1、1 相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到 成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等 量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、作平行线 例 1. 如图， 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 ADAE，DE 延长线与ABC BC 延长线相交于 F，求证： BEB D A C F E B G D A C F E 证明：过点 C 作 CG/FD 交 AB 于 G 小结：本题关键在于 ADAE 这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相 等的方法：相似、成比例。 例
2、2. 如图，ABC 中，ABAC，在 AB、AC 上分别截取 BD=CE，DE，BC 的延长线相 交于点 F，证明：AB DF=ACEF。 分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。欲 证 ， 需 证 ， 而 这 四 条 线 段 所 在 的 两 个 三 角 形 显 然ABDFCEABEFD 不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加 平行线。 方法一：过 E 作 EM/AB，交 BC 于点 M，则EMCABC（两角对应相等，两三 角形相似） 。 EMABCABEC即 ， AM 2 同 理 可 得 EMFDBEFM， 又 ，BC（
3、 为 中 间 比 ） ， A， AC 方法二：如图，过 D 作 DN/EC 交 BC 于 N 则 有 ， ，BDNAC ABDN， 即 （ 比 例 的 基 本 性 质 ） 同 理 ，ECFN DBEC， 而 （ 已 知 ） （ 为 中 间 比 ） ， ACFDAF， 二、作垂线 3. 如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF，垂足分别为 E、F，求 证： 。2EB BNM 证明：过 B 作 BMAC 于 M，过 D 作 DNAC 于 N ACE （1）ACEACEB 又 （2）DNFNFD （1）+（2） )(AMA 3 又 AN=CM BCMADN 2)
4、(ACAFE 三、作延长线 例 5. 如图， Rt ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F，FG AB 于 G，求证：FG =CF BF2 解析：欲证式即 由“三点定形” ，BFG 与 CFG 会相似吗？显然不可FGCB 能。 （因为 BFG 为 Rt） ，但由 E 为 CD 的中点，可设法构造一个与 BFG 相似的三 角形来求解。 不妨延长 GF 与 AC 的延长线交于 H 则 ECFDGA H 又 ED=EC FG=FH 又易证 RtCFHRtGFB FGFH=CFBF BFG FG=FH FG 2=CFBF 四、作中线 例 6 如图，
5、 中，ABAC，AE BC 于 E，D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求AC AC。 解：取 BC 的中点 M，连 AM AB AC AM=CM 1=C 又 BD=DC DCBDB1 4 又 DC=1 MC= BCMACDBBCA21 （1）2 又 又 EC=1 ERtt （2）BA2 由（1） （2）得， 41AC32 小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取 BC 中点 M，构造 与AC 相似是解题关键DC 练习题 1、在ABC 中，D 为 AC 上的一点，E 为 CB 延长线上的一点，BE=AD，DE 交 AB 于 F。 求证：EFBC=ACDF 2、 中， ，
6、AC=BC，P 是 AB 上一点，QABC90 是 PC 上一点（不是中点） ，MN 过 Q 且 MNCP ，交 AC、BC 于 M、N，求证： 。CNMBA: 例 1： 已知：如图，ABC 中，ABAC，BD AC 于 D 求证： BC22CDAC 证法一（构造 2CD）：如图，在 AC 截取 DEDC， BDAC 于 D， BD 是线段 CE 的垂直平分线， BC=BE，C=BEC， 又 ABAC ， C=ABC BCE ACB ， BCAEBCAD2 BC 22CD AC 证法二（构造 2AC）：如图，在 CA 的延长线上截取 AEAC，连结 BE， ABAC ， ABAC=AE EBC
7、=90 ， 又BDAC EBC=BDC=EDB=90， B C A D E A B C D E A B CD E 5 E=DBC， EBC BDC 即BCEDA2 BC 22CD AC 证法三（构造 ） ：如图，取 BC 的中点 E，连结 AE，1 则 EC= 2 又AB=AC， AEBC，ACE= C AEC=BDC=90 ACEBCD 即 BADE2 1 BC 22CD AC 证法四（构造 ）：如图，取 BC 中点 E，连结 DE，则 CE= CBC21 BDAC ，BE=EC=EB， EDC=C 又AB=AC，ABC=C， ABCEDC J 即 EADBB21 BC 22CD AC 例
