1、2013年度本科生毕业论文浅谈中学数学代数中的二次函数教学系数理系专业数学与应用数学年级姓名学号导师及职称(讲师)2013年4月毕业论文(设计)原创性声明本人所呈交的毕业论文(设计)是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知,除文中已经注明引用的内容外,本论文(设计)不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文(设计)的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中作了明确说明并表示谢意。作者签名日期毕业论文(设计)授权使用说明本论文(设计)作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文(设计)的规定,学校有权保留论文(设计)并向相关部门送交论文(设计)的电子版和纸质版。有权将
2、论文(设计)用于非赢利目的的少量复制并允许论文(设计)进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文(设计)的全部或部分内容。保密的论文(设计)在解密后适用本规定。作者签名指导教师签名日期日期毕业论文(设计)答辩委员会答辩小组成员名单姓名职称单位备注主任(组长)内容摘要函数是数学中重要的概念之一,它既是数学研究的对象,又是解决数学问题的基本方法,函数概念的产生是人类对现实世界认识上的一次重大的飞跃,它是从数量关系上对客观事物之间的联系的一种基本反映。二次函数有丰富的内涵和外延,通过函数,方程,不等式之间的联系,可以产生灵活多变的数学问题。本文就对学习函数时应注意的各事项进行归纳和总结,首先对于二次函数
3、的图像,基本性质及其基本形式之间的相互转换作了简单介绍。再者,着重介绍了二次函数的最值问题,并结合实际问题对于最值问题就二次函数的基本性质进行求解,通过求解归纳总结出二次函数在实际问题求解最值领域中的广泛应用。最后,对二次函数作了系统的考查,特别是二次函数与二次曲线的交点问题,它出现的形式较为灵活多变,从不同角度考查了二次函数的基本性质,它主要涉及到弦长,弦中点,对称与参量的问题,其解题方法归结为以“联立方程组,韦达定理,根的分布及曲线的定义”为依据求解。关键词函数二次函数和二次方程二次函数的最值问题二次函数的实际应用二次曲线与直线的交点问题目录引言页第一章一元二次函数的图像及其性质11一元二
4、次函数的图象页12通过分析ABC的取值对函数2YAXBXC的性质进行解读页13一元二次函数的三个基本形式页14利用一元二次函数解一元二次不等式页15利用二次函数讨论方程的解页第二章二次函数的极值问题第三章二次函数的实际应用第四章二次函数的考查41对称轴平移42轨迹问题43二次曲线与直线的交点问题总结参考文献致谢引言根据参考文献的查阅得知由于课改,中学的代数内容逐渐由解方程为中心转移到以研究函数为中心,为此作为即将毕业的师范类专业的学生,有必要对中学中的二次函数进行全面的认识和了解。并且在深入的了解二次函数时可以提升自己的数学思维能力,从而为以后的从业道路打下坚实的基础。第一章一元二次函数的图像
5、及其性质一般地,把形如2YAXBXC其中A,B,C是常数,A0,BC可以为0)的函数叫做二次函数,其中A称为二次项系数,B为一次项系数,C为常数项。X为自变量,Y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。11一元二次函数的图象在平面直角坐标系中作出二次函数2YAXBXC的图像,可以看出,在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。任意的一个二次函数图象可以通过2YAXBXC变形得Y22424BACBAXAA因此二次函数的图像可通过2YAX平移得到。12通过分析ABC的取值对函数2YAXBXC的性质进行解读121A的符号决定抛物线的开口方向和极限情况,A的绝对值
6、大小决定开口的大小,通过配方我们知道函数2YAXBXC的顶点坐标为2424BACBAA对称轴为(2BXA)。当A0时抛物线开口向上,函数有极小值2MIN44ACBYA。当A0时抛物线与X轴有两个交点。当24BAC0时抛物线与X轴有一个交点。当24BAC0时抛物线与X轴无交点。13一元二次函数的三个基本形式一般式2YAXBXC又称为标准式或定义式,式中有三个字母系数,确定二次函数的解析表达就是确定字母的取值,三个未知数的确定需要3个独立的条件,顶点式2YAXHK顶点式适用于已知二次函数图像的顶点坐标及给的另一条件,即已知与定点有关的条件。交点式12YAXXXX适用于已知二次函数图像在X轴两交点,
7、及所给的另一条件,此时二次函数的解就是二次方程的两根总结求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式。若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式。若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。若给出抛物线与X轴的交点或对称轴或与X轴的交点距离,通常可设交点式14一元二次函数与一元二次不等式的关系我们用二次函数解一元二次方程时,就是要找出使二次函数2YAXBXC的值是零的X值,然后从图形上看抛物线与X轴的交点数,无交点时即方程无实根,而交点的坐标即为方程的根,同样的我们可以用这样的方法解不等式。例求220XX和220XX的解。先作出图像抛物线与X轴的交点为A(20)
