜百分数为 q2。 例 11 有一片牧场，草每天都在匀速生长 (草每天增长量相等)如果放 牧 24 头牛，则 6 天吃完牧草；

19、如果放牧 21 头牛，则 8 天吃完牧草，设每 头牛吃草的量是相等的，问如果放牧 16 头牛，几天可以吃完牧草. 提示 设每头牛每天吃草量是 x，草每天增长量是 y，16 头牛 z 天吃完牧 草，再设牧场原有草量是 a.布列含参方程组。 活动小结 初步掌握了运用方程（组）解决实际问题的方法 梁村中学数学兴趣小组活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 11 活动目的 1. 理解乘方运算的意义。2. 掌握乘方运算性质。 活动过程 （教案） 第五讲 整数指数 一、知识要点 1、定义： （n2,n 为自然数） an一 2、整数指数幂的运算法则

20、： （1） nma （2） 0,1,anamnnnm （3） ， ，mna)( nb)( )()(bn 3、规定：a 0=1(a0) ap= (a0,p 是自然数) 。1 4、当 a，m 为正整数时，a m 的末位数字的规律： 记 m=4p+q，q=1,2,3 之一，则 的末位数字与 的末位数字相同。qp4qa 二、例题示范 例 1、计算 (1) 5523 (2) (3a2b3c)(5a3bc2) (3) (3a2b3c)3 (4) (15a2b3c)(5a3bc2) 例 2、求 的末位数字。10017 提示：先考虑各因子的末位数字，再考虑积的末位数字。 例 3、 是目前世界上找到的最大的素数

21、，试求其末位数字。013 提示：运用规律 2。 例 4、 求证： 。)543(|520198197 提示：考虑能被 5 整除的数的特征，并结合规律 2。 例 5、已知 n 是正整数，且 x2n=2，求(3x 3n)24(x2)2n 的值。 提示：将所求表达式用 x2n 表示出来。 例 6、求方程(y+x) 1949+(z+x)1999+(x+y)2002=2 的整数解。 提示：|y+z|,|z+x|,|x+y|都不超过 1，分情况讨论。 例 7、若 n 为自然数，求证：10|(n 1985n1949)。 12 提示：n 的末位数字对乘方的次数呈现以 4 为周期的循环。 例 8、 若 ，求 x

22、和 y。yx92 结论：x=5,y=2。 例 9、对任意自然数 n 和 k，试证：n 4+24k+2 是合数。 提示：n 4+24k+2=(n2+22k+1)2(2n2k)2。 例 10、对任意有理数 x，等式 ax4x+b+5=0 成立，求(a+b) 2003. 活动小结 初步掌握了乘法运算的性质。 梁村中学数学兴趣小组活动记录表 13 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 理解掌握整式运算的性质 活动过程 （教案） 第六讲 整式的运算 一、知识要点 1、整式的概念：单项式，多项式，一元多项式； 2、整式的加减：合并同类项； 3、整

23、式的乘除： （1） 记号 f(x)，f(a)； （2） 多项式长除法； （3） 余数定理：多项式 f(x)除以(x-a)所得的余数 r 等于 f(a)； （4） 因数定理：(x-a)|f(x)f(a)=0。 二、例题示范 1、整式的加减 例 1、 已知单项式 0.25xbyc 与单项式0.125x m-1y2n-1 的和为 0.625axnym， 求 abc 的值。 提示：只有同类项才能合并为一个单项式。 例 2、 已知 A=3x2n8xn+axn+1bxn-1，B=2x n+1axn3x2n+2bxn-1，AB 中 xn+1 项的系数为 3，x n-1 项的系数为12，求 3A2B。 例 3

24、、 已知 ab=5，ab=1，求(2a+3b2ab) (a+4b+ab) (3ab+2b2a)的 值。 提示：先化简，再求值。 例 4、 化简： x2x+3x4x+5x+2001x2002x。 例 5、 已知 x=2002，化简|4x 25x+9|4|x2+2x+2|+3x+7。 提示：先去掉绝对值，再化简求值。 例 6、5 个数1, 2, 3,1,2 中，设其各个数之和为 n1，任选两数之积的 和为 n2，任选三个数之积的和为 n3，任选四个数之积的和为 n4，5 个数 之积为 n5，求 n1+n2+n3+n4+n5 的值。 例 7、王老板承包了一个养鱼场，第一年产鱼 m 千克，预计第二年产

