1、2015-2016 学年江苏省南通市启东中学高二（上）第一 次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答 案直接填在答题卡相应位置上 1已知命题 p：xR，sinx1，则p 为 x R，sinx1 【考点】命题的否定 【分析】根据命题 p：xR，sinx 1 是全称命题，其否定为特称命题，将“任意的” 改为“存 在”， “改为“”可得答案 【解答】解：命题 p：xR，sinx 1 是全称命题 p：xR ，sinx1 故答案为： xR，sinx1 【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题这里注意全称命题
2、的否定为 特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题 2抛物线 y=4x2 的焦点坐标是 【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题 【分析】先化简为标准方程，进而可得到 p 的值，即可确定答案 【解答】解：由题意可知 p= 焦点坐标为 故答案为 【点评】本题主要考查抛物线的性质属基础题 3若命题 p 的否命题为 r，命题 r 的逆命题为 s，则 s 是 p 的逆命题 t 的 否 命题 【考点】四种命题 【专题】简易逻辑 【分析】设命题 p 为：若 m，则 n根据已知写出命题 r，s，t，结合四种命题的定义，可 得答案 【解答】解：设命题 p 为：若 m，则 n 那么命题 r：若m，则n， 命题
3、s：若n，则m 命题 t：若 n，则 m 根据命题的关系，s 是 t 的否命题 故答案为：否 【点评】本题考查的知识点是四种命题，要注意命题的否定，命题的否命题是不同的概念， 切莫混淆 4椭圆 +y2=1 的离心率是 【考点】椭圆的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】利用椭圆的标准方程可求得 a 与 c，从而可求得 e 的值 【解答】解：把椭圆 +y2=1 的标准方程， 得到 a= ，b=1， 则 c= =1， 所以椭圆的离心率 e= ， 故答案为： 【点评】此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是 一道基础题 5双曲线 y2=1 的渐近线方程为
4、 【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】双曲线 y2=1 的渐近线方程为 y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程 【解答】解：双曲线 y2=1， 双曲线 y2=1 的渐近线方程为 y2=0，即 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1” 为“0 ”即可求出渐近线方程 6抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是 4 【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题 【分析】先根据抛物线的方程求出 p 的值，即可得到答案 【解答】解：由 y2=2px=8x，知 p=4，而焦点到准线的距离就是 p 故答案为：4 【
5、点评】本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线标准方程的理解和运 用属基础题 7过椭圆 的右焦点的直线交椭圆于 A，B 两点，则弦 AB 的最小值为 【考点】椭圆的简单性质 【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】由于直线 l 过右焦点，则当 l 的斜率不存在时， AB 即为通径长，当斜率存在时， 设直线 l：y=k（ x1），联立椭圆方程，求出交点，运用两点距离，再化简整理，求出 AB 的范围，即可得到最小值 【解答】解：椭圆 ，则 a= ，b=1，c=1， 由于直线 l 过右焦点（1，0），则当 l 的斜率不存在时， 令 x=1，则 y= ，可得|AB|= ；
6、 当斜率存在时，设直线 l：y=k（x 1）， 代入椭圆方程得，（1+2k 2）x 24k2x+2k22=0， 即有 x1+x2= ，x 1x2= ， 即有|AB|= |x1x2|= = （1+ ） 则最小值为 ， 故答案为： 【点评】本题考查椭圆方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长 公式，考查运算能力，属于中档题 8已知 l，m 表示两条不同的直线，m 是平面 内的任意一条直线，则 “lm”是“l” 成立 的 充要 条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑 【分析】根据线面垂直的性质和定义即可得到结论 【解答】解：根据线面垂直的定义可知，m 是
