1、高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 2 2 侧视图 2 2 2 正视图 俯视图 （3 题图） 2011 年 12 月东莞中学松山湖学校高三月考理科数学试题 一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 ） 1已知复数 ，则复数 （ ） _21izz （A） （B） （C） （D）35i35iii 2下列函数中，既是偶函数、又在区间 单调递增的函数是 （ ）10， （A） （B） （C） （D）1yx2yx2xycosyx 3一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ). （
2、A） （B） 343 （C） （D）2 4、函数 在 处的切线与坐标轴所围图形的面积是（ ）lnyx1e （A） （B） （C） （D）1e4e2e 5 若实数 xy， 满足 10， 则 23xyz的最小值是 （ ） （A）0 （B）1 （C） （D）9 6有四个关于三角函数的命题：（ ） 221:,sincosxpR2:,sin()sinpxyRxyxy、 31:0,inx4:sico2 其中假命题的是 （ ） （A） ， （B） ， （C） ， （D） ，1p42p41p32p4 7离散型随机变量 （ ）X)(,56)(,)(,( XPXEn则且 （A） （B） （C） （D）265162
3、57231 8如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形” ，它们是由整数 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 （13 题图） （8 题图） 的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n2) ， 1n 每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 ， ， 11 12 12 12 13 16 ，则第 9 行第 4 个数(从左往右数) 为（ ） 13 14 112 （A） （B） （C） （D ）681520840 二、填空题(共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 9 已知 21sincos,3co是 的 一 个 内 角 ， 且 则 10 已知向量
4、，则2,10,|aba|_b 11 （ ）展开式中 的系数为 10，则实数 5()xR3xa 12如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 13 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 P（x，y）的轨迹方程是 ，则 的最小正周期为 ； 在其两个相邻零点间的图像与()yfx()f ()yf x 轴所围区域的面积为 。 （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前 一题的得分. 14.（几何证明选讲选做题）如图，点 是圆 上的点 ,ABCO x X Y C B P A 否 是 T=0， K=0 T=T+K K=K+1105?
5、T 输出 K 开 始 结束 （12 题图） 第 14 题 图 O B C A 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 且 ,则 对应的劣弧长为 2,6,120ABCABOB 15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆 上的点2 到直线 的距离的最小值是 . 6sin3co 三解答题：(本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答写在答题卡的指定区域内.) 16、 ( 本小题满分 12 分) 已知 是公差不为零的等差数列, 成等比数列.na1139,aa且 （）求数列 的通项; na （）求数列 的前 n 项和2nS 1
6、7、 （本小题满分 12 分） 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 .ABC, ,abcsincosAaC （I）求角 的大小； （II）求 的最大值，并求取得最大值时角 的大小3sinco()4,B 18、 （本小题满分 14 分） 在三棱锥 中， 是边长为 4 的正三角形，平面 平面 ，SABCSAC ， 分别为 的中点。23M、 NAB、 S （）证明： ； （）求二面角 的余弦值； 19. （本小题满分 14 分） 某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 ，第二、第45 三门课程取得优秀成绩的概率分别为 ， ( )，且不同课程是否取得优秀成绩相互pq
7、独立。记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 0 1 2 3p6125ab2415 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 ()求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； ()求 ， 的值；pq ()求数学期望 。E 20. （本小题满分 14 分） 已知函数 图象上一点 处的切线方程为2()lnfxabx(2,)Pf 23y (）求 的值；, （）若方程 在 内有两个不等实根，求 的取值范围（其中 为自()0fxm1,eme 然对数的底数） ； （）令 ，若 的图象与 轴交于 ， (其中gfk()gx1(,0)Ax2,)B )， 的中点为 ，求证： 在
8、处的导数 12xAB0,C)g/0gx 21 （ 本小题满分 14 分） 已知数列 和 满足 ，且对任意 都有 ， .nab1a*nN1nab2nnab (1)求数列 和 的通项公式；n (2)证明： .31 324 12ln n 2011 年 11 月东莞中学松山湖学校高三月考理科数学试题参考 答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C B B A B C 二、填空题 9. 10. 5 11. 2 12. 14 13. 4，561 14. . 15. 2 三、解答题 16： （本题满分 12 分） 解：（）由题设知公差 ，0d 由 成等比数列，得 4 分139,aa、 、
