1、1 惠州市 2013届高三第三次调研考试数学试题(理科） 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1复数 3 i 的共轭复数是（ ） A iB 3iC 3i D 3i 2已知向量 p2， ， q6x， ，且 /pq，则 的值为（ ） A 5 B 1 C 5 D 13 3已知集合 ， ， 0xa，若 BA，则实数 a的所有可能取值的集合为（ ） A 1 B 1 C 1， D 10， ， 4已知幂函数 ()yfx的图象过点 2()， ，则 4log(2)f的值为（ ） A
2、1 B 14 C2 D2 5 “ 0mn”是“ 方程 2xny 表示焦点在y轴上的椭圆 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条 件 6某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎 叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ ） A19、13 B13、19 C20、18 D18、20 7已知 xy， 满足约束条件 5024xyzxy， 则 的最小值为（ ） A 14 B 15 C 6 D 17 2 8数列 中， 1()21 nna ，则数列 前 12项和等于（ ）n na A76 B78 C 80 D82 二
3、、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分） （一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答） 9在等比数列 na中， 1，公比 2q，若 na前 n项 和 127nS， 则 的值为 10阅读右图程序框图 若输入 5n，则输出 k的值为 _ 11已知双曲线 21xyab 的一个焦点与抛线线 2410yx 的焦点 重合，且双曲线的离心率等于 03 ，则该双曲线的方程为 12已知 ,mn是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面， 下列 命题 中正确的有 n若 ， ， 则 ； 若 ， ， 则 ； m若 ， ， 则 ； mnn若 ， ， 则 13已知函数 21
4、xaf， ， 若 fx在 0， 上单调递增，则实数 的取值范围为 （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14 （几何证明选讲选做题）如图， PA切 O于点 ，割线 PBC经过圆心 O， 1BP，OA 绕点 逆时针旋转 60到 D，则 的长为 15 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点 A、 的 极坐标分别为 (3)， ， (4)6， ，则 AOB（其中 为极点）的面积 为 三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 3 16 （本小题满分12分）已知函数 ()sincosinfxx（其中 xR， 0） ，且函 数 24yfx 的图像关
5、于直线 6 对称 （1）求 的值； （2）若 ()34f ，求 sin2的值。 17 （本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取 40名学生，将他们的期中考试数学成绩 （满分100分，成绩均为不低于 0分的整数）分成六段： 5， ， 60， ， 910， 后 得到如下图的频率分布直方图 （1）求图中实数 a的值； （2）若该校高一年级共有学生 64人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 分的人数； （3）若从数学成绩在 05， 与 910， 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学 生的数学成绩之差的绝对值不大于 的概率。 4 18 （本小题满分14分）如图，在长方体 1A
6、BCD中， 1AD， 2B，点 E在 棱 AB上移动 （1）证明： 1DEA； （2）当 点为 的中点时，求点 E到平面 1的距离； （3） AE等于何值时，二面角 1CD的大小为 4 ？ 19 （本小题满分14分）已知点（1， ）是函数 且 ）的图象上一点，等比数3 1,0()axf 1 列 的前 n项和为 ， 数列 的首项为 c，且前 n项和 满足:acf)(nb0( nS 1S= + 1nS（ 2）.n （1）求数列 和 的通项公式；b （2）若数列 nc的通项 ()3nn ，求数列 nc的前 项和 nR； （3）若数列 前 项和为 ，问 nT的最小正整数 是多少? 1nb2091 5
7、20 （本小题满分14分）设椭圆 2:1xyMa2 的右焦点为 ，直线 与1F2 :axl 轴交于点 ，若 1OFA （其中 为坐标原点） xA （1）求椭圆 的方程； （2）设 是椭圆 上的任意一点， EF为圆 的任意一条直径（ E、 F为直P12: 2yxN 径的两个端点） ，求 的最大值 21 （本小题满分14分）已知函数 32()ln21xfxaaxR （1）若 为 的极值点，求实数 的值；2x)(f （2）若 在 3， 上为增函数，求实数 的取值范围；y a （3）当 12a 时，方程 31+xbf 有实根，求实数 的最大值。b 6 惠州市2013届高三第三次调研考试 数学（理科）试