25、鱼 量增长率为 200%，以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。 （1） 写出第五年的预计产鱼量； （2） 由于环境污染，实际每年要损失产鱼量的 10%，第五年的实际产 鱼量为多少？比预计产鱼量少多少？ 2、整式的乘除 例 1、已知 f(x)=2x+3，求 f(2),f(-1),f(a),f(x2),f(f(x)。 例 2、计算：(2x+1) (3x2)(6x4)(4x+2) 长除法与综合除法： 一个一元多项式 f(x)除以另一个多项式 g(x)，存在下列关系： f(x)=g(x)q(x)+r(x) 其中余式 r(x)的次数小于除式 g(x)的次数。当 r(x)=0 时， 称 f(x)能被

26、g(x)整除。 14 例 3、 （1）用竖式计算(x 33x+4x+5)(x2)。 （2）用综合除法计算上例。 （3）记 f(x)= x33x+4x+5,计算 f(2)，并考察 f(2)与上面所计算得出的余数之 间的关系。 例 4、证明余数定理和因数定理。 证：设多项式 f(x)除以所得的商式为 q(x)，余数为 r，则有 f(x)=(xb)q(x)+r，将 x=b 代入等式的两边，得 f(b)=(bb)q(b)+r，故 r=f(b)。 特别地，当 r=0 时，f(x)= (xb)q(x)，即 f(x)有因式(xb) ，或称 f(x)能被 (xb)整除。 例 5、证明多项式 f(x)=x45x

27、37x2+15x4 能被 x1 整除。 例 6、多项式 2x43x3+ax2+7x+b 能被 x2+x2 整除，求 a,b 的值。 提示：（1）用长除法， （2）用综合除法， （3）用因数定理。 例 7、若 3x3x=1，求 f(x)=9x4+12x33x27x+2001 的值。 提示：用长除法，从 f(x)中化出 3x3x1。 例 8、多项式 f(x)除以(x1)和 (x2)所得的余数分别为 3 和 5，求 f(x)除以(x1) (x2)所得的余式。 提示：设 f(x)= (x1)(x2)q(x)+(ax+b)，由 f(1)和 f(2)的值推出。 例 9、试确定 a,b 的值，使 f(x)=

28、 2x43x3+ax2+5x+b 能被(x+1)( x2) 整除。 活动小结 初步掌握了整式运算的性质 15 梁村中学学兴趣小组活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 1. 理解乘法公式的几何意义和代数意义。2. 掌握乘法公式的运用。 活动过程 （教案） 第七讲 乘法公式 一、知识要点 1、乘法公式 平方差公式：(a+b)(a b)=a2b2 完全平方公式：(ab) 2=a22ab+b2 立方和公式：(a+b)(a 2ab+b2)=a3+b3 立方差公式：(ab)( a2+ab+b2)=a3b3 2、乘法公式的推广 （1）(

29、a+b)(a b)=a2b2 的推广 由(a+b)(ab)=a 2b2, (ab)( a2+ab+b2)=a3b3，猜想： (ab)( )=a4b4 (ab)( )=a5b5 (ab)( )=anbn 特别地，当 a=1,b=q 时，(1q)( )=1qn 从而导出等比数列的求和公式。 （2）多项式的平方 由(a b)2=a22ab+b2，推出 (a+b+c)2=( ) , (a+b+c+d)2=( ) 猜想：(a 1+a2+an)=( )。 当其中出现负号时如何处理？ （3）二项式(a+b) n 的展开式 一个二项式的 n 次方展开有 n+1 项； 字母 a 按降幂排列，字母 b 按升幂排列

30、，每项的次数都是 n； 各项系数的变化规律由杨辉三角形给出。 二、乘法公式的应用 例 1、运用公式计算 (1) (3a+4b)(3a4b) (2) (3a+4b)2 例 2、运用公式，将下列各式写成因式的积的形式。 （1）(2x y)2(2x+y)2 (2)0.01a249b2 (3)25(a2b) 64(b+2a) 例 3、填空 (1) x2+y22xy=( )2 (2) x42x2y2+y4=( )2 (3) 49m2+14m+1=( )2 (4) 64a216a(x+y)+(x+y)2 16 (5) 若 m2n2+A+4=(mn+2)2,则 A= ; (6) 已知 ax26x+1=(ax

