1、珠海市 2012-2013 学年度第一学期期末学生学业质量监测 高三理科数学试题 1、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项. 1已知全集 RU，集合 Ay | y 2 x，xR ，则 ACU A B(0，) C (，0 DR 2已知 a，b 是实数，则“ 3ba”是“ 5b”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A4 B5 C6 D7 4. 已知直线 l，m 和平面 ， 则下列命题正确的是 A若 lm，m
2、，则 l B若 l，m ，则 lm C若 lm，l，则 m D若 l，m ，则 lm 5已知是虚数单位，复数 i3 A i10 B i10 C i831 D i831 6 函数 ysin (2x 4)的图象可由函数 ysin 2x 的图象 A向左平移 8个单位长度而得到 B向右平移 8个单位长度而得到 C向左平移 4个单位长度而得到 D向右平移 4个单位长度而得到 7若实数 x，y 满足不等式组 305xy 则 2x4y 的最小值是 A6 B4 C D 6 n12, i1 n3n1 开 始 n 是奇数 ? 输出 i 结 束 是 否 n n5? 是 否 n 2 ii1 (第 3 题图) O D
3、C BA P (图15图图图 8 对于直角坐标平面内的任意两点 1(,)Axy、 2(,)B，定义它们之间的一种“距离” ： AB= 1212xy，给出下列三个命题： 若点 C 在线段 AB 上，则AC +CB=AB； 在ABC 中，若C=90，则AC + CB=AB； 在ABC 中，AC+CBAB. 其中真命题的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D.3 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做题，考生 只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（9-13 题） 9函数 yxsin的导函数 y 10在递
4、增等比数列a n中， 4,234a，则公比 q 11某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）： 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30 人，结果合唱社被抽出 12人，则这三个社团人数共有_. 12在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C ， b，若ABC 的面积为 3 ，则 = 13如图，F 1，F 2 是双曲线 C： 21xyab (a0，b0) 的左、右焦点，过 F1 的直线与 的左、右两支分别交于 A，B 两点若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |3 : 4 : 5，则双 曲线 的离心率为
5、 . （二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题） 14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 xOy 中， 已知曲线1C ： tyx2 , (为参数）与曲线 2C ： sin3co,（ 为参数） 相交于两个点 A、 B，则线段 的长为 . 合唱社 粤曲社 武术社 高一 45 30 a 高二 15 10 20 x y O A B F1 F2 (第 13 题图 ) 15（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD 为 O 的两条割线， 若 PA=5，AB=7 ，CD=11，AC=2，则 BD 等于 . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 1
6、6（本小题满分 12 分） 设向量 a )sin,2(，b )cos,1(， 为锐角 （1）若 ab ，求 sin cos的值； 136 （2）若 ab，求 sin(2 )的值 3 17（本小题满分 12 分） 某中学校本课程共开设了 A， B，C，D 共 4 门选修课，每个学生必须且只能选修 1 门 选修课，现有该校的甲、乙、丙 3 名学生： （1）求这 3 名学生选修课所有选法的总数； （2）求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率； （3）求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望. 18（本小题满分 14 分） 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，
7、侧视图为等腰直角三 角形，俯视图为直角梯形 （1）求证： NBC1/平 面 ； （2）求证： BN1C平 面 ； （3）设 M为 A中点，在 边上找一点 P，使 M/平面 B,并求 P的值. 19(本题满分 14 分) 8 8 4 主视图 侧视图 俯视图 4 4 8 已知椭圆 C： )0(12bayx，左、右两个焦点分别为 1F、 2，上顶点),0(bA ， 21F为正三角形且周长为 6. （1）求椭圆 的标准方程及离心率； （2） O为坐标原点， P是直线 AF1上的一个动点，求 |2PO的最小值，并求 出此时点 的坐标 20(本小题满分 14 分) 已知函数 21(fxax， ()glnx
