轨迹方程求法汇总.doc

1、求轨迹方程的常用方法 重点: 掌握常用求轨迹方法 难点：轨迹的定型及其纯粹性和完备性的讨论 【自主学习】 知识梳理： （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点 P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、 抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到 轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点 P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译

2、法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P运动的某个几何 量 t，以此量作为参变数，分别建立 P点坐标 x，y 与该参数 t的函数关系 xf（t） ， yg（t） ，进而通过消参化为轨迹的普通方程 F（x，y）0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点 P的运动是由另外某一点 P的运动引发的，而该点 的运动规律已知， （该点坐标满足某已知曲线方程） ，则可以设出 P（x，y） ，用（x，y）表 示出相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等） ， 可以用几何法，列出几何式，再代入

3、点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常 通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消 去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程） ，该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P的运动规律，即 P点满足 的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )(0)(.2 为 参 数又 可 用 参 数 方 程表 示程轨 迹 方 程 既 可 用 普 通 方 tgyfx，yxF 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方

4、程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解， （即以该方程的 某些解为坐标的点不在轨迹上） ，又要检验是否丢解。 （即轨迹上的某些点未能用所求的方 程表示） ，出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或 极端情形。 4求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 课前热身： 1. P 是椭圆 =1 上的动点，过 P 作椭圆长轴的垂线，垂足为 M，则 PM 中点的轨59 2yx 迹中点的轨迹方程为： （ ） A、 B、 C、 15942yx 15492yx 1209yx D、 =136 2 【答案】：B 【解答】:令中点坐标为 ,则点

5、P 的坐标为( 代入椭圆方程得 ,选)(yx)2,yx15492yx B 2. 圆心在抛物线 上，并且与抛物线的准线及 轴都相切的圆的方程是（ )0(2yxx ） A B 412yx 0122y C D 04x 【答案】：D 【解答】:令圆心坐标为( ,则由题意可得 ,解得 ,则圆的方程为)2a21a ,选 D0412yx 3: 一动圆与圆 O： 外切，而与圆 C： 内切，那么动圆的2 0862xy 圆心 M的轨迹是： A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【答案】：D 【解答】令动圆半径为 R，则有 ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选1|RMC D。 4: 点 P(x0

6、，y 0)在圆 x2+y2=1 上运动，则点 M（2x 0，y 0）的轨迹是 （ ） A.焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 y 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的双曲线 D. 焦点在 X 轴上的双曲线 【答案】：A 【解答】:令 M的坐标为 则 代入圆的方程中得 ,),(yxyxx0022 142yx 选 A 【互动平台】 名师点题一：用定义法求曲线轨迹 求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹 方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量 之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义 在求轨迹中的作用，只要动点

7、满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直 接得出方程。 例 1：已知 的顶点 A，B 的坐标分别为（-4，0） ， （4，0） ，C 为动点，且满足C 求点 C的轨迹。,sin45isnB 【解析】由 可知 ，即 ，满足椭,si 15cab10|BA 圆的定义。令椭圆方程为 ，则 ，则轨迹方程为12yax 34, b （ ，图形为椭圆（不含左，右顶点） 。1925yx)5 【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 （1） 圆：到定点的距离等于定长 （2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） （3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）

8、（4） 到定点与定直线距离相等。 【变式 1】: 1:已知圆 的圆心为 M1，圆 的圆心为 M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P的轨迹方程。 解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得： ， 。 。 动圆圆心 P的轨迹是以 M1、M 2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b 2=12。 故所求轨迹方程为 2:一动圆与圆 O： 外切，而与圆 C： 内切，那么动圆的圆12yx 0862xy 心 M的轨迹是： A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【解答】令动圆半径为 R，则有 ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选1|RMCO D。 二：用直译法求曲线轨迹方程 此类问题

9、重在寻找数量关系。 例 2： 一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？ 解 设 M 点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角),(yx 形 AOB 中，OM= ,21aAB2,yxayx M 点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周. 【点评】此题中找到了 OM= 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法21 有下列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用 直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标