31、+b)2，则 a= ,b= ; (7) 已知 x2+2(m3)x+16 是完全平方式，则 m= . 例 4、计算 (1) 2000021999920001 (2) 372+2637+132 (3) 31.52331.5+1.52100。 提示：（1）19999=200001 例 5、计算（1） (1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)(1+232)+1。 （2） (1+3)(1+32)(1+34)(1+38)(1+32n)。 例 6、已知 x+y=10,x3+y3=100,求 x2+y2。 提示：（1）由 x3+y3=(x+y)33xy(x+y)，x 2+y2=(x+y)2

32、2xy 导出； （2）将 x+y=10，平方，立方可解。 例 7、已知 ，求 ， ， 的值。1a21a341a 例 8、已知 a+b=1,a2+b2=2，求 a3+b3， a4+b4， a7+b7 的值。 提示：由(a 3+b3)(a4+b4)= a7+b7+a3b4+a4b3= a7+b7+a3b3(a+b)导出 a7+b7 的值。 例 9、已知 a+b+c=0,a2+b2+c2=1 求下列各式的值： （1）bc+ca+ab （2）a 4+b4+c4 例 10、已知 a,b,c,d 为正有理数，且满足 a4+b4+c4+d4=4abcd，求证 a=b=c=d。 提示：用配方法。 例 11、已

33、知 x,y,z 是有理数，且满足 x=63y,x+3y2z2=0,求 x2y+z 的值。 例 12、计算 1949219502+1951219522+2001220022。 17 活动小结 初步掌握了乘法公式的运用。 梁村中学数学兴趣小组活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 1.理解不等式运算的性质。2.掌握不等式运算的性质。 活动过程 （教案） 第八讲 不等式 一、知识要点 1、不等式的主要性质： （1）不等式的两边加上（或减去）同一个数或整式，所得不等式与原 不等式同向； （2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，所得

34、不等式与原不等式 同向； （3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，所得不等式与原不等式 反向. （4）若 AB，BC，则 AC； （5）若 AB，CD，则 A+BC+D； （6）若 AB，CD，则 ACBD。 2、比较两个数的大小的常用方法： （1） 比差法：若 AB0，则 AB； （2） 比商法：若 1，当 A、B 同正时， AB；A、B 同负时， AB； （3） 倒数法：若 A、B 同号，且 1，则AB。 3、一元一次不等式： （1） 基本形式：axb (a0); （2） 一元一次不等式的解： 当 a0 时，x ,当 a0 时，x .bab 二、例题示范 例 1、已知 a0,1b0,则

35、a,ab,ab2之间的大小关系如何？ 例 2、满足 的 x 中，绝对值不超过 11 的那些整数之和为多32 18 少？ 例 3、一个一元一次不等式组的解是 2x3，试写出两个这样的不等式 组。 例 4、若 x+y+z=30,3+yz=50,x,y,z 均为非负数，求 M=5x+4y+2z 的最大 值和最小值。 提示：将 y,z 用 x 表示，利用 x,y,z 非负，转化为解关于 x 的不等式组。 例 5、设 a,b,c 是不全相等的实数，那么 a2+b2+c2与 ab+bc+ca 的大小关 系如何？ 例 6、已知 a,b 为常数，若 ax+b0 的解集是 x 31，求 bxa0 的解 集。 提

36、示：如何确定 a,b 的正负性？ 例 7、解关于 x 的不等式 ax2x3a (a1)。 例 8、解不等式|x2|+|x+1|3 提示：去掉绝对值，讨论。 例 9、 （1）比较两个分数与 n19(n 为正整数)的大小； （2）从上面两个数的大小关系，你发现了什么规律？ （3）根据你自己确定的 与 之间正整数的个数来确定相应 的正整数 n 的个数。 例 10（上海 1989 年初二竞赛题）如果关于 x 的不等式(2a-b)x+a- 5b0 的解为 x ，那么关于 x 的不等式 axb 的解是多少？710 例 11、已知不等式 的角是 x 的一部分，试求 a252a21 的取值范围。 例 12、设

37、整数 a,b 满足 a2+b2+2ab+3b,求 a,b 的值。 提示：将原不等式两边同乘以 4 并整理得 (2a-b)2+3(b-2)24 (1)， 又因为 a,b 都是整数。故(2a-b) 2+3(b-2)23。若(b-2) 21，则 3(b-2) 23，这不可能。故 0 (b-2)21，从而 b=2.将 b=2 代入（1）得(a-1) 21,故(a-1) 2=0， a=1.所以 a=1,b=2. 19 活动小结 初步掌握了不等式运算的性质。 梁村中学学兴趣小组活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 活动目的 掌握恒等变形的运用

