1、带通信号取样定理 一个连续带通信号受限于 ，其信号带宽为 ，且有HLf, LHfB （1）km 其中， ， 为不超过 的最大正整数，由此可kffmLHLHff 知，必有 。10 则最低不失真取样频率 为minsf （2）kmBkffHs 122in 证明： 取样不失真的基本要求是样值序列的频谱各个谱块不重叠。这样就可以采 用带通滤波器恢复原来的带通信号。可见从频域分析，证明直观、清晰。 以下，分两步来证明。 （1）先证明当 时的情况。由公式（1）和（2） ，有0mkBfH （3）s2min 分析一个带通信号 ，其频谱为 ，如图 1 所示。txfX sfsf25.sf3sf4 sfsf25.sf
2、3sf4fX0 fLHLH II I sfsf2sf3sf4 sfsf2sf3sf40 ffs sfsf2sf3sf4 sfsf2sf3sf40 ffXssf2sf20 f5. 5.fH sf25. sf25.fX0 fII I （ a ） （ b ） （ c ） （ d ） （ e ） 图 1 带通信号 时的频谱图kBfH 其中图（a）表示 的带通信号频谱，其特点是最高频率 为带宽的整tx Hf 数倍 ，这里 ，图（b）表示采用 对带通信号 取样，而取样频率k5tsTtx ，其中 的频谱为 。图（c）表示LHsfBf2tsTfs ，其中实线表示频谱 I，虚线部分表示频谱 II，由图可见，ff
3、Xfss 在这种情况下恰好使得 中的 I、II 频谱不重叠。图（d）表示一个理想带fs 通滤波器特性。图（e ）表示经过理想带通滤波器后恢复的原始连续带通信号 的频谱 。txfXf 由图可见，若 ，则在 中的 I、II 频谱势必重叠，因而产生混Bs2fs 叠现象。这说明带通信号的取样频率 是最低取样频率。若 ，在Bs2Bfs2 理论上看是不必要的，但在实际上由于理想带通滤波器是不可能实现的，因此 必须要留有一定的富余频带。 （2）再分析 的一般情况，这时，可适当降低最低频率 ，显然0mLf 它使信号带宽相应适当增大， ，并使它们仍满足公式LHLHfBf （3）： 。BkfH 再由公式（1） BkfmkBH 可求得 （4）k1 由于 与 满足整倍数关系，则可利用公式（3）的结论，将公式（4）HfB 代入（3）中，得 （5）kmBfs12min 定理得证。
