1、1 焦半径公式的证明 【寻根】 椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点 F1， F2（| F1F2|=2c）距离之和为定值 2a（2 a2c）的动点轨迹（图形）. 这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数 c 和 a. 第一个参数 c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数 a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的 “身份”来， c 比 a 更“显贵”. 遗憾的是，在椭圆的方程 里，却看不到 c 的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本” 之嫌. 为了“正本” ，我们回到椭圆的焦点处，寻找 c，并寻找关于 c 的“题根”. 一、 用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根
2、基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义. 但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公 式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 【例 1】 已知点 P（ x， y）是椭圆 上任意一点， F1（- c,0）和 F2(c,0)是椭圆的两个焦 点.求证：| PF1|=a+ ；| PF2|=a - . 【分析】 可用距离公式先将| PF1|和| PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消 y”即可. 【解答】 由两点间距离公式，可知 |PF1|= (1) 从椭圆方程 解出 (2) 代（2）于（1）并化简，得 |PF1|
3、= (-a x a) 4 同理有 |PF2|= (-a x a) 【说明】 通过例 1，得出了椭圆的焦半径公式 r1=a+ex r2=a-ex (e= ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点 P（ x,y）横坐标的一次函数. r1是 x 的增函数， r2是 x 的 减函数，它们都有最大值 a+c,最小值 a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于 x,y 轴，关于 原点）. 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为 其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式
4、，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 【例 2】 P (x,y)是平面上的一点， P 到两定点 F1（- c，0） ， F2（ c，0）的距离的和为 2a（ ac0）.试 用 x， y 的解析式来表示 r1=|PF1|和 r2=|PF2|. 【分析】 问题是求 r1=f（ x）和 r2=g（ x）.先可视 x 为参数列出关于 r1和 r2的方程组，然后从中得出 r1和 r2. 【解答】 依题意，有方程组 -得 代于并整理得 r1-r2= 联立，得 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中 含 c 而无 b，其基础性
5、显然. 三、 焦半径公式与准线的关系 1 用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右，点 P（ x， y）是以 F1（ -c,0）为焦点，以 l1： x=- 为准线的椭圆上任意一点. PD l1于 D.按椭圆 的第二定义，则有 即 r1=a+ex,同理有 r2=a-ex. 对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线 缺乏定义的“客观性”. 因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性. 【例 3】 P（ x， y）是以 F1（- c，0） ， F2（ c，0）为焦点，以距离之和为 2a 的椭圆上任意一点.直线 l 为 x=- ， PD1 l 交 l 于
6、D1. 求证： . 【解答】 由椭圆的焦半径公式 | PF1|=a+ex. 对| PD1|用距离公式 | PD1|=x- =x+ . 故有 . 【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点 F1（- c,0） （ F2（ c,0） ）与定直线 l1:x=- (l2： x= )的距离之比为定值 e（0 e1）. 四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程 现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另 1 一半，从“方程到曲线” ，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特 别是逆过程中的两次求平方根）. 其实，有了焦半径公式， “
7、证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明. 【例 4】 设点 P（ x， y）适合方程 .求证：点 P（ x， y）到两定点 F1（ -c,0）和 F2（ c，0）的距离之和为 2a（ c2=a2-b2）. 【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例 2 导出的焦点半径公式，很 快可推出结果. 【解答】 P（ x， y）到 F1（- c,0）的距离设作 r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式可知 r1=a+ex 同理还有 r2=a-ex + 得 r1+r2=2a 即 | PF1|+|PF2|=2a. 即 P（ x， y）到两定点 F1（- c，0）和 F2（ c,0）的距离之和为 2a. 【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦 半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.