38、20 活动过程 （教案） 第九讲 恒等变形 一、知识要点 1、代数式的恒等：两个代数式，如果对于字母的一切允许值，它们的 值都相等，则称这两个代数式恒等。 2、恒等变形：通过变换，将一个代数式化为另一个与它恒等的代数式， 称为恒等变形。 二、例题示范 例 1、已知 a+b+c=2,a2+b2+c2=8,求 ab+bc+ca 的值。 例 2、已知 y=ax5+bx3+cx+d，当 x=0 时，y=3；当 x=5 时,y=9。当 x=5 时，求 y 的值。 提示：整体求值法，利用一个数的奇、偶次方幂的性质 。 例 3、若 14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，求 a:b:c。 提示：用配

39、方法。 注：配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用有关性质来解题 . 例 4、求证(a 2+b2+c2)(m2+n2+k2) (am+bn+ck)2=(anbm)2+(bkcn) 2+cmak)2 提示：配方。 例 5、求证：2(ab)(ac)+2(bc)(ba)+2(ca)(cb)=(bc) 2+(ca)2+(ab)2。 提示：1、两边化简。2、左边配方。 例 6、 设 x+2z=3y,试判断 x29y2+4z2+4xz 的值是不是定值，如果是定值， 求出它的值；否则，请说明理由。 例 7、 例 7、已知 a+b+c=3, a2+b2+c2=3，求 a2002+b2002+c2002

40、 的值。 例 8、证明：对于任何四个连续自然数的积与 1 的和一定是某个整数的 平方。 提示：配方。 例 9 、已知 a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求 ab+cd 的值。 提示：根据条件，利用 1 乘任何数不变进行恒等变形。 例 10、（1984 年重庆初中竞赛题）设 x、y、z 为实数，且 (y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2. 求 的值. 21 例 11、设 a+b+c=3m,求证:(m-a) 3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 活动小结 能运用恒等思想，解决一些简单的实际

41、问题，提高运用知识的能力。 梁村中学数学兴趣小组活动记录表 活动名称 数学兴趣小组 活动日期 月 日 星期 负责人 参加学生 活动地点 数学活动室 22 活动目的 3、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等） 活动过程 （教案） 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 三、例题示范 1、数轴与大小 例 11、 已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3，那么满足条件的点 B 与原点 O 的距离之和等于多 少？满足条件的点 B 有多少个？ 例 12、 将 这四个数按由小到大的顺序，用98

42、,1,9871 “”连结起来。 提示 1：四个数都加上 1 不改变大小顺序； 提示 2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示 3：考虑其倒数的大小顺序。 例 13、 观察图中的数轴，用字母 a、b、c 依次表示点 A、B、C 对应的 数。试确定三个数 的大小关系。 1, 分析：由点 B 在 A 右边，知 b-a0，而 A、B 都在原点左边，故 ab0, 又 c10,故要比较 的大小关系，只要比较分母的大小关系。cab1, 例 14、 在有理数 a 与 b(ba)之间找出无数个有理数。 提示：P= （n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 4、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉

43、）括号可以改变运算的次序，从而使 复杂的问题变得简单。 例 15、 在数 1、2、3、1990 前添上“+”和“ ”并依次运算，所 得可能的最小非负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例 16、 计算 123200020012002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+ 末项)项数2。 例 17、 计算 1+234+5+678+9+2000+2001+2002 22 提示：仿例 5，造零。结论：2003。 例 18、 计算 9991一一一 nnn 提示 1：凑整法，并运用技巧：1999=1

44、0 n+999，999=10 n 1。 例 19、 计算 )203()203( )203()20131( 提示：字母代数，整体化：令 ，则1, BA 例 20、 计算 （1） ；（2）10932 09814231 提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1） ； （2） ；nm 1)(1nn （3） ； （4）)1()(n 。)2()(2)(1nn 例 11 计算 （n 为自然数） 31 例 12、计算 1+2+22+23+22000 提示：1、裂项相消：2 n=2n+12n；2、错项相减：令 S=1+2+22+23+22000，则 S=2SS=220011。 例 13、比较 与 2 的大小。201648S 提示：错项相减：计算 。S 活动效果