8、. （1）如果函数 )yf在 ,上是单调减函数，求 a的取值范围； （2）是否存在实数 0，使得方程 ()21)fx在区间 (,)e内有且只有 两个不相等的实数根？若存在，请求出 a的取值范围；若不存在，请说明理由 21（本题满分 14 分） 已知正项数列 na的前 项和为 nS，且 (2)4na *()N. （1）求 1的值及数列 的通项公式； （2）求证： 3332152na *()； （3）是否存在非零整数 ，使不等式 112()()cosnna 对一切 *nN都成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 珠海市 20122013 学年第一学期普通高中学生学业质量监测 高三理科数学试
9、题参考答案及评分标准 一、选择题：CABD AADB 二、填空题： 9函数 的导函数 yxsiny 10在递增等比数列a n中， ，则公比 4,234aq O D C BA P (图15图图图 11某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）： 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30 人，结果合唱社被抽出 12人，则这三个社团人数共有_. 12在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C ， ，若ABC 的面积为 ，则 = b3 13如图，F 1，F 2 是双曲线 C： (a0，b0) 21xy 的左、右焦点，过 F1
10、的直线与 的左、右两支分别交于 A，B 两点若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |3 : 4 : 5，则双 曲线 的离心率为 . （二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题） 14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 ： , (为参数）与曲线 ： ,（ 为参数）1Ctyx22Csin3co 相交于两个点 、 ，则线段 的长为 .AB 15（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD 为 O 的两条 割线， 若 PA=5，AB=7 ，CD=11，AC=2，则 BD 等于 . 9、 10、2 11、150 12、 2sincox7 13、 14、
11、4 15、 6 13 3、解答题：12+12+14+14+14+14=80 16（本小题满分 12 分） 设向量 a ，b ， 为锐角)sin,2()cos,( （1）若 ab ，求 sin cos的值； 136 （2）若 ab，求 sin(2 )的值 3 合唱社 粤曲社 武术社 高一 45 30 a 高二 15 10 20 x y O A B F1 F2 (第 13 题图 ) 17（本小题满分 12 分） 某中学校本课程共开设了 A， B，C，D 共 4 门选修课，每个学生必须且只能选修 1 门 选修课，现有该校的甲、乙、丙 3 名学生： （1）求这 3 名学生选修课所有选法的总数； （2）
12、求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率； （3）求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望. 18（本小题满分 14 分） 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三 角形，俯视图为直角梯形 （1）求证： ； （2）求证： ； NBC1/平 面 BN1C平 面 （3）设 为 中点，在 边上找一点 ，使 平面 ,并求 的值.MAPM/BP 19(本题满分 14 分) 已知椭圆 C： )0(12bayx，左、右两个焦点分别为 、 ，上顶点1F2 ， 为正三角形且周长为 6.),0(bA21F （1）求椭圆 的标准方程及离心率； （2） 为坐标原点
13、， 是直线 上的一个动点，求 的最小值，并求OPAF1 |2PO 出此时点 的坐标 20(本小题满分 14 分) 已知函数 21(fxax， ()glnx. （1）如果函数 )yf在 ,上是单调减函数，求 a的取值范围； 8 8 4 主视图 侧视图 俯视图 4 4 8 （2）是否存在实数 0a，使得方程 ()(21)gxfa在区间 (,)e内有且只有 两个不相等的实数根？若存在，请求出 a的取值范围；若不存在，请说明理由 21（本题满分 14 分） 已知正项数列 的前 项和为 ，且 .nanS(2)4na*()N （1）求 的值及数列 的通项公式； 1 （2）求证： ；3332152na *(
14、) （3）是否存在非零整数 ，使不等式112()()cosnna 对一切 都成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.*nN 三、解答题： 16（本小题满分 12 分） 解：（1） 因为 ab2sin cos ，所以 sincos 3 分 136 16 所以 (sincos )212 sin cos 43 又因为 为锐角，所以 sincos 6 分 233 （2） 解法一 因为 ab，所以 tan2 8 分 所以 sin22 sincos ， 2 sincossin2 cos2 2 tantan2 1 45 cos2cos 2sin 2 10 分 cos2 sin2sin2 cos2 1