8、2已知梯形 中， ， ， 是ACD/ADC3E 腰 上的一点，连结AB （1）如果 ， ， ，求 的BEBEB 度数； （2）设 和四边形 的面积分别为 和 ，且A1S2 ，试求 的值13SE （1）设 ，则kkB3 解法 1 如图，延长 、 交于点CDF ， ， AD/AAB3 ， 为 的中点kF2 又 ，又 为等边三角形 故CEC60B A B C D E A B C D E 6 解法 2 如图 作 分别交 、 于点 、ABDF/CEBGF 则 ，得平行四边形EAD 同解法 1 可证得 为等边三角形 故 60 解法 3 如图 作 交 于 ，交 的延长线于CAF/GBCF 作 ，分别交 、
9、于点 、BIEHI 则 ，得矩形EA ，/3 又 ，故 为 、 的中点D3FDA 以下同解法 1 可得 是等边三角形CGI 故 60B 解法 4 如图， 作 ，交 于 ，作 ，交 于 ，得AF/ E/BG 平行四边形 ，且DAB 读者可自行证得 是等边三角形，故60 解法 5 如图 延长 、 交于点 ，作 ，分别交 、CEFCDG/ 于点 、 ，得平行四边形GH 可证得 为 的中点，则 ，故ADkA2601 得 为等边三角形，故BB 解法 6 如图（补形法） ， 读者可自行证明 是等边三角形，CF 得 0 （注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积 法等） （2）设 ，则SBCE3S
10、AECD2四 边 形 解法 1（补形法）如图 补成平行四边形 ，连结 ，则FAF 设 ，则 ，xSACDxSACE2xCD2 由 得， ，FBs3s45 7 sxSACE43243sSAEBC 解法 2 （补形法）如图，延长 、 交于点 ，DF91ABCDSsSFADABCF581梯 形 ， ，又SFD sFE821 sSEBC387BEC 设 ，则 ， ，mm15BAF ，2A4A 解法 3（补形法）如图 连结 ，作 交 延长线于点CDF/ 连结 则 ，故 （1）BF3 ，ACFDSECADS四 边 形2AEBFEB四 边 形 故 （2）F3)(32 由（1） 、 （2）两式得 即44 解法
11、 4（割补法）如图 连结 与 的中点 并延长交 延长线于点 ，如图，ACDFBCG 过 、 分别作高 、 ，则 且E1h2AD ，AECGACDS四 边 形四 边 形 sSBCB5梯 形 ，又2 153hABG43 8 ， ，故5421hABE4 说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作 辅助线，构造相似三角形. 例 3如图 4-1，已知平行四边 ABCD 中，E 是 AB 的中点， ADF31 ，连 E、F 交 AC 于 G求 AG：AC 的值 解法 1： 延长 FE 交 CB 的延长线于 H， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCA/， H= AFE，D
12、AB=HBE 又 AE=EB， AEFBEH ，即 AF=BH， ADF31 ， BCF31 ，即 HF41 ADCH ，AGF=CGH，AFG=BHE， AFGCGH AG：GC=AF：CH， AG：GC=1 ：4， AG：AC=1 ：5 解法 2： 如图 42，延长 EF 与 CD 的延长线交于 M，由平行四边形 ABCD 可知，DCAB/ ，即 ABMC， AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC F31 ， AF：FD=1：2， AE：MD=1：2 DCABE1 AE：MC=1 ：4，即 AG：GC=1：4 ， AG：AC=1 ：5 例 4、如图 45，B 为 AC 的中点， E
13、 为 BD 的中点，则 AF：AE=_. 解析：取 CF 的中点 G，连接 BG B 为 AC 的中点， BG：AF=1：2，且 BG AF，又 E 为 BD 的中点， F 为 DG 的中点 EF：BG=1：2 故 EF：AF=1：4， AF：AE=4：3 例 5、如图 4-7，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O 点，E 为 AB 延长线上一点， OE 交 BC 于 F，若 AB=a，BC=b，BE=c，求 BF 的长 9 解法 1： 过 O 点作 OMCB 交 AB 于 M， O 是 AC 中点，OMCB， M 是 AB 的中点，即 aB21 ， OM 是ABC 的中
14、位线， bCO ， 且 OMBC， EFB= EOM，EBF= EMO BEFMOE ， EM BF ， 即 cabBF21 ， ca b2 . 解法 2： 如图 4-8，延长 EO 与 AD 交于点 G，则可得 AOGCOF， AG=FC=b-BF， BFAG， AE BF 即caBFb ， 2 ca bBF2 . 解法 3： 延长 EO 与 CD 的延长线相交于 N，则BEF 与CNF 的对应边成比例，即CNEF 解得 ca bB2 . 例 6、已知在ABC 中，AD 是BAC 的平分线求证： CD BA 分析 1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用， 在
