1、惠州市2013届高三第三次调研考试 数学试题( 理科） 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上。 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答 的答案无效。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，
2、满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1复数 3 i 的共轭复数是（ ） A iB 3iC 3i D 3i 2已知向量 p2， ， q6x， ，且 /pq，则 的值为（ ） A 5 B 1 C 5 D 13 3已知集合 ， ， 0xa，若 BA，则实数 a的所有可能取值的集合为（ ） A 1 B 1 C 1， D 10， ， 4已知幂函数 ()yfx的图象过点 2()， ，则 4log(2)f的值为（ ） A 1 B 14 C2 D2 5 “ 0mn”是“ 方程 2xny 表示焦点在y轴上的椭圆 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不
3、充分也不必要条件 6某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶 图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ ） A19、13 B13、19 C20、18 D18、20 7已知 xy， 满足约束条件 5024xyzxy， 则 的最小值为（ ） A 14 B 15 C 16 D 17 8数列 na 中， 1()2 nna ，则数列 na前 2项和等于（ ） A76 B78 C 80 D82 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分） （一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答） 9在等比数列 na中， 1
4、，公比 2q，若 na前 n项和127nS ， 则 的值为 10阅读右图程序框图 若输入 5n，则输出 k的值为 _ 11已知双曲线 21xyab 的一个焦点与抛线线 2410yx 的焦点 重合，且双曲线的离心率等于 03 ，则该双曲线的方程为 12已知 ,mn是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面， 下列命 题 中正确的有 n若 ， ， 则 ； 若 ， ， 则 ； m若 ， ， 则 ； mnn若 ， ， 则 13已知函数 21xaf， ， 若 fx在 0， 上单调递增，则实数 的取值范围为 （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14 （几何证明选讲选做题）如图， PA切 O于点
5、 ，割线 PBC经过圆心 O， 1BP，OA 绕点 逆时针旋转 60到 D，则 的长为 15 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点 A、 B的极坐标分别为 (3)， ，(4)6， ，则 AOB（其中 为极点）的面积为 三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16 （本小题满分12分）已知函数 ()sincosinfxx（其中 xR， 0） ，且函 数 24yfx 的图像关于直线 6 对称 （1）求 的值； （2）若 ()34f ，求 sin2的值。 17 （本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取 40名学生，将他们的期中考试数学成绩
6、（满分100分，成绩均为不低于 0分的整数）分成六段： 5， ， 60， ， 910， 后 得到如下图的频率分布直方图 （1）求图中实数 a的值； （2）若该校高一年级共有学生 64人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 分的人数； （3）若从数学成绩在 05， 与 910， 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学 生的数学成绩之差的绝对值不大于 的概率。 18 （本小题满分14分）如图，在长方体 1ABCD中， 1AD， 2B，点 E在 棱 AB上移动 （1）证明： 1DEA； （2）当 点为 的中点时，求点 E到平面 1的距离； （3） AE等于何值时，二面角 1CD的大小
7、为 4 ？ 19 （本小题满分14分）已知点（1， 3 1 ）是函数 ,0()axf且 1）的图象上一点，等比数 列 na的前 项和为 cnf)(， 数列 nb0(的首项为 c，且前 n项和 nS满足:S 1= n+ 1S（ 2）. （1）求数列 和 b的通项公式； （2）若数列 nc的通项 ()3nn ，求数列 nc的前 项和 nR； （3）若数列 1nb 前 项和为 nT，问 209 1 的最小正整数 n是多少? 20 （本小题满分14分）设椭圆 2:1xyMa2 的右焦点为 1F，直线 2 :axl 与x 轴交于点 A，若 1OFA （其中 为坐标原点） （1）求椭圆 的方程； （2）设
