1、求曲线轨迹方程的五种方法 一、 直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何 知识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例 1 长为 2a 的线段 AB 的两个端点分别在 x 轴、y 轴上滑动， 求 AB 中点 P 的轨迹方程。 解：设点 P 的坐标为（ x，y） ， 则 A（2x，0） ，B（0，2y） ，由|AB|=2a 得 =2a22)()(yx 化简得 x2+y2=a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。 二、 定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲 线定义写出方程，这种方法称为定义法。 例 2 动点 P
2、到直线 x+4=0 的距离减去它到 M（2，0）的距离 之差等于 2，则点 P 的轨迹是（ ） A、 直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意，动点 P 到点 M（2，0）的距离等于这点到直 线 x=-2 的距离，因此动点 P 的轨迹是抛物线，故选 D。 解法二：设 P 点坐标为（ x，y） ，则 |x+4|- =22)(yx 当 x-4 时，x+4- =2 化简得2)( 当时，y 2=8x 当 x-4 时，-x-4- =2 无解2)(yx 所以 P 点轨迹是抛物线 y2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明 显，解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的
3、题目，若能采 用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、 代入法 如果轨迹点 P（x，y）依赖于另一动点 Q（a，b） ，而 Q（a ， b）又在某已知曲线上，则可先列出关于 x、y、a、b 的方程 组，利用 x、y 表示出 a、b，把 a、b 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程，此法称为代入法。 例 3 P 在以 F1、F 2 为焦点的双曲线 上运动，则1962yx F1F2P 的重心 G 的轨迹方程是 。 解：设 P（ x0，y 0） ，G（x，y） ，则有 即 ，代入 )0(314yyxy30 得916 2x1962x 即 2y 由于 G 不在 F1F2 上，所以 y0
4、 四、 参数法 如果轨迹动点 P（x， y）的坐标之间的关系不易找到，也没有 相关的点可用时，可先考虑将 x、y 用一个或几个参数来表示，消去 参数得轨迹方程，此法称为参数法。 例 4 已知点 M 在圆 13x2+13y2-15x-36y=0 上，点 N 在射线 OM 上，且满足|OM|ON|=12，求动点 N 的轨迹方程。 分析：点 N 在射线 OM 上，而同一条以坐标原点为端点的射线上两 点坐标的关系为（x，y）与（kx，ky） （k0） ，故采用参数法求轨 迹方程。 解：设 N（x，y） ，则 M（kx，ky） ，k0 由|OM|ON|=12 得 =12)(22yxk2yx k（x 2+
5、y2）=12 ，又点 M 在已知圆上， 13k 2x2+13k2y2-15kx-36ky=0 由上述两式消去 x2+y2 得 5x+12y-52=0 点评：用参数法求轨迹，设参尽量要少，消参较易。 五、 交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交 点方程，此法称为交轨法。 例 5 已知 A1A 是椭圆 （a b 0）的长轴，CD 是垂12yx 直于 A1A 的椭圆的弦，求直线 A1C 与 AD 的交点 P 的轨迹方程。 解：设 P（ x，y） ，C（x 0，y 0） ，D（x 0，-y 0） ， （y 00） A 1（-a，0） ，A（a，0） ，由 A1、C、P 共线及 A、D 、P 共线 得 axy0 两式相乘并由 ，消去 x0，y 0，得，所求轨迹方程为120b （y0）12bax 点评：交轨法的难点是消参，如何巧妙地消参是我们研究的问题。