10、系，再根据题设 条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应 的恒等变换即得其轨迹方程。 4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何 中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出 其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式 2】: 动点 P（x,y）到两定点 A（3，0）和 B（3，0）的距离的比等于 2（即 ） ，求动点 P 的轨迹方程？2|PBA 【解答】|PA|= 22)3(|,)3( yxByx 代入 得|PBA 22 4

11、)3()( yx 化简得（x5） 2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4 为半径的圆. 三：用参数法求曲线轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数 的取值范围。 例 3过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l 2，若 l1交 x轴于 A点，l 2交 y轴于 B 点，求线段 AB的中点 M的轨迹方程。 【解析】 分析 1：从运动的角度观察发现，点 M的运动是由直线 l1引发的，可设出 l1的斜率 k 作为参数，建立动点 M坐标（x，y）满足的参数方程。 解法 1：设 M（x，y） ，设直线 l1的方程为 y4k（x2） ， （k） )

12、(22 ll的 方 程 为则 直 线由 A)0(1 的 坐 标 为轴 交 点与 kByl 42 的 坐 标 为轴 交 点与 M 为 AB的中点， )(124为 参 数kyx 消去 k，得 x2y50。 另外，当 k0 时，AB 中点为 M（1，2） ，满足上述轨迹方程； 当 k不存在时，AB 中点为 M（1，2） ，也满足上述轨迹方程。 综上所述，M 的轨迹方程为 x2y50。 分析 2：解法 1中在利用 k1k21 时，需注意 k1、k 2是否存在，故而分情形讨论，能 否避开讨论呢？只需利用PAB 为直角三角形的几何特性： |ABP 解法 2：设 M（x，y） ，连结 MP，则 A（2x，0

13、） ，B（0，2y） ， l 1l 2，PAB 为直角三角形 |21|P由 直 角 三 角 形 的 性 质 222 )()4()( yxyx 化简，得 x2y50，此即 M的轨迹方程。 分析 3：设 M（x，y） ，由已知 l1l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k21， 即可列出轨迹方程，关键是如何用 M点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上，由 M为 AB的中 点，易找出它们的坐标之间的联系。 解法 3：设 M（x，y） ，M 为 AB中点，A（2x，0） ，B（0，2y） 。 又 l1，l 2过点 P（2，4） ，且 l1l 2 PAPB，从而 kPAkPB1， 0yxkBPA而 0

14、522 xy， 化 简 ， 得 注意到 l1x 轴时，l 2y 轴，此时 A（2，0） ，B（0，4） 中点 M（1，2） ，经检验，它也满足方程 x2y50 综上可知，点 M的轨迹方程为 x2y50。 【点评】 1）解法 1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法 2，3 为直译法，运用了 kPAkPB1， 这些等量关系。 。|21|ABP 用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离， 角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定 参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 【变式 3】过圆 O：x 2 +y2=

15、4 外一点 A（4，0） ，作圆的割线，求割线被圆截得的弦 BC 的 中点 M 的轨迹。 解法一：“几何法” 设点 M 的坐标为（x,y）,因为点 M 是弦 BC 的中点，所以 OMBC, 所以|OM | | | ， 即(x 2 +y2)+(x ) 2 +y2 =16 化简得：（x2） 2+ y2 =4 由方程 与方程 x2 +y2= 4 得两圆的交点的横坐标为 1，所以点 M 的轨迹方程为 （x2） 2+ y2 =4 （0x1） 。所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心， 2 为半径的圆在圆 O 内的部分。 解法二：“参数法” 设点 M 的坐标为（x,y） ，B（x 1,y1）,C （x 2,

16、y2）直线 AB 的方程为 y=k(x4), 由直线与圆的方程得（1+k 2）x 2 8k 2x +16k24=0.(*), 由点 M 为 BC 的中点，所以 x= .(1) , 又 OMBC ，所以214k k= .(2)由方程（1 ） （2）xy 消去 k 得（x2） 2+ y2 =4,又由方程（*）的0 得 k2 ,所以 x1.31 所以点 M 的轨迹方程为（x2） 2+ y2 =4 （0x1）所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心， 2 为半径的圆在圆 O 内的部分。 四：用代入法等其它方法求轨迹方程 例 4. 的的 中 点求 线 段为 定 点上 的 动 点是 椭 圆点 MAB，aAby