8、题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A C A B B 1 【解析】 3ii=+i 故选D 2 【解析】 604(23)(46)(23)1xpq， ， ， 故选B 3 【解析】 1a或 或 故选D 4 【解析】由设 ()fx ，图象过点 12()， 得 12() ，124log()lf 故选A 5 【解析】 22 1xymxnyn ， 10mn ，即 pq故选C 6 【解析】甲中位数为19，甲中位数为13故选A 7 【解析】最优解为 in(2.5)15z， 故选B 8 【解析】
9、21(2) nna ， 取 19， ， 及 60， ， ， 结果相加可得 122341278Saa 故 选B 二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性共7小题， 每小题5分，满分30分其中1415 题是选做题，考生只能选做一题 97 103 11 219xy 12 13 12， 14 7 153 7 9 【解析】 1277nnS 答案： 10 【解析】 5614921483kknknk， ， ， ， 答案：3 11 【解析】抛线线 240yx 的焦点 ()0ab， 01031eaba 答案： 219xy 12 【解析】 mn，均为直线，其中 mn，平行 ， n可以相交也可以异面，故不
10、正确； m ，n 则同垂直于一个平面的两条直线平行；正确 答案 13 【解析】 2102a ， xa 是增函数，所以 1a1 答案： （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14 【解析】PA切 OA于点A，B 为PO中点，AB=OB=OA， 60B， 120PD，在POD中由余弦定理， 得： 22cosPPO = 14()7 解析2：过点D作DEPC 垂足为E， 120D， 60OB， 可得 12E ， 3 ，在 RtP中， 2574PD 答案： 15 【解析】 A、 B的极坐标分别为 (3)， ， (4)6， ，则 12ABCSOsinAB134326sin （其中 O为极点）
11、答案3 8 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分12分） （1）解： ()sinfx，2分 函数 的最小正周期为 23分 函数 2sin44yfxx ，5分 又 sin的图像的对称轴为 2 k （ Z） ，6分 令 242xk ， 将 6代入，得 1 （ kZ） 0， 2 7分 （2）解： 212()sin()sin()(sinco)3434f ，9分1sincoii2 12分 17 （本小题满分12分） （1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以 0(.5.010.25.1)a1分 解得 3a2分 （2）解：根据频率分布直
12、方图，成绩不低于60分的频率为 10(.5.01).853分 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低 于60分的人数约为 640.854人5分 （3）解：成绩在 ， 分数段内的人数为 0.52人， 6分 成绩在 9,1分数段内的人数为 .1人， 7分 若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有 26C 9分 9 如果两名学生的数学成绩都在 405， 分数段内或都在 901， 分数段内，那么这两名学生的数 学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在 45， 分数段内，另一个成绩在 901， 分 数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一
13、定大于10 10分 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为 247C 11分 所以所求概率为 715PM 13分 18 （本小题满分14分） （1）证明：如图，连接 1DB，依题意有：在长方形 1AD中， 1A，1 111 1AABB EE四 边 形 平 面又 平 面 平 面 4分 （2）解： 25AC ， /21AB，EB ，12cos ，in2AEC 11AES ， 6分1326DCV 211ADA ， 21115DC ，1530sin 1 30252ADCS 设点 E到平面 1ACD的距离为 d， 11 16EVd3 10 点 E到平面 1ACD的距离为 3 8分 （
14、3）解：过 作 FE交 于 F，连接 1D由三垂线定理可知， 1DF为二面角1 的平面角 14 D ， 12 ， 11 10分sin6FCDCF ， 3 BF 12分 ta33BE ， 2AE 故 2A时，二面角 1DC的平面角为 4 14分 19 （本小题满分14分） 解：（1） 3faQ ， 3xf1afc ， 21fcfc 29 ，3 7ff . 又数列 na成等比数列， 21341837ac ，所以 1； 又公比 213q ，所以 12nnn *N ；2分111nnnnSSSSQ 2 又 0b， ， ； 数列 n构成一个首相为1公差为1的等差数列， nn ， 2S 11 当 2n， 2