8、 P是椭圆 上的任意一点， EF为圆 12: 2yxN 的任意一条直径（ E、 F为直 径的两个端点） ，求 的最大值 21 （本小题满分14分）已知函数 32()ln21xfxaaxR （1）若 2x为 )(f的极值点，求实数 的值； （2）若 y在 3， 上为增函数，求实数 a的取值范围； （3）当 12a 时，方程 31+xbf 有实根，求实数 b的最大值。 惠州市2013届高三第三次调研考试 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A C A B B 1 【解析
9、】 3ii=+i 故选D 2 【解析】 604(23)(46)(23)1xpq， ， ， 故选B 3 【解析】 1a或 或 故选D 4 【解析】由设 ()fx ，图象过点 12()， 得 12() ，124log()lf 故选A 5 【解析】 22 1xymxnyn ， 10mn ，即 pq故选C 6 【解析】甲中位数为19，甲中位数为13故选A 7 【解析】最优解为 in(2.5)15z， 故选B 8 【解析】 21(2) nna ， 取 19， ， 及 60， ， ， 结果相加可得 122341278Saa 故选 B 二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性共7小题， 每小题5分
10、，满分30分其中1415 题是选做题，考生只能选做一题 97 103 11 219xy 12 13 12， 14 7 153 9 【解析】 1277nnS 答案： 10 【解析】 5614921483kknknk， ， ， ， 答案：3 11 【解析】抛线线 240yx 的焦点 ()0ab， 01031eaba 答案： 219xy 12 【解析】 mn，均为直线，其中 mn，平行 ， n可以相交也可以异面，故不正确； m ，n 则同垂直于一个平面的两条直线平行；正确 答案 13 【解析】 2102a ， xa 是增函数，所以 1a1 答案： （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 1
11、4 【解析】PA切 OA于点A，B 为PO中点，AB=OB=OA， 60B， 120PD，在POD中由余弦定理， 得： 22cosPPO = 14()7 解析2：过点D作DEPC 垂足为E， 120D， 60OB， 可得 12E ， 3 ，在 RtP中， 2574PD 答案： 15 【解析】 A、 B的极坐标分别为 (3)， ， (4)6， ，则 12ABCSOsinAB134326sin （其中 O为极点） 答案3 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分12分） （1）解： ()sinfx，2分 函数 的最小正周期为 23分 函数 2
12、sin44yfxx ，5分 又 sin的图像的对称轴为 2 k （ Z） ，6分 令 242xk ， 将 6代入，得 1 （ kZ） 0， 2 7分 （2）解： 212()sin()sin()(sinco)3434f ，9分1sincoii2 12分 17 （本小题满分12分） （1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以 0(.5.010.25.1)a1分 解得 3a2分 （2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为 10(.5.01).853分 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于 60分的人数约为 640.854人5
13、分 （3）解：成绩在 ， 分数段内的人数为 0.52人， 6分 成绩在 9,1分数段内的人数为 .1人， 7分 若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有 26C 9分 如果两名学生的数学成绩都在 405， 分数段内或都在 901， 分数段内，那么这两名学生的数 学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在 405， 分数段内，另一个成绩在 901， 分 数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10 10分 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为 247C 11分 所以所求概率为 715PM 13分 18 （本小题满分14分） （1）证明：如图，连接 1DB
14、，依题意有：在长方形 1AD中， 1A，1 111 1AABB EE四 边 形 平 面又 平 面 平 面 4分 （2）解： 25AC ， /21AB，EB ，12cos ，in2AEC 11AES ， 6分1326DCV 211ADA ， 21115DC ，1530sin 1 30252ADCS 设点 E到平面 1ACD的距离为 d， 11 16EVd3 点 到平面 1的距离为 3 8分 （3）解：过 作 FE交 于 F，连接 1D由三垂线定理可知， 1DF为二面角 1DEC的平面角 14 F ， 12 DF ， 11DF 10分sin6C ， 3 B 12分 ta33BEC ， 2AE 故