8、B(10)422455YX2X2当X取(21)时函数图像在X轴下方,那么函数值为负即220XX的解当X取(2)和(1)时函数图像在X轴的正上方,那么函数的值为正220XX的解15利用二次函数讨论方程的解例设二次函数2FXXAXA,方程0FXX的两根1X和2X满足1201XX(1)求实数A的取值范围(2)是比较010FFF与116的大小,并说明理由。分析1利用二次函数图像的对称轴,顶点和其他特殊点的位置建立不等式组求解或直接利用一元二次方程根的判定方法求解;(2)作差比较大小解(1)令21GXFXXXAXA,则由题意可得0010111032221032232200AAAAGAORAG故所求实数A
9、的取值范围是0,322(2)因为2010012FFFGGA令22HAA当0A时,HA单调递增,所以当0322A时,2110322232221712221617122HAH即101016FFF第二章二次函数的最值问题二次函数的极值问题可以通过配方法和判别式法求得即若0A则当2BXA时2MIN44ACBYA若0A则当2BXA时2MAX44ACBYA这些方法本质就是在研究函数Y的值集,如果找到一个函数的值集(假如存在极值)我们就可以在值集里找出函数的最大值和最小值指定区间二次函数的最值和值域(求二次函数的值域或最值,常用方法是配方法,二次函数在给定闭区间上的最值在顶点或区间端点处取得,如果解析式中含
10、参数,需要对参数进行分类讨论,根据对称轴与给定区间的位置关系,结合二次函数的图像利用二次函数的单调性处理)例试求二次函数223FXXAX在区间1,2上的最小值。分析二次函数的图像的对称轴为XA,要求函数在区间1,2上的最小值就需要看对称轴与1,2的位置关系,为此需结合二次函数的图像对A进行分类讨论。解析222233FXXAXXAA当2A,即2A时,函数在区间1,2上为减函数,故此时最小值为247FA当1A,即1A时,函数在区间1,2上为增函数,故此时最小值为124FA综上当2A时,最小值为47A当21A时,最小值为23A,当1A时,最小值为24A例若A为实数,设函数2111FXAXXX的最大值
11、为GA。(1)设11TXX,求T的取值范围,并把FX表示为T的函数MT(2)求GA解析(1)因为11TXX所以要使T有意义,必须10X,即11X所以222212,4TX,且0T所以T的取值范围是2,2由得221112XT所以2211122MTATTATTA,2,2T(3)由题意知GA即为函数212MTATTA,2,2T的最大值,所以直线1TA式抛物线212MTATTA的对称轴,所以可分以下几种情况进行讨论当0A时,函数YMT,2,2T的图像时开口向上的抛物线的一段,由10TA知,MT在2,2T上单调递增,故22GAMA当0A时,MTT,2,2T,有2GA当0A时,函数YMT,2,2T的图像时开
12、口向下的抛物线的一段,若10,2TA,即22A时,易知22GAM,若12,2TA,即21,22A时,可知此时112GAMAAA,若12,TA,即1,02A时,可知此时22GAMA综上所述,有12,2121,22222,2AAGAAAAA第三章二次函数的实际应用例某旅游点有50辆自行车供游客租凭使用,管理这些自行车的费用是每日115元,根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出,若超过6元,则每超过1元,租不出去的自行车就增加3辆,为了便于结算,每辆自行车的日租金X(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用Y(元)表示出租自行车的日净收入(即一
13、日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数YFX的解析式及其定义域(2)当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多解析(1)当6X时,50115YX,令501150X解得23X因为XN所以3X所以36X,XN当6X时,5036115YXX令50361150XX,有23681150XX上述不等式的整数解为220XXN所以620XXN,故25011536,368115620,XXXNYXXXXN定义域为320,XXXN(3)对于5011536,YXXXN显然当6X时MAX185Y(元)对于22348113681153620,33YXXXXXN,当X11时MAX270Y(
14、元)因为270185所以当每辆自行车的日租金定在11元时,才能使一日的净收入最多。总结二次函数的实际运用总结到一点就是求当自变量取何值式函数值取到最大或最小值,一般这样的问题多出现为经济问题中的利润最大化,工作中的材料最简化,人员安排与时间问题之间的最优化。第四章二次函数的考查41对称轴平移例已知二次函数2FXAXBXC(AZ)的图像关于Y轴对称对于XR1FX恒成立且10F求FX的解析式解因为FX的图像关于Y轴对称,那么顶点坐标002BXBA因为10F所以0ABC又因为XR1FX恒成立所以21AXBXC当0X时1C即图像过点(01)综上所述1100210CABBACABC所以FX的解析式为21
15、FXX例将函数22YX进行平移,使得到得图形与抛物线2242YXX的两个交点关于原点对称,求平移后的函数解析式解设1M(MN)和2M(MN)是2242YXX与22YXHK的两个交点则2224214242NMMMNNMM或14MN所以点(14)和点(14)在函数22YXHK的图像上2221414214HKHKHK所以平移后的函数解析式为2214YX即为2242YXX42轨迹问题建立平面直角坐标系XOY,X轴在地面上,Y轴垂直于地面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹方程221Y1020KXKXK表示的曲线上,其中K与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。求炮的最大射