15、211nnbSn ；又其满足 1bc， ( *N)； 5分 （2） (2133nnncb ，所以 123nnRccL15()nRL 234 111(23)(2)3 3nnn 式减式得： 234 121 ()3nnnR L 7分 化简： 211132 2()1(2)3 33nnnnR 9分 所以所求 13nn 10分 （3） 12341 n nTbbL 11357(2)nK 52721n K 12分 121n ； 13分 由 019nT 得 0 ，满足 1029nT 的最小正整数为112. 14分 20 （本小题满分14分） 12 解：（1）由题设知， 2(0)aA， ， 210Fa， ，1分
16、由 12OF0 ，得 222 ，3分 解得 6a 所以椭圆 M的方程为 126:yx 4分 （2）方法1：设圆 : 2N 的圆心为 N， 则 PFEPF 6分 7分221N 8分 从而求 PFE的最大值转化为求 2NP 的最大值9分 因为 是椭圆 M上的任意一点，设 0xy， ，10分 所以 1260yx ，即 202036x 11分 因为点 ,N，所以 120yyP12分 因为 0y ， ，所以当 10时， 2NP 取得最大值1213分 所以 FPE的最大值为1114分 方法2：设点 120()(),()xyxy， ， ， ， ， 因为 ,的中点坐标为 (0,)，所以 21,4.xy 6分
17、所以 121020()PEFxx 7分 0101()yy 13 22010104xyy 21()x 9分 因为点 E在圆 N上，所以 21y ，即 2143xy 10分 因为点 P在椭圆 M上，所以 206x ，即 22006 11分 所以 F 2049y0(1)y 12分 因为 0y， ，所以当 时， min 1PEF 14分 方法3：若直线 E的斜率存在，设 的方程为 2ykx，6分 由 1)2(2yxk ，解得 12 kx 7分 因为 P是椭圆 M上的任一点，设点 0Py， ， 所以 1260yx ，即 202036x 8分 所以 0022,1kPEyk ， 00221,1kPFxyk
18、9分 所以 )()(1)( 2020202020 yyxkykxF 10分 因为 0,y ，所以当 0时， PFE取得最大值1111分 若直线 EF的斜率不存在，此时 的方程为 0x，由 22()1y ，解得1y 或 3 不妨设， 0， ， 1， 12分 因为 P是椭圆 M上的任一点，设点 0Pxy， ， 14 所以 1260yx ，即 202036yx 所以 03PE ， ， 1PF ， 所以 2 2004()Fxyy 因为 0y ， ，所以当 1时， PFE取得最大值1113分 综上可知， PE的最大值为1114分 21 （本小题满分14分） 解：（1） 2()1afxxa2214xax
19、1分 因为 2为 的极值点，所以 0f2分 即 041a ，解得 a 3分 又当 时， ()2)fx，从而 ()xf为 的极值点成立 4分 （2）因为 f在区间 3,上为增函数， 所以 22140xaxaf 在区间 3,上恒成立5分 当 0时， ()0f在 3,)上恒成立，所以 ()fx在 ， 上为增函数，故a 符合题意6分 当 时，由函数 fx的定义域可知，必须有 10ax2对 3恒成立，故只能 0a， 所以 22(14)()03)xax对 ， 上恒成立 7分 令 22()()(4)gxa ，其对称轴为 14xa ， 8分 因为 0a所以 1 ，从而 ()03)g在 ， 上恒成立，只要 (3
20、)0g即可， 15 因为 3g24610a，解得 313144a 9分 因为 0，所以 综上所述， a的取值范围为 3104， 10分 （3）若 12 时，方程 3()()+xbf 可化为， x bx)1()(ln2 问题转化为 223ln1()lbx 在 0， 上有解， 即求函数 3)(xg 的值域 11分 以下给出两种求函数 值域的方法： 方法1：因为 2lnxx ，令 2()ln(0)hxx ， 则 h1)(1)( ， 12分 所以当 0,()0xh时 ，从而 ()01hx在 ， 上为增函数， 当 1时 ， ，从而 ,在 上为减函数， 13分 因此 ()hx 而 0，故 ()0bhx，
21、因此当 1x时， 取得最大值0 14分 方法2：因为 2lngx ，所以 231ln)(xxg 设 2()l13px ，则 216()px 当 706 时， 0，所以 在 17(0)6， 上单调递增； 16 当 176x 时， 0px，所以 px在 17()6， 上单调递减； 因为 0p，故必有 176 ，又 22430ee ， 因此必存在实数 02 xe(， ) 使得 0()gx， 0g当 时 ， ，所以 在 ， 上单调递减； 当 1()xx时 ， ，所以 0(),1x在 上单调递增； 当 时 ， ， 所 以 在 ， 上单调递减； 又因为 )4(ln)(lnln)( 232 xxxxg ， 当 10l04时 ， ，则 ()0g，又 (1)g 因此当 x时， b取得最大值0 14分