15、没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生此题中 AD 为ABC 内角 A 的 平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助 线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关 系，去探求问题的解决 证法 1： 如图 49，过 C 点作 CEAD，交 BA 的延长线于 E在BCE 中， DACE， AE BD 10 又 CEAD， 1=3，2=4，且 AD 平分 BAC， 1=2，于是3= 4， AC=AE代入式得 AC BD 分析 2 由于 BD、CD 是点 D 分 BC 而得，故可过分点 D 作平行线 证法 2： 如图 4
16、10，过 D 作 DEAC 交 AB 于 E，则 2= 3 1=2， 1= 3 于是 EA=ED 又 C BEA ， EA B ， CD . 分析 3 欲证式子左边为 AB：AC，而 AB、AC 不在同一直 线上，又不平行，故考虑将 AB 转移到与 AC 平行的位置 证法 3： 如图 411，过 B 作 BEAC，交 AD 的延长线于 E，则2= E 1=2， 1= E，AB=BE 又 ACD B ， D . 分析 4 由于 AD 是BAC 的平分线，故可过 D 分别作 AB、AC 的平行线，构造相似三角形求证 证法 4 如图 412，过 D 点作 DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 A
17、C 于 F 易证四边形 AEDF 是菱形则 DE=DF 由BDEDFC，得 E BFC 又 A BDE ， D. 一、如何证明三角形相似 例 1、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG 交 BC、BD 于点 E、F，则AGD 。 例 2、已知ABC 中，AB=AC ，A=36，BD 是角平分线，求证：ABC BCD B G 11 例 3：已知，如图，D 为ABC 内一点连结 ED、AD，以 BC 为边在ABC 外作 CBE=ABD，BCE=BAD 求证：DBEABC 例 4、矩形 ABCD 中，BC=3AB，E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE、AF、AC，问
18、图 中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例 5、ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证： DF AC=BC FE 例 6：已知：如图，在ABC 中，BAC=90 0，M 是 BC 的中点，DMBC 于点 E，交 BA 的延 长线于点 D。 求证：（1）MA 2=MD ME；（2）DEA2 例 7：如图ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交 AD 于 E，交 AB 于 F，求证： AE：ED=2AF：FB。 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。 例 8：已知：如图
19、 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且 。求证：AEF=FBD31ADB 例 9、在平行四边形 ABCD 内， AR、BR、CP、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ AB，RP BC 例 10、已知 A、C、E 和 B、 F、D 分别是O 的两边上的点，且 ABED，BCFE，求 A B C D E F G A B C D E M 1 2 12 证：AFCD 例 11、直角三角形 ABC 中，ACB=90，BCDE 是正方形，AE 交 BC 于 F，FGAC 交 AB 于 G，求证：FC=FG 例 12、Rt ABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E，交斜边上的
20、高 AD 于 O，过 O 引 BC 的平行 线交 AB 于 F，求证： AE=BF 1、判定相似三角形的基本思路: 1.找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条 对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应 边所对的角是对应角。 2.记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定 理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判 定定理。 2、相似形的应用： 1.证比例式； 2.证等积式； 3.证直线平行； 4.证直线垂直； 5.证面积相等； 3、经典例题： 例 1.如图，在 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AC 延长 线上任意一点，
