1、2013 届 高 三 第 五 次 练 考 数 学 （ 理 ） 试 卷 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 第卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1.设集合 ，则满足 的集合 有,5432,1UUBA,212,1BA A1 个 B3 个 C4 个 D8 个 2. 已知复数 ，则 的值为izz A. 0 B. C.2 D. -2 2 3.已知数列 满足 且 ， 是数列 的前 n 项na ),(21*Nnann1anSa 和，则 等于21S A. B.6 C.10 D.11 4过双曲线 的右焦点 F 且与
2、 轴垂直的直线与双曲线交于，两点，抛物线152yxx 过 A，B 两点，则 等于py2p A B C D 12412554 5. 函数 的图像是)2(coslnxy 6.如果执行右面的程序框图，那么输出的 S= A. 1 B. C. D. 091098 7将函数 的图像上各点的横坐标伸长到原来的)3cos(xy 2 倍 （纵坐标不变）,再向左平移 个单位长度，所得函数图像的一6 条对称轴为 A . B. 28 C . D. x23x 8.由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字且 1,3 都不与 5 相邻的六位偶 数的 个数是 A72 B96 C108 D144 9. 已知一个空间几何体的
3、三视图如图所示，且这个空间几何体的 所有 顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 A. B. C. D. 3794328928 10.已知椭圆 的焦点为 ，在长轴 上任取一12yx21,F21A 点 M,过 M 作垂直于 的直线交椭圆于点 P,则使 的点的概率为 2A0PF A B C D 336236 11.已知抛物线 与椭圆 有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的)0(2pxy )0(12bayx 交点， 轴，则椭圆的离心率是F A . B. C. D. 1123 12.设函数 区间 集合 ，则使得),(2)(Rxf),(,baMMxfyN),( 的实数对 有NMba, A.1 个 B.2
4、个 C.3 个 D.无数多个 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.已知向量 则 等于 .(21)03ab 14.设 为坐标原点, 满足 ,则 的最大值为 .O),(0,2yxNM 12534xyMONcos 15.将一枚硬币连掷 5 次,如果出现 次正面的概率等于出现 次正面的概率,那么 的值为 .kkk 16.已知数列 满足： ，且 是等比数列，则na NnSan,)(,11 nna)1(32 的表达式为 .n 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答 卷纸的相应位置上
5、) 17.（本小题满分 12 分）在 中,角 所对的边分别为 ,且满足ABC, cba.3,52cosA (1)求 的面积; (2)若 求 的值.BC,6cba 18.（本小题满分 12 分）某高校在 2011 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按 成绩分组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第 4 组 ，第 5 组 得到80,785,90,9,10, 的频率分布直方图如图所示。 （1）分别求第 3，4，5 组的频率； （2）若该校决定在笔试成绩高的第 3，4，5 组中用 分 层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试。(i)已知学生 甲 和学生乙的成绩均在第 3 组，
6、求学生甲和乙同时进入 第 二轮面试的概率；（ii）学校决定在这 6 名学生中随 机 抽取 2 名学生接受考官 D 的面试，设第 4 组中有 X 名 学 生被考官 D 面试，求 X 的分布列和数学期望。 19. (本题满分 12 分）如图所示,在三棱柱 1CBA 中, 是正方形 的中心，HBA1 H1,2 平面 ，且 .15C (1)求异面直线 与 所成角的余弦值；1 （2）求二面角 的正弦值. 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆的焦点坐标为 ,过)01(,(21F 垂直于长轴的直线交椭圆于 两点, . 2FQP3 (1)求椭圆的方程; (2)过 的直线 与椭圆交于不同的两点 ,则 的内切圆
7、的面积是否存在最大值?若存在,求2l NMF1 出这个最大值,及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 21.（本小题满分 12 分）设函数 2)(axef （1）求 的单调区间；)(xf C C1 B1 A1 HB A （2）若 ，且当 时， 求 的最大值。Zka,10x()(10,kfxk 请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做 的第一题计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，A,B,C,D 四点在同一圆上，BC 与 AD 的延长 线交 于
