1、1 导数之构造函数法证明不等式 1、移项法构造函数 【例 1】 已知函数 ，求证：当 时，恒有xxf)1ln() 1x1 【解】 )(xxf 当 时， ，即 在 上为增函数010)(f)(f)0,1(x 当 时， ，即 在 上为减函数 故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间()fx),1(),( 于是函数 在 上的最大值为 ，因此，当 时，),0(maxff 1x ，即 （右面得证） ，0)(fxf 0ln(x)ln 现证左面，令 ， 1)lxg 22)1()(1( xxg则 当 ，0),0(;(,)01( x时当时 即 在 上为减函数，在 上为增函数，gx 故函数 在 上的最小值为 ，)(
2、x),)()(ming 当 时， ，即10(g01lx ，综上可知，当 )ln(x xx)ln(,1有时 2、作差法构造函数证明 【例 2】已知函数 求证：在区间 上，函数 的图象在函数.ln21)(f),()(f 的图象的下方；3xg 【解】设 ，即 ，)()(fFxxFln213)( 则 =xx12 ) 2 当 时， =1x)(xFx)12( 从而 在 上为增函数，,061)(F 当 时 ，即 ，1x0)(xfg)(xgf 故在区间 上，函数 的图象在函数 的图象的下方。,( 32)( 3、换元法构造函数证明 【例 3】证明：对任意的正整数 n，不等式 都成立.321)1l(n 只需令 x
3、n1 【解】令 ，)1ln()(23xh 则 在 上恒正，1)(3 22 x),0(x 所以函数 在 上单调递增， 时，恒有 )(xh),0),0( ，0(h 即 ，1ln2332)ln(xx 对任意正整数 n，取 321)1l(, nx， 则 有 4、从条件特征入手构造函数证明 【例 4】若函数 y= 在 R 上可导且满足不等式 x 恒成立，且常数 a， b)(f )(f)(xf 满足 ab，求证： a b )(f 【解】由已知 x + 0 构造函数 ，)(f )(xfF 则 x + 0， 从而 在 R 上为增函数。F)(f 即 a bba)(b)(ff 5、构造二阶导数函数证明导数的单调性
4、 例已知函数 21()xfe (1)若 f(x)在 R 上为增函数,求 a 的取值范围; (2)若 a=1,求证:x0 时,f(x)1+x 解：(1)f(x) ae x， （）在上为增函数，f(x)对恒成立， 即 - 对恒成立 3 记（） - ，则() - - =(1-x)e-x， 当时，（），当时，（） 知（）在(-,1)上为增函数,在(1,+ )上为减函数, g(x)在 x=1 时,取得最大值，即 g(x)max=g(1)=1/e, a1/e, 即 a 的取值范围是1/e, + ) (2)记 F(X)=f(x) (1+x) = )0(12xex 则 F(x)=e x-1-x, 令 h(x)
5、= F(x)=e x-1-x,则 h(x)=e x-1 当 x0 时, h(x)0, h(x)在(0,+ )上为增函数, 又 h(x)在 x=0 处连续, h(x)h(0)=0 即 F(x)0 ,F(x) 在(0,+ )上为增函数,又 F(x)在 x=0 处连续, F(x)F(0)=0,即 f(x)1+x 6.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式） 例：证明当 21)(,0 xex时 7.构造形似函数 例：证明当 abeab证 明, 例：已知 m、n 都是正整数，且 证明：,1nmmn)1()( 强化训练： 1、设 xaxfal2l)(,0 求证：当 时，恒有11n 4 2、已知定义在正实数
6、集上的函数 其中 a0，且,ln3)(,21)(2bxagxxf ， 求证：abln352 3、已知函数 ，求证：对任意的正数 、 ，xxf1)l() ab 恒有 .1lnab 4、 是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足 0，对任意)(xf )(xff 正数 a、 b，若 a k(x+ )对 x(0,1)恒成立，求 k 的最大值. 3 6 14.设函数 f(x)=a lnx+ ,曲线 y=f(x)在点（1，f(1)）处切线方程为 y=e(x-1)+2.xeb x1+ ()求 a,b； ()证明：f(x)1.利用导数求函数单调性 15.已知函数 f(x)= - -2x. xe ()讨论 f
7、(x)的单调性 ()设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x0 时，g(x)0,求 b 的最大值； 16.函数 f(x)=ln(x+1)- (a1)讨论 f(x)的单调性ax+ 17.已知函数 f(x)=xcosx-sinx,x0, ，求证：f(x)0；2 18、已知函数 , ，其中 R . （1）讨论 的单调性； （2）若 在其定义域内为增函数，求正实数 的取值范围； （3）设函数 , 当 时，若存在 ，对于任意的 ，总有 成立，求实数 的取值范围 19、已知函数 . 7 （）求函数 的单调区间； （）设 ，若对任意 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 20、设函数 表示 的导函数， ，（其中 ）（1）求 的单调区间（2）若对任 意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围 21、已知函数 , ，其中 R（）讨论 的单调性；（）若 在其定义域内为增函数，求正实数 的取值范围；（） 设函数 ,当 时，若 ， ，总有 成立，求实数 的取值范围 22、已知函数 . ()若 ，求曲线 在 处切线的斜率；()求 的单调区间；（） 设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ， 求 的取值范围。