17、axB)02(12 轨迹方程。 分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A为定点，而 B、M 为动点，且点 B的运动是 有规律的，显然 M的运动是由 B的运动而引发的，可见 M、B 为相关点，故采用相关点法求 动点 M的轨迹方程。 【解析】设动点 M的坐标为（x，y） ，而设 B点坐标为（x 0，y 0） 则由 M为线段 AB中点，可得yayax2200 即点 B坐标可表为（2x2a，2y） 上在 椭 圆点又 1)(20byaxyx ，ba )(12220从 而 有 14)(22byaxM，的 轨 迹 方 程 为得 动 点整 理 【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系 【

18、变式 4】如图所示，已知 P(4，0) 是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且 满足APB =90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j BQ RAPo y x 【解析】： 设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，则在 RtABP 中，| AR|=|PR| 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又因为 R 是 弦 AB 的中点，依垂径定理 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 在 RtOAR 中，| AR|2=|AO|2| OR|2=36(x 2+y2) 又|AR|=|

19、PR|= )4( 所以有(x4) 2+y2=36(x 2+y2),即 x2+y24x10=0 因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 Q(x,y)，R( x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1= ,20,41y 代入方程 x2+y24x 10=0, 得 10=0)( 整理得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 【备选题】 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点

20、 的动直线与双曲线相交于1F22 两点AB， （I）若动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点 的轨迹方程；M11FABO M （II）在 轴上是否存在定点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存xCC 在，请说明理由 解：由条件知 ， ，设 ， 1(20)F， 2()， 1()Axy， 2()Bxy， 解法一：（I）设 ，则 则 ， ，Mxy， F ， 11()FAy， ，由 得1221()()BxO ， ， ， 1O 即126y， 214xy， 于是 的中点坐标为 AB， 当 不与 轴垂直时， ，即 x1248 yyx1212()8yx 又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得

21、AB， 21y2xy ，即 1212122()()xxy212()4()y 将 代入上式，化简得 8y 6xy 当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(80)M， 所以点 的轨迹方程是 M(6)4y （II）假设在 轴上存在定点 ，使 为常数x0Cm， BA. 当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 ABxAB(2)1ykx 代入 有 2y222(1)4()0kx 则 是上述方程的两个实根，所以 ， ，12x， 214kx214kx 于是 )()(. 21221 kmxCBA221()4kxk2224)()1k 2 22 2()4(1)1mkm 因为 是与 无关的常数，所以 ，

22、即 ，此时 = CBA. 01CBA.1 当 与 轴垂直时，点 的坐标可分别设为 ， ，xAB， (2)， (2)， 此时 1)2,.(,1. 故在 轴上存在定点 ，使 为常数x0C， . 解法二：（I）同解法一的（ I）有 124xy， 当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 ABxAB(2)1kx 代入 有 2y222(1)4()0kx 则 是上述方程的两个实根，所以 12x， 214kx 21212 24()kykx 由得 24k 21yk 当 时， ，由得， ，将其代入 有0ky4xky 整理得 22 4()()1xxyy2(6)4xy 当 时，点 的坐标为 ，满足上述方程0kM(40)

23、， 当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程ABx12x(80)M， 故点 的轨迹方程是 (6)y （II）假设在 轴上存在定点点 ，使 为常数，x(0)Cm， BA. 当 不与 轴垂直时，由（I ）有 ， AB 2141kx241kx 以上同解法一的（II） 【误区警示】 1.错误诊断 【例题 5】 中，B，C 坐标分别为（-3，0） ， （3，0） ，且三角形周长为 16，求点 AA 的轨迹方程。 【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为 ，12byax 则由定义可知 ，则 ，得轨迹方程为3,5ca4b1625yx 【错因剖析】ABC 为三角形，故

24、 A，B，C 不能三点共线。 【正确解答】ABC 为三角形，故 A，B，C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点 ，)0,5.(, 即轨迹方程为 )5(1625xyx 2.误区警示 1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求 出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除； 另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案” 。 2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方 法的选择。 3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的部分。 【课外作业】 【基础训练】 1:已知两点 给出下