15、2A时，二面角 1DC的平面角为 4 14分 19 （本小题满分14分） 解：（1） 3faQ ， 3xf1afc ， 21fcfc 29 ，3 7ff . 又数列 na成等比数列， 21341837ac ，所以 1； 又公比 213q ，所以 12nnn *N ；2分111nnnnSSSSQ 2 又 0b， ， ； 数列 n构成一个首相为1公差为1的等差数列， nn ， 2S 当 2， 2211nSn ；又其满足 1bc， nb ( *N)； 5分 （2） (2133nnnc ，所以 123nnRccL 12331135(2)nRnL 234 1()(2)3 33nnn 式减式得： 234
16、12111()nnnR L 7分 化简： 211321 2()1(2)3 33nnnnR 9分 所以所求 13nn 10分 （3） 12341 n nTbbL 11357(2)nK 52721n K 12分 121n ； 13分 由 019nT 得 0 ，满足 1029nT 的最小正整数为112. 14分 20 （本小题满分14分） 解：（1）由题设知， 2(0)aA， ， 210Fa， ，1分 由 12OF0 ，得 222 ，3分 解得 6a 所以椭圆 M的方程为 126:yx 4分 （2）方法1：设圆 : 2N 的圆心为 N， 则 PFEPF 6分 7分221N 8分 从而求 PFE的最大
17、值转化为求 2NP 的最大值9分 因为 是椭圆 M上的任意一点，设 0xy， ，10分 所以 1260yx ，即 202036x 11分 因为点 ,N，所以 120yyP12分 因为 0y ， ，所以当 10时， 2NP 取得最大值1213分 所以 FPE的最大值为1114分 方法2：设点 120()(),()xyxy， ， ， ， ， 因为 ,的中点坐标为 (0,)，所以 21,4.xy 6分 所以 121020()PEFxx 7分 0101()yy 22104x 200()yxy 9分 因为点 E在圆 N上，所以 21 ，即 21143xy 10分 因为点 P在椭圆 M上，所以 206xy
18、 ，即 22006 11分 所以 PEF 2049y20(1)y 12分 因为 0y， ，所以当 时， min 1PEF 14分 方法3：若直线 的斜率存在，设 的方程为 2ykx，6分 由 1)2(2yxk ，解得 12 kx 7分 因为 P是椭圆 M上的任一点，设点 0Py， ， 所以 1260yx ，即 202036x 8分 所以 0022,1kPEyk ， 00221,1kPFxyk 9分 所以 )()(1)( 2020202020 yyxkykxF 10分 因为 0,y ，所以当 0时， PFE取得最大值1111分 若直线 EF的斜率不存在，此时 的方程为 0x，由 22()1y ，
19、解得 y或 3 不妨设， 03， ， 1， 12分 因为 P是椭圆 M上的任一点，设点 0Pxy， ， 所以 1260yx ，即 202036x 所以 03E ， ， 1PFy ， 所以 2 2004()PFxy 因为 0y ， ，所以当 1时， PFE取得最大值1113分 综上可知， E的最大值为1114分 21 （本小题满分14分） 解：（1） 2()1afxxa2214xax 1分 因为 2为 的极值点，所以 0f2分 即 041a ，解得 a 3分 又当 时， ()2)fx，从而 ()xf为 的极值点成立 4分 （2）因为 f在区间 3,上为增函数， 所以 22140xaxaf 在区间
20、 3,上恒成立5分 当 0时， ()0f在 3,)上恒成立，所以 ()fx在 ， 上为增函数，故a 符合题意6分 当 时，由函数 fx的定义域可知，必须有 10ax2对 3恒成立，故只能 0a， 所以 22(14)()03)xax对 ， 上恒成立 7分 令 22()()(4)gxa ，其对称轴为 14xa ， 8分 因为 0a所以 1 ，从而 ()03)g在 ， 上恒成立，只要 (3)0g即可， 因为 3g2461a，解得 1144a 9分 因为 0a，所以 3 综上所述， 的取值范围为 104， 10分 （3）若 12a 时，方程 3()()+xbf 可化为， x bx)1()(ln2 问题
21、转化为 223ln(1)()lnbxxxx 在 0， 上有解， 即求函数 3)(g 的值域 11分 以下给出两种求函数 x值域的方法： 方法1：因为 2ln ，令 2()ln(0)hxx ， 则 xxh1)(1)( ， 12分 所以当 0,()0h时 ，从而 ()01h在 ， 上为增函数， 当 1x时 ， ，从而 ,在x上为减函数， 13分 因此 ()h 而 0x，故 ()0bxh， 因此当 1时， 取得最大值0 14分 方法2：因为 2lngxx ，所以 231ln)(xxg 设 2()l13p ，则 216()p 当 706x 时， 0x，所以 x在 17(0)6， 上单调递增； 当 1 时， p，所以 p在 ()， 上单调递减； 因为 0p，故必有 1706 ，又 224130ee ， 因此必存在实数 02 xe(， ) 使得 0()gx， 0g当 时 ， ，所以 在 ， 上单调递减； 当 1()xx时 ， ，所以 0(),1x在 上单调递增； 当 1()0()1xggx时 ， ， 所 以 在 ， 上单调递减； 又因为 )41(ln)lnln232 x ， 当 10l04xx时 ， ，则 ()0gx，又 ()g 因此当 时， b取得最大值0 14分