15、tan2tan2 1 35 所以 sin(2 ) sin2 cos2 3 12 32 ( ) 12 分 12 45 32 35 4 3310 解法二 因为 ab，所以 tan2 8 分 所以 sin ，cos 255 55 因此 sin22 sincos ， cos2cos 2sin 2 10 分 45 35 所以 sin(2 ) sin2 cos2 3 12 32 ( ) 12 分 12 45 32 35 4 3310 17、（本小题满分 12 分） 解析：() 每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数 N= 364 分 () 恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率为 1694
16、2432 ACP 7 分 () 设 A 选修课被这 3 名学生选择的人数为 ，则 0,1,2,3 P( 0) P( 1) 64273642731C P( 2) P( 3) 9 分93 1C3 的分布列是 10 分 43619264710E 12 分 18.解： （1）证明： 该几何体的正视 图为矩 形，侧视图为等腰直角三角形， 俯视图 为直角梯形， 两1,BCA 两互相 垂直。以 分别为, 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， zyx, )0,8(),4(1BN)40(),(1C)0,( 2 分 ， ， ，)4,0(BC),0(111/B ， ，B1平 面C平 面 4 分N1/平 面 （2） ，0
17、16)0,(),1 B 0)4,(,1CBN ，又1,CNB 8 分1平 面 0 1 2 3 P 64 2769 C B A C1 B1 N M P （3）设 为 上一点， 为 的中点， ， ，),0(aPBCMAB)0,2(),02(aMP4NC 设平面的一个法向量为 ，则有),1(yxn ，则有1,Bn,01NBC ，得 ， ，10),4(),0)4,()yxyx 2,yx)2,1(n 分 /平面 ， ，于是MP1NMPn0),(,0( aan 解得： 12 分a 平面 ， /平面 ，此时 ，1CB1CB1 14 分3P （注：此题用几何法参照酌情给分） 19、(本题满分 14 分) 解：
18、（）解：由题设得 2 分 226cba 解得： 3,2ba， 3 分1c 故 C的方程为 4 2yx . 5 分 离心率 6 分e21 （2）直线 的方程为 ， 7 分AF1 )(x 设点 关于直线 对称的点为 ，则O1,0yM （联立方程正确，可得分至 8 分） 23)12(3000yxyx 所以点 的坐标为 9 分M),( ， ， 10 分PO222 MFPOF 的最小值为 11 分|2POF 7)023()1(|2 MF 直线 的方程为 即 12 分2 )(123 0xy )(5xy 由 ，所以此时点 的坐标为 14 分 3)1(35yxxy P)3,2( 20解：（1）当 0a时， (
19、)2fx在 1,)上是单调增函数，不符合题意1 分 当 时， yf的对称轴方程为 a，由于 ()yfx在 1,)上是单调增函 数，不符合题意 当 0a时，函数 ()fx在 1,)上是单调减函数， 则 2a，解得 2， 综上， 的取值范围是 2a 4 分 （2）把方程 ()gf整理为 (1)lnx， 即为方程 210xxl. 5 分 设 ()()Han ()，原方程在区间 ( ,e)内有且只有两个不相等的 实数根, 即为函数 在区间( ,e)内有且只有两个零点. 6 分1()2()xx2(1(2)1axax 7 分 令 0H，因为 ，解得 或 （舍） 8 分 当 (,1)时, (), ()H是减
20、函数； 当 x时, 0x， x是增函数.10 分() 在( ,e)内有且只有两个不相等的零点, 只需 min 1()0,(),Hex 13 分 即 2221()0,()1,()(1),aaeeH 22,1,eae 解得 21ea , 所以 a的取值范围是( 2,e ) 14 分 21（1）由 . )4nS 当 时， ，解得 或 （舍去） 2 分11(212a10 当 时，2 由 ，11()()44nnnaaS211()nnaa ， ，则 ，00a 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，故 4 分n n 另法：易得 ，猜想 ，再用数学归纳法证明(略)123,4,6aan （2）证法一： 3322
21、11()8()8()n n ，4 分6n 当 时，233333121126(2)aan 31()()64()n . 7 分1588632n 当 时，不等式左边 显然成立. 8 分131a 证法二： ， .3224()(4)()0n34(1)n .4 分3128na() 当 时，333312246(2)naan .7311115()()2 88 分 当 时，不等式左边 显然成立. 8 分n31582a （3）由 ，得 ，2na11coss()(2nna 设 ，则不等式等价于 .12()()nb 1()nb11212(1)33nna n ，9 分 2483n ， ，数列 单调递增. 10 分0b1nbn 假设存在这样的实数 ，使得不等式 对一切 都成立，则1()nb*nN 当 为奇数时，得 ； 11 分min23() 当 为偶数时，得 ，即 . 12 分ni2851b851 综上， ，由 是非零整数，知存在 满足条件 14 分8523(,)1