8、点 E,点 F 在 BA 的延长线上。 （1）若 求 的值；,21,3EADBCBC （2）若 ，证明： 。2FD 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为 轴x 的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线 C 的极坐标方程为 ).sin(co2 （1） 求 C 的直角坐标方程； （2） 直线 为参数）与曲线 C 交于 A,B 两点，与 轴交于 E,求:lty x(231 y 的值。EBA 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设 .43)(xxf (1)解不等式 ;2)(f (2)若存在实数 满足 试求实数
9、的取值范围。,1axfa 高三五练理科数学参考答案 一、选择题： A C B C 二、13 ；14.；15.；16. 253)1(2 nna 三、解答题： 17. 解：（）因为 ，所以52cosA ,54sin,312cosAA 又由 得 所以 ，,3CAB,3b5b 因此 6 分2sin1cS （）由（）知， ，又 ，所以 或 ，c6c1,5cb5,cb ，所以 2 分0os22Abca 5a 18.解：（1）第 3 组的频率为 0.3，第 4 组的频率为 0.2，第 5 组的频率为 0.1.-3 分 （2） （i）设事件 A:学生甲和乙同时进入第二轮面试，则 -2 分 .145)(3028
10、CAP （ii）由分层抽样的定义知：6 名学生有 3 名来自第 3 组，2 名来自第 4 组，1 名来自第 5 组， 所以 X 的可能取值为 0，1，2，且 -8 分5)(,158)(,5)( 2626464 XCXPCP X 0 1 2 P 28 所以 。-12 分3155)( E 19.解：如图所示,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原点.依题意得111(20),(,)(2,),(2,0),(2,0)(,25).ABCAC (1)易得 5 于是 324,cos11BA 所以异面直线 AC 与 所成角的余弦值为 .-6 分1 (2)易知 ).5,2(),02,(11 CAA 设平面 的法向量
11、 ,则 ,即 ,不妨令)mxyz 10A025yzx ,可得 .5x(5,02) 同样可设面 的法向量 ,得 .1CBA1(,)nxyz (0,5)n 于是 ,从而 .cos, 7mn 3si,7m 所以二面角 的正弦值为 .-12 分1BA53 20.解（1）设椭圆的方程为 ，由焦点坐标得 .由 ,可得)0(2bayx 1c3PQ .又 ,所以 ,故椭圆方程为 .-4 分32ab22ac3, 342yx (2)设 ,不妨设 ,设 的内切圆的半径为 ,则)()(21yxNM021yMNF1r 的周长 = ,因此 的面积最大, 就F1 rFMSF )(,8411 1 最大. 21221)(11
12、yySFMN 由题意知,直线 的斜率不为零，可设直线 的方程为l l1myx 由 ，得 ，得 ， 1342yxm096)4(2y431621 .所以 = ,622y 21221)(11 yFSFMN 2m 令 ,则 ,则 当 时取等号,所以 ,1mtt ,3321 tt 0,t 43maxr 这时所求内切圆面积的最大值为 ,此时的直线方程 .-12 分691x 21.解：可知函数的定义域 ， .)(aef( 若 则 所以 在 上单调递增-2 分,0a,)(xf)(xf), 若 ，则当 当ln,0a0)(,(lnxfax 所以 在 上单调递减，在 上单调递增。-5 分)(xf), ),l （2）
13、由于 ，所以1a 1)(1)( xekxxfkx 故当 时，0x 00) f x 令 ，则 -7 分xegx1)( 22 )1()1(x xeeg 由（1）知，函数 在 上单调递增)(hx,0 而 所以 在 上存在唯一的零点,02,)(h2ex, 故 在 上存在唯一的零点。-9 分xg) 设此零点为 ，则 ，当 当 ，所以 在),1(,0)(,0xgx0)(,(xg)(xg 上的最小值为 ，又由 =0，可得 ，所以),0(g 2e ，因为 ，故整数 的最大值为 2.-12 分)3,2(g)(kk 22.解: (1) 四点共圆， 又DCBA,.EBFC ， -CEDABCE,AB .6,21,3,ADEE -5 分 （2）证明： 又 .,2FF FBA, 又 四点共圆，.,EBAFEBCA, 。-10 分EDDC, 23解：（1）C 的直角坐标方程为 即 -5 分,22yx2)1()(2y （2）将 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 ，所以l 0t .-10 分54)(21212121 ttttEBA 24.解(1) 由图像可得 的解集为 - 4,7231,43)( xxxf 2)(xf 29,5 5 分 (2)函数 -的图像是经过点（0，-1）的直线，由图像可得 -1axy ,21,a -10 分