16、程设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为32千米,试问它的横坐标A不超过多少时,炮弹可以击中它说明理由分析本题主要考查函数,方程和基本不等式等基础知识,考查数学阅读能力和解决实际问题的能力。解(1)令0Y的2211020KXKX由实际意义和题设条件知0,0XK故220202010112KXKKK,当且仅当K1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为0A,所以炮弹可以击中目标存在0K,使22132120KAKA成立关于K的方程22220640AKAKA有正根判别式222204640AAA6A所以当A不超过6(千米)时,可以击中目标43二次曲线与直线的交点关系分析直线与圆锥曲线的位
17、置关系,主要涉及弦长,弦中点,对称,参量的取值范围,求曲线方程等问题一般依据“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线的定义”例已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆2210200XYX相切,过点4,0P作斜率为14的直线L,使得L和G交于A,B两点,和Y轴交于点C,并且点P在线段AB上,又满足2PAPBPC1求双曲线G的渐近线的方程。2求双曲线G的方程3椭圆S的中心在原点,它的短轴是G的实轴。如果S中垂直于L的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分,求椭圆S的方程。解(1)设双曲线G的渐近线的方程为YKX则由渐近线与圆2210200XYX相切可得2551KK所以12K
18、,即双曲线G的渐近线的方程为12KX(2)由(1)可设双曲线G的方程为224XYM把直线L的方程144YX代入双曲线方程,整理得2381640XXM则83ABXX,1643ABMXX因为2PAPBPC,P,A,B,C共线且P在线段AB上所以2PABPPCXXXXXX即4416BAXX,整理得4320ABABXXXX综上所述解的28M,所以双曲线的方程为221287XY(4)由题可设椭圆S的方程为221287XY27A,下面我们来求出S中垂直于L的平行弦中的轨迹。设弦的两个端点分别为11,MXY22,NXY,MN的中点为00,PXY则22112222128128XYAXYA两式作差得121212
19、122028XXXXYYYYA由于12124YYXX,1202XXX1202YYY所以0024028XYA,所以,垂直于L的平行弦中点的轨迹为直线24028XYA截在椭圆S内的部分,又由题,这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分,所以211122A,那么椭圆S的方程为2212856XY设抛物线过定点1,0A,且以直线1X为准线(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程(2)若直线L与轨迹C交于不同的两点M,N且线段MN恰被直线12X平分,设弦MN的垂直平分线的方程为YKXM,试求M的取值范围。解(1)设抛物线的顶点为,GXY,则其焦点为21,FXY。由抛物线的定义可知2AF(它等于点A到直线X1的距离)
20、所以2242XY,所以抛物线顶点G的轨迹C的方程为22114YXX(2)因为M是弦MN的垂直平分线与Y轴交点的纵坐标,由MN所唯一确定,所以要求M的取值范围,还应该从直线L与轨迹C相交入手显然,直线L与坐标轴不可能平行,所以,这直线L的方程为1YXBK,代入椭圆方程得222241240KBXXBKK,由于L与轨迹C交于不同的两点M,N,所以222441440BKBKK,即2224100KKBK又线段MN恰好直线12X平分,所以2212412MNBKXXK所以2412KBK,从而得知3322K0K下面,只需找到M与K的关系,即可求出M的取值范围,由于YKXM为弦MN的垂直平分线,故可考虑弦MN的
21、中点01,2PY在L1YXBK中,令12X,可解得2011412222KYBKKKK将点1,22PK代入YKXM可得32KM所以333344M且0M参考文献1人民教育出版社八年级学生用书上下册2北京大学出版社高等数学3赵攀峰中国期刊网二次函数求解秘方湖南长沙长郡中学4贺清伦中国期刊网二次函数与一元二次函数的关系及运用重庆市涪陵区第十四中学5徐红梅中国期刊网解读二次函数2YAXBXC江苏省扬州市江都区宜陵镇中学6上海人民出版社数理化自学丛书7曾志中国期刊网浅谈二次函数的应用浦江县浦江中学8直线与二次曲线的交点关系豆丁网致谢光阴似箭,白驹过隙,转眼间四年的大学本科生活即将落下帷幕,平平淡淡却又充实的四年,我收获着师生情,同窗情,收获着思想与智慧,也收获着感动。首先我要感谢XXX学院给我一个学习与成长的良好环境。再者我要感谢我的指导老师XXX,从选题到查阅资料,初稿,二稿,修改到再次修改总是细致入微,不厌其烦的给我指导和帮助,百忙之中的一次次面批,让我的论文一次比一次有了改观,直到成文。其次我要感谢我的班主任XXX老师,在四年的大学生活中,他言传身教,以身作则,让我潜移默化的学到了很多做人做事的道理。最后感谢学院的所有老师和员工,感谢你们辛勤的教育与关怀让我在一个美好的环境中不断成长。