21、连接 DE 与 AB 交于 F，与过 A 平行于 BC 的直线交于 G。 求证： .CEABF 变式 1：如图，在 ABC 中， 与 互余，AB CD AB，DE/BC，交 AC 于点 E，求证： AD:AC=CE:BD. 例 2：如图：已知梯形 ABCD 中， AD/BC， ，且 BD CD 于 D。90ABC 求证： ；DBCA2 A B C D 13 例 3.如图，在 ABC 中， ，M 是 BC 的中90BAC 点，DM BC 交 BA 的延长线于 D，交 AC 于 E。 求证： EMA2 例 4.已知：在 ABC 中，AD 是 的平分线，BAC 点 E 在 AD 上，点 F 在 AD
22、 的延长线上，且ACBD 求证：BE/FC。 例 5.如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB、AC 上一点，切 BE=BF，BP CE，垂足为 P。 求证：PD PF. 例 6.在 ABC 的中线 AD,BE 相交于 G。 求证： AGB 的面积等于四边形 CEGD。 1.如图，在 中， ， 是 边上一点，连ABC DAC A B C D 14 接 BD （1）要使 ，还需要补充一个条件是 （只要求填一个）CAB （2）若 ，且 ， ，求 的长 2D3CD 2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，R 在 BC 的延长线上，AR 交 CD 于 Q，若 DQCQ43， 求 AQQR 的
23、值。 3.如图，梯形 中， ，且 ， ， 分别是 ， 的中点，ABCD 2ABCDEFABC 与 相交于点 EFM （1）求证： ；F （2）若 ，求 9 4.如图，ABC 中 AB=BD，AD 为中线，点 E 是 BD 的中点。 求证：（1） ABECBE； （2）求证：AC=2AE 5. 如图，点 ， 分别在 的边 ， 上，四边形 是等腰梯形，DEABC ACDEF 与 交于点 ，且 EFC GDE （1）试问： 成立吗？说明理由；ABF （2）若 ，求证： 是等腰三角形 6、已知：如图，AD 是ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线 EF 交 CB 的延 长线于点 F,求证： FCBD2
24、 MF EBA Q R P D CB A 15 7、已知：如图，四边形 ABCD 中，A=BCD=90 0,过 C 作对角线 BD 的垂线 交 BD、AD 于点 E、F。 求证： 2DCA 8、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE BC 于 E，AF CD 于 F. (1)ABE 与 ADF 相似吗？说明理由. (2)AEF 与 ABC 相似吗？说说你的理由. 9、已知：A=60，BD、 CE 是ABC 的高。 （1）ADE 与 ABC 相似吗？说明理由。 （2）图中共有几对相似三角形？ 思考：去掉A=60条件以上结论还成立吗？ 10.M 为线段 AB 的中点，AE 与 BD 交于 C，
25、DME=A=B= ，且 DM 交 AC 于 F，ME 交 BC 于 G。 （1）写出图中相似三角形； （2）连接 FG，若 =45，AB= ，AF=3，求 FG 的长。42 E D CB A GF E M D C BA 16 1、如图，ABC 中，三条内角平分线交于 D，过 D 作 AD 垂线，分别交 AB、AC 于 M、N，请写出图中相似的三角形，并说明其中两对相似的正确性。 2、如图，AD 为ABC 的高，DE AB，DFAC，垂足分别为 E、F ，试判断ADF 与 AEF 的大小，并说明明理由， 3、如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 BC、AB 上，且 CAD=ADE= B，AC：
26、BC=1：2，设EBD、 ADC、ABC 的周长分别为 m1 、m2 、m3 ，求的值， 4、如图，已知ABC 中，D 为 BC 中点，AD=AC，DE BC，DE 与 AB 交于 E，EC 与 AD 相交于点 F， （1）ABC 与FCD 相似吗？请说明理由；（2）若 S =5，BD=10，求 DE 的长。 6、已知:如图，在PAB 中,APB=120 O,M、N 是 AB 上两点，且PMN 是等边三角形。 求证: BMPA=PN BP 7、已知：如图，D 是ABC 的边 AC 上一点，且 17 CD=2AD，AEBC 于 E, 若 BC=13, BDC 的面积是 39, 求 AE 的长。
27、8、已知：如图，在ABC 中，AB=15 ，AC=12，AD 是BAC 的 外角平分线且 AD 交 BC 的延长线于点 D，DE AB 交 AC 的延长 线于点 E。 9、已知: 如图，四边形 ABCD 中，CBBA 于 B，DA BA 于 A，BC=2AD ，DE CD 交 AB 于 E，连结 CE，求证： DE2=AECE 10、如图，矩形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，DFAE 于 F. (1)ABE 与 ADF 相似吗？请说明理由.(2)若 AB=6，AD=12，BE=8，求 DF 的长. 11、如图：三角形 ABC 是一快锐角三角形余料，边 BC120mm, 高 AD 80mm