7、平面 内的任意一条直线， 当 lm 时， l 成立， 若 l，则根据线面垂直的性质可知，l m 成立， 即“lm ”是“l ”成立的充要条件， 故答案为：充要 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的定义，利用线面垂直的定义是解决本题的关 键 9过点 M（1，1）且与椭圆 + =1 交于 A，B 两点，则被点 M 平分的弦所在的直线方 程为 x+4y 5=0 【考点】椭圆的简单性质 【专题】方程思想；作差法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】设过 M 点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分 别记作和， 后化简得到一个关系式，然后根据 M 为弦 AB 的中点
8、，由中点坐 标公式，表示出直线 AB 方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将 A 和 B 两点的横纵坐 标之和代入即可求出斜率的值，然后由点 M 的坐标和求出的斜率写出直线 AB 的方程即 可 【解答】解：设过点 M 的直线与椭圆相交于两点，A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）， 则有 + =1， + =1， 式可得： + =0， 又点 M 为弦 AB 的中点，且 M（1，1），由 +1，可得 M 在椭圆内， x1+x2=2，y 1+y2=2， 即得 kAB= =， 过点 A 且被该点平分的弦所在直线的方程是 y1=（x1），即 x+4y5=0 故答案为：x+4y 5=0 【点评】本题考
9、查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，关键在于对“设而不 求法” 的掌握 10椭圆 + =1 的离心率为，则 k= 或 21 【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】分类讨论，利用离心率公式，即可求得结论 【解答】解：由题意 = 或 = ， 解得 k= 或 k=21 故答案为： 或 21 【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，比较基础 11若双曲线的渐近线方程为 y=3x，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程是 【考点】双曲线的标准方程；双曲线的定义 【专题】计算题 【分析】设双曲线的方程是 ，又它的一个焦点是 ，故 +9=10 由此可知
10、=1，代入可得答案 【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为 y=3x， 则设双曲线的方程是 ，又它的一个焦点是 故 +9=10=1， 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答 12已知动圆圆心在抛物线 y2=4x 上，且动圆恒与直线 x=1 相切，则此动圆必过定点 （1，0） 【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程 【专题】计算题 【分析】首先由抛物线的方程可得直线 x=1 即为抛物线的准线方程，再结合抛物线的定义 得到动圆一定过抛物线的焦点，进而得到答案 【解答】解：设动圆的圆心到直线 x=1 的距离为 r， 因为动圆圆心在抛物线 y2=4x 上，且抛物线
11、的准线方程为 x=1， 所以动圆圆心到直线 x=1 的距离与到焦点（1，0）的距离相等， 所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0） 故答案为：（1，0） 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及抛物线的有关性质与圆的定 义，此题属于基础题 13设 F 是椭圆 + =1 的右焦点，点 ，M 是椭圆上一动点，则当 取最小值时，M 点坐标为 （ ，1） 【考点】椭圆的简单性质 【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】首先利用椭圆的第二定义把关系式进行转化，再利用椭圆的方程求出离心率及准 线方程，利用三点共线求的最小值及对应的 M 的坐标 【解答】解：
12、由椭圆的第二定义： =e， d 代表 M 到右准线的距离，用|MP|=d， 即有 d= ， 由椭圆的方程： + =1， 得 a= ，b= ，c=1， e= ，右准线方程为：x=7，|MF|=ed= ， = （|MA|+ |MF|）= （|MA|+d）， 即当 M、P、A 三点共线时，|MA|+d 取得最小值， 此时令 y=1，可得 x= = ， 即有 M（ ，1） 故答案为：（ ，1） 【点评】本题考查的知识点：椭圆的第二定义，椭圆的离心率，准线方程，以及三点共线 问题，属于中档题 14在抛物线 y2=4x 上有两动点 A，B ，满足 AB=3，则线段 AB 中点 M 的横坐标的最小 值为 【