9、128d 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 解得 （舍去）6 分1,0d 故 的通项 8 分na1nn （）由（）知 9 分2an 由等比数列前 n 项和公式 得 12 分3 1 2nnnS 17. （本题满分 12 分） 解：（I）由正弦定理得 2 分sisico.CAC 因为 所以 ,从而 3 分0,An0n 又 ，所以 ，则 5 分cosCta14 （II）由（I）知 于是3.4B 3sinc()sinco()3sinco2sin().6AAAA 8 分 10,462 9 分 从而当 取最大值,23A即 时 2sin()6A 2 11 分 综上所述，
10、 的最大值为 2，此sinco()4B 时 12 分5,.312B 18. （本题满分 14 分） 解：解法一：（）取 中点 ，连结 .ACDS、 B 且 ，2 分SA， ， ， 又 .4CB平 面 SAC平 面 ， 分 （） .SDABC平 面 ， 平 面 ， 平 面 平 面 过 作 于 ，则 ，过 作 于 ，连结 ， 则NEDNEB平 面 EFMNF .FM 为二面角 的平面角. 6 分C 。SABSA平 面 平 面 ， ， 平 面 又 ， .平 面 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 ，且 .211242SNBESDA， EDB 在正 中，由平几知识可
11、求得 ，AC4EFMB 在 中，RTF1tan2,3NCOSNF 二面角 的余弦值为 31. 9 分NMB （）在 中， ，tE2EF . 11, 2322CMNCMBSS 10 分 设点 到平面 的距离为 ， ，Bh,NCMBVE平 面 ，13CMNCBShE .即点 到平面 的距离为 324. 423B 14 分 解法二：（）取 AC 中点 O，连结 OS、OB.SA=SC，AB=BC， ACSO 且 ACBO. 平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABC=AC SO面 ABC，SOBO. 如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz.2 分 则 A（2，0，0） ，B（0，2 3，0）
12、 ， C（-2，0，0） ，S（0，0，2 ） ， M(1， 3，0)，N(0， ， ). =（-4，0，0） ， =（0，2 3，2 ） ， ACSB=（-4，0，0）（0，2 ，2 ）=0，3 分 ACSB.4 分（）由（）得 .设 为平面 的一个法向量，3,1,MN,nxyzCMN ， 则取 ，则 6 分02nxyz z2, 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 又 为平面 的一个法向量， 0,2OSABC .8 分1cos,3nS 二面角 的余弦值为 .9 分NCM （）由（） （）得 为平面 的一个法向量，1,0,2,61BnCMN 点 到平面 的距
13、离 .12 分43 Md 19. （本题满分 14 分） 解：事件 表示“该生第 门课程取得优秀成绩” ， =1,2,3，由题意知iAi i ， ， 1 分14()5PA2()p3()PAq （I）由于事件 “该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件 “ ”是对立的，所以0 该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 ，4 分69(0)2P （II）由题意知 1236(0)()()1525PApq 43 整理得 ，6125pqq 由 ，可得 ， . 9 分 （III）由题意知 123123123()()()()aPAPA = 455pqpq75 =()(0)()()b8 = 0123EPP9
14、 14 分 20 （本题满分 14 分） 解：（） 2afxb， ， 42afbln24fab ，且 2 分432ln6l 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 解得 3 分2,1ab （） ，令 ，lnfxx2()lnhfxmx 则 ，令 ，得 （ 舍去） 2/ (h/01 在 内，当 时， ， 是增函数；1,e1,)xe/()x()h 当 时， ， 是减函数 5x/(0 分 则方程 在 内有两个不等实根的充要条件是 6()hx1,e 1()0()he 分 即 21me 8 分 （） ， 2()lngxxk/2()gxk 假设结论成立，则有 112100l,
15、 , .xk 9 分 ，得 2112ln()()0xkx120lnxk 10 分 由得 ， 11 分02kx120lx 即 ，即 122lnxx12lnx 令 ， （ )， 12t()l1tut0t 12 分 则 0 在 上增函数， ， 2()1t()utt()10ut 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 13 分 式不成立，与假设矛盾 0gx 14 分 21 （本题满分 14 分） 解析：(1)对于任意的 nN *，都有 ，则 代入 ， 1nabnna12nba 得 ， ， 即 ，121nnna1n1n 数列 为以 为首项，1 为公差的等差数列 1an 1
16、a1 a 1b 1，且 a1b 11，a 1b 1 . 12 2(n 1)n1.a n ，bn1a n . 5 1an 1n 1 nn 1 分 (2)证明：a n ，bn ， . 1n 1 nn 1 anbn 1n 所证不等式 0，即函数 f 在区间 上单调递增，(x) (x) (0， ) 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 当 x0 时，f f 0，即 ln(1x) .(x) (0) x1 x 分别取 x1，得 ln(11)ln ln ln 1213 1n (1 12) (1 13) (1 1n) 12 13 ， 11 n 即 ln ，即 ln(n1) ( 23243n 1n ) 12 13 11 n . 13 分 12 13 11 n ln(1n) . a2b2 a3b3 a4b4 an 1bn 1 a1b1 a2b2 a3b3 anbn 14 分