28、,要把它 加工成正方形零件，是正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正 方形零件的边长是多少？ 12、已知：如图：FGHI 为矩形，ADBC 于 D， ，BC 36cm,AD 12cm 。95GHF 求：矩形 FGNI 的周长。 H G NP D CB A I H GF D CB A 18 13、已知:如图,DEBC,AFFB=AGGE。求证:AFGAED。 14、己知:如图,ABCD,AF=FB,CE=EB. 求证:GC 2=GFGD. 15、如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,EFAE. 求证:AE 2=ADAF. 提示：延长AE、BC交于G，先证ADEG
29、CE，GCEAEF 16、如图,ADC=ACB=90 0,1=B,AC=5,AB=6,求AD的长 17、如图,正方形ABCD中,E是AD的中点,DMCE,AB=6,求DM的长。 18、己知:如图,AD是ABC的角平分线,EF垂直平分AD交BC的延长线于F. 求证:FD 2=FBFC. 提示:连结 AF 19、已知:如图,ABC中,ACB=90 0,F为AB的中点,EFAB.求证:CDFECF. 19 20、已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证:AEFACB. 21、已知:如图,DEBC,AD 2=AFAB。求证:AEFACD。 22、已知:如图,ABC中,ACB=90 0,CDAB,
30、DEBC,AC=6,DE=4,求CD和AB的长 23、已知:如图,ABC中,ABC=2C,BD平分ABC.求证:ABBC=AC CD. 24、已知:如图,CE是RtABC的斜边AB上的高,BGAP. 求证:CE 2=EDEP. 25、已知:如图,ABC中,AD=DB,1=2.求证:ABCEAD. 20 26、已知:如图,1=2,3=4. 求证:DBEABC. 27、如图，B=90 0，AB=BE=EF=FC=1。求证：AEFCEA. 28、如图，在梯形 ABCD 中，ABBC，BAD=90，对角线 BDDC 。 （1）ABD与DCB相似吗？请说明理由。 （2）如果AD=4，BC=9 ，求BD的
31、长。 29、已知，如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且 BP=3PC，Q 是CD的中点，ADQ 与QCP 是否相似？为什么？ 30、已知：如图所示，D是AC上一点，BE/AC，BE=AD ，AE分别交BD、BC 于点 F、G，1=2。则BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由 31、如图，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高，BAC 的平分线分别交 BC、CD 于点 E、F， ACAE=AFAB 吗？说明理由。 21 32、如图，AD是RtABC斜边BC上的高，DEDF，且 DE和DF 分别交AB、ACEFADBE于 、 。 则 吗 ？ 说 说 你 的 理 由 。 22 33、如
32、图,已知ABC中，ACB=90，AC=BC,点E、F在AB上,ECF=45.（1）求证: ACFBEC；（2）设ABC的面积为S，求证:AFBE=2S. 34、如图，在 ABCD中,过点B作BECD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且 BFE=C.（1）求证:ABFEAD；（2）若AB=4,BAE=30，求AE的长；（3）在（1） （2）的条件下,若AD=3,求BF的长. 35、将正方形 ABCD 折叠,使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合,折线交 AD 于 E,交 BC 于 F,边 AB 折叠后与 BC 交于点 G,（1）如果 M 为 CD 的中点,求证:DEDMEM=345.（2）
33、如果 M 为 CD 上任一点,设 AB=2a，问CMG 的周长是否与点 M 的位置有关?若有关,请把CMG 的周 长用含 DM 的长 x（即 DM=x）的代数式表示；若无关,请说明理由. 36、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10米,20米的梯形空地 上种植花木如图， （1）他们在AMD和BMC地带上种植太阳花,单价为8元/，当AMD 地带种满花后（图中阴影部分）共花了160元,请计算种满BMC地带所需费用.（2）若其余 地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为12元/和10元/，应选择哪种花 木,刚好用完所筹集的资金.（3）若梯形ABCD为等腰梯形,面积