13、考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】利用 xM=（x A+xB）=（x A+xB+）=（|FA|+|FB|），即可得出结论 【解答】解：由题意，x M=（x A+xB）=（x A+xB+）=（ |FA|+|FB|） |FA|+|FB|AB|=3， xM1=， 当 A，F，B 三点共线时，取得最小值 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤 15已知 p：|1 |2；q：x 22x+1m20（m0），若
14、p 是q 的必要不充分条件，求 实数 m 的取值范围 【考点】必要条件；绝对值不等式的解法 【专题】规律型 【分析】先求出命题 p，q 的等价条件，利用p 是q 的必要不充分条件转化为 q 是 p 的 必要不充分条件，建立条件关系即可求出 m 的取值范围 【解答】解：由| |= ， 得|x 4|6，即6x 46， 2x10，即 p：2x 10， 由 x2+2x+1m20 得x+（1m）x+（1+m）0， 即 1mx1+m，（m0）， q： 1mx1+m，（m0）， p 是 q 的必要不充分条件， q 是 p 的必要不充分条件 即 ，且等号不能同时取， ，解得 m9 【点评】本题主要考查充分条件
15、和必要条件的应用，将p 是q 的必要不充分条件转化为 q 是 p 的必要不充分条件是解决本题的关键 16设 a 为实数，给出命题 p：关于 x 的不等式 的解集为，命题 q：函 数 f（x）=lgax 2+（a 2）x+的定义域为 R，若命题“p q”为真，“pq” 为假，求实数 a 的取 值范围 【考点】复合命题的真假 【专题】函数的性质及应用；简易逻辑 【分析】先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和 判别式的关系求出命题 p， q 下的 a 的取值范围，再根据 pq 为真，p q 为假得到 p，q 一真一假，所以分别求出 p 真 q 假，p 假 q 真时的
16、a 的取值范围并求并集即可 【解答】解：命题 p：|x 1|0， ，a1； 命题 q：不等式 的解集为 R， ，解得 ； 若命题“pq” 为真，“pq”为假，则 p，q 一真一假； p 真 q 假时， ，解得 a8； p 假 q 真时， ，解得 ； 实数 a 的取值范围为： 【点评】考查指数函数的单调性，空集的概念，对数函数的定义域，一元二次不等式的解 的情况和判别式的关系，以及 pq，pq 的真假和 p，q 真假的关系 17已知过抛物线 y2=2px（p0）的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 A（x 1，y 1）和 B（x 2，y 2）（x 1x 2）两点，且 |AB|=9， （1）求该抛物线
17、的方程； （2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若 ，求 的值 【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】计算题 【分析】（1）直线 AB 的方程与 y2=2px 联立，有 4x25px+p2=0，从而 x1+x2= ，再由抛 物线定义得：|AB|=x 1+x2+p=9，求得 p，则抛物线方程可得 （2）由 p=4，4x 25px+p2=0 求得 A（1， 2 ），B（4，4 ）再求得设 的坐标，最 后代入抛物线方程即可解得 【解答】解：（1）直线 AB 的方程是 y=2 （x），与 y2=2px 联立，有 4x25px+p2=0， x1+x2= 由抛物线定义得：|AB|
18、=x 1+x2+p=9 p=4， 抛物线方程是 y2=8x （2）由 p=4，4x 25px+p2=0 得：x 25x+4=0， x1=1，x 2=4， y1=2 ，y 2=4 ，从而 A（ 1， 2 ），B（4，4 ） 设 =（x 3，y 3）= （1，2 ）+（4，4 ）=（4+1 ，4 2 ） 又2 （2 1） 2=8（4+1），解得： =0，或 =2 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质直线与圆锥曲线的综合问题考查了基本的 分析问题的能力和基础的运算能力 18已知数列a n满足 an+an+1=2n+1（nN *），求证：数列a n为等差数列的充要条件是 a1=1 【考点】等差关系的