25、列曲线方程：)45,(),1NM ； ； ； ，在曲线上存在点024yx32yx12yx12yx P 满足 的所有曲线方程是（ ）| A B C D 【答案】:D 【解答】: 要使得曲线上存在点 P 满足 ,即要使得曲线与 MN 的中垂线|NM 有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有无解,则选 D32xy 2.两条直线 与 的交点的轨迹方程是 .01my01yx 【解答】:直接消去参数 即得 (交轨法): 02yx 3:已知圆的方程为(x-1) 2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹方程是 . 【解答】:令 M 点的坐标为( ,则 A 的坐标为(2 ,代入

26、圆的方程里面得:)yx)2yx041)2(yx 4:当参数 m 随意变化时，则抛物线 的顶点的轨迹方程为yxmx221 _。 【分析】：把所求轨迹上的动点坐标 x，y 分别用已有的参数 m 来表示，然后消去参数 m，便可得到动点的轨迹方程。 【解答】：抛物线方程可化为 m1254 它的顶点坐标为 xy54， 消去参数 m 得： y34 故所求动点的轨迹方程为 。430xy 5:点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为x5 _。 【分析】：点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，意味着点 M0 到点 F（4，0）的距离与它到直线 的距离相

27、等。由抛物线标准方程可写出点 M0 的轨迹方程。 【解答】：依题意，点 M 到点 F（4，0）的距离与它到直线 的距离相等。则点x4 M 的轨迹是以 F（4，0）为焦点、 为准线的抛物线。故所求轨迹方程为 。xyx216 6:求与两定点 距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为_OA130， 、 ， 【分析】:设动点为 P，由题意 ，则依照点 P 在运动中所遵循的条件，可列出等2 量关系式。 【解答】：设 是所求轨迹上一点，依题意得xy， OPA12 由两点间距离公式得： yx 231 化简得： xy20 7 抛物线 的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点，动点42 C 在抛

28、物线上，求ABC 重心 P 的轨迹方程。 【分析】：抛物线 的焦点为 。设ABC 重心 P 的坐标为 ，点xy201，F()xy， C 的坐标为 。其中()x1， 1 【解答】：因点 是重心，则由分点坐标公式得：Py， 3211yx， 即 x32311， 由点 在抛物线 上，得：Cxy1， xy42124xy 将 代入并化简，得： （3211， 32) 【能力训练】 8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ ，0），直线 y=x1 与其相交于 M、N 两点， MN中点的横坐标为 ，求此双曲线方程。 【解答】：设双曲线方程为 。将 y=x1 代入方程整理得2byax 。 由韦达定理得 。又有

29、，联立方程322,2121 baxbax 组，解得 。5,2a 此双曲线的方程为 。 9.已知动点 P到定点 F（1，0）和直线 x=3的距离之和等于 4，求点 P的轨迹方程。 【解答】：设点 P的坐标为（x，y），则由题意可得 。 （1）当 x3 时，方程变为 ，化简得1)1(,43)1( 22 xyxy 。)30(42y （2）当 x3时，方程变为 ，化简得xx 7)(,)( 22 。 故所求的点 P的轨迹方程是 或 10.过原点作直线 l和抛物线 交于 A、B 两点，求线段 AB的中点642xy M的轨迹方程。 【解答】：由题意分析知直线 l的斜率一定存在，设直线 l的方程 y=kx。把

30、它 代入抛物线方程 ，得 。因为直线和抛物线相交， 所以0，解得 。),624()624,( x 设 A（ ），B（ ），M（x，y），由韦达定理得 。 由 消去 k得 。 又 ，所以 。),6(),(x 点 M的轨迹方程为 。,42y 【创新应用】 11.一个圆形纸片，圆心为 O，F 为圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于 P，则 P 的轨迹是（ ） A:椭圆 B:双曲线 C:抛物线 D:圆 【答案】：A 【解答】：由对称性可知|PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R（R 为圆的半径） ，则 P 的 轨迹是椭圆，选 A。