34、不变（如图）请你设计一 种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得APBDPC,且S APD =SBPC ，并说明你的理由. 45 A E F BC A CE F D B A F E M CD G B 第 5 题图 A D C M 图 B A D C 图 B 23 37、如图,正方形 ABCD 的边长为 2,AE=EB,MN=1,线段 MN 的两端在 BC、CD 上,若AED 与以 M、N、C 为顶点的三角形相似,求 CM 的长. 38、如图,已知ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4,PQAB,P 点在 AC 上（与 A、C 不重合） ，Q 在 BC 上.（1）当PQC 的面积与四边形 PAB
35、Q 的面积相等时,求 CP 的长.（2）当PQC 的周长与 四边形 PABQ 的周长相等时,求 CP 的长.（3）试问:在 AB 上是否存在一点 M,使得PQM 为等 腰直角三角形,若不存在,请简要说明理由；若存在,请求出 PQ 的长. 40、如图,在ABC中,AB=AC,ADBC,DEAC,M为DE的中点,AM与BE相交于N,AD与BE相交于F. 求证:（1） = ；（2）BCEADM；（3）AM与BE互相垂直. DECEADCD 41、如图,在矩形ABCD中,AB=12，BC=6,点P沿AB边从点A开始向点B以2/s的速度移动； 点Q沿DA边从点D开始向点A以1/s的速度移动.如果P、Q同
36、时出发,用t（s）表示移动的时 间（0t6）,那么（1）当t为何值时,QAP为等腰直角三角形；（2）求四边形QAPC的面 积,提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相似? B C D M N E A A P Q B C A P Q B C M A DB F ENM C A Q P D C B 24 42、如图,已知点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且BAC=BDC=DAE.（1）求证: BEAD=CDAE；（2）根据图形特点,猜想 可能等于哪两条线段的比（只需写出图形中已 BCDE 有线段的一组比即可） ，并证明你的结论. 43、如图,在
37、 RtABC 中,ACB=90,CDAB,M 是 CD 上的点,DHBM 于 H,DH 的延长线交 AC 的延长线于 E.求证:（1）AEDCBM；（2）AECM=ACCD. 44、如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC,D 为 CB 延长线上一点,E 为 BC 延长线上点,且满足 AB2=DBCE. （1）求证:ADBEAC；（2）若BAC=40，求DAE的度数 45、如图,P 为正方形 ABCD 的边 BC 上的点,BP=3PC,Q 是 CD 中点,（1）求证:ADQ QCP；（2）在现在的条件下,请再写出一个正确结论. A D C E B A B C E D M H K A B P D
38、 Q C A B C ED 25 46、如图,在ABC 中,BAC=90D 为 BC 的中点,AEAD,AE 交 CB 的延长线于点 E.（1）求 证:EABECA；（2）ABE 和ADC 是否一定相似?如果相似,加以说明,如果不相似,那 么增加一个怎样的条件, ABE 和ADC 一定相似. 47、已知,如图,在ABC 中,D 是 BC 的中点,且 AD=AC,DEBC 交 AB 于点 E, EC与AD相交于点F.（1）求证:ABCFCD；（2）若S FCD =5,BC=10,求DE的长. 48、已知,梯形 ABCD 中,ADBC,ADAC）的边AB 上取一点，在边 AC上取一点E，使AD=A
39、E，直线 DE和BC 的延长线交于点P ，求证：BP：CP=BD：CE 54、已知：如图，在ABC 中，ABAC，ADAB ，AD 交 BC 于点 E，DCBC，与 AD 交于点 D 求证：AC 2AEAD提示：证明AECACD 55、已知：如图，在ABC 中，CAB90，ADBC 于点 D，点 E 是 AC 边的中 点，ED 的延长线与 AB 的延长线交于点 F 求证：AFD DFB B P A CQ B E AC D A B P D C B C D A E B CD A E F 27 56、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OFAC于点O，交AB于点E， 交CB的延长线于点F，求证：AO 2OE OF 57、已知：如图，ABC 为等腰直角三角形，ACB90，点 E、F 是 AB 边所在直 线上的两点，且ECF135 （1）求证：ECACFB ； （2）若 AE2，设 ABx， BFy，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求定义域； （3）若点 P（a，b）在上述（2）中的函数图象上移动，点 P 到点 M（0，1）的距离 为 PM， P 到 x 轴的距离为 PN，PMPN 的值有变化吗？若认为没有变化，请简要说明理 由；若认为有变化，请加以证明 （1）略；（2）y x2（x0） ；（3）PMPN1，不变41 B C DA F E O B C AE F