19、确定 【专题】等差数列与等比数列 【分析】根据等差数列的定义以及充要条件的定义进行证明即可 【解答】解：充分性：a n+an+1=2n+1， an+an+1=n+1+n， 即 an+1（n+1）= （a nn）， 若 a1=1，则 a2（1+1 ）= （a 11）=0， a2=2，以此类推得到 an=n， 此时a n为等差数列 必要性： an+an+1=2n+1， an+2+an+1=2n+3， 两式相减得 an+2an=2， 若数列a n为等差数列，则 an+2an=2d， 即 2d=2，d=1 则 an+an+1=2an+1=2n+1， an=n，即 a1=1 成立 综上数列a n为等差数
20、列的充要条件是 a1=1 【点评】本题主要考查等差数列的定义以及充要条件的应用，考查学生的推理能力 19已知中心在原点的焦点在坐标轴上的椭圆过点 M ，N ；求 （1）离心率 e； （2）椭圆上是否存在 P（x，y）到定点 A（a ，0）（0a3）距离的最小值为 1？若存在 求 a 及 P 坐标，若不存在，说明理由 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的应用 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题 【分析】（1）设椭圆方程为 mx2+ny2=1（m 0，n0，且 mn），由椭圆过 M，N 两点， 求出 m，n 得到椭圆的方程，即得离心率； （2）设存在点 P（x，y）满足条件，根据椭圆的方程，列出目
21、标式|AP| 2，求出满足条件的 最值即可 【解答】解：（1）设椭圆方程为 mx2+ny2=1（m 0，n 0，且 mn）， 椭圆过 M，N 两点， ， 解得 ， 椭圆的方程为 + =1， 离心率为 e= = ； （2）设存在点 P（x，y）满足题设条件， 由椭圆方程为 + =1，得 y2=4（1 ）； |AP|2=（x a） 2+y2 =（xa） 2+4（1 ） =（xa） 2+4a2（|x| 3）， 当|a|3，即 0a时，|AP| 2 的最小值为 4a2； 令 4a2=1，解得 a= （0，； a3，即a 3，此时当 x=3 时，|AP| 2 的最小值为（3 a） 2； 令（3a） 2=
22、1，解得 a=2，此时点 P 的坐标是（3，0）； 当 a=2 时，存在这样的点 P 满足条件，且 P 点的坐标是（3，0） 【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系的应用问题，也考查了求最值问题，解题时应 注意灵活运用公式解答问题，是中档题 20已知平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 =1（a0，b0）的右顶点和上顶点 分别为 A，B，椭圆的离心率为 ，且过点（1， ） （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，若直线 l 与该椭圆交于点 P，Q 两点，直线 BQ，AP 的斜率互为相反数 求证：直线 l 的斜率为定值； 若点 P 在第一象限，设ABP 与 ABQ 的面积分别为 S1，S 2，求
23、的最大值 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】（1）通过将点（1， ）代入椭圆方程，结合离心率为 计算即得结论； （2）通过（1）可知 A（2， 0）、B（0，1）通过设直线 AP 的方程为 x=my+2、直线 BQ 的方程为 x=my+m，分别与椭圆方程联立，计算可知 P（ ， ）、Q （ ， ），利用斜率计算公式计算即可；通过（1）可知直线 AB 的方程为 x+2y2=0，|AB|= ，通过可知 P（ ， ）、 Q（ ， ），利用 点 P 在第一象限可知 2m 0，分别计算出点 P、Q 到直线 AB 的距离，利用三角形面积 公式计算、结合基本不等式
24、化简即得结论 【解答】（1）解：依题意， ， 化简得： ， 解得： ， 椭圆的标准方程为： ； （2）由（1）可知，A（2， 0），B（0，1），直线 BQ，AP 的斜率均存在且不为 0 证明：设直线 AP 的方程为：x=my+2，则直线 BQ 的方程为：x=my+m， 联立 ，消去 x 整理得：（4+m 2）y 2+4my=0， P（ ， ）， 联立 ，消去 x 整理得：（4+m 2）y 22m2y+m24=0， Q（ ， ）， 直线 l 的斜率为 = =； 解：由（1）可知直线 AB 的方程为： x+2y2=0，|AB|= = ， 由可知：P（ ， ），Q（ ， ）， 点 P 在第一象限， ，即 2m0， 点 P 到直线 AB 的距离 dP= = ， 点 Q 到直线 AB 的距离 dQ= = ， = = = （m 4）+ +10， （ 4m）+ 2 =4 ，当且仅当 4m= 即 m=42 时取等号， （ m4）+ 4 ， 的最大值为（10 4 ）=52 【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累， 属于中档题
