1、Mathwang 1 几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 （1）均值不等式 设 是实数12,0na 221211212+nnnnaaaa 其中 .当且仅当 时，等号成立.0,ia 12n （2）柯西不等式 设 是实数，则1212nnb 2222112nnaababab 当且仅当 或存在实数 ，使得 时，等号成立.0(,)i k(,)iik （3）排序不等式 设 ， 为两个数组， 是 的任一排列，12n 12n 12nc， ， ， 12n， ,， 则 1212 1nababcabab 当且仅当 或 时，等号成立.n 12n （4）切比晓夫不等式 对于两个数组： ， ，有1 12n12 12
2、1211n nnnabababababn 当且仅当 或 时，等号成立. 12 二 相关证明 （1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由 121212nnnabababn b 而 12121231425312211nnnnnnabbaabba 根据“顺序和 乱序和” （在 个部分同时使用） ，可得12 212nnnna b 即得 Mathwang 2 121212nnnababab 同理，根据“乱序和 反序和” ，可得12121211nnnnab 综合即证 （2）用排序不等式证明“几何算数平均不等式”： 1212nnna 证明：构造两个数列： 112,nnaxxcc1211212,nnyyy
3、a 其中 .因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和：12nnca 12nxx 总是两数组的反序和.于是由“乱序和 反序和” ，总有1212nn nyyy 于是 aacc 即 12n 即证 1212nnaca （3）用切比晓夫不等式证明“算数开方平均不等式”： 221naa 证明：不妨设 ，12naa . 212n 2212121nnna 由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证. （4）用切比晓夫不等式证明“调和算数平均不等式” 1212+nnaa 证明： 1212+nnaa . 1212 1+nnaaa 不妨设 ，则 ，由切比晓夫不等式，上式成立.即证.12naa 11na Mathwang 3 （5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式 证明：不妨设 ，12naa 12nb 由切比晓夫不等式，有 .21212nnnab 由均值不等式，有 . 2212122121nnnnabb 所以 12naa 222211nnab 两边平方，即得 .即证.22bb （6）补充“调和几何平均不等式”的证明 证明：将 中的 换成 ，有 .1212nnna ia1i 1212 nnnaaa 两边取倒数，即得 .1212+nna
