1、行列式的定义及其性质证明 摘 要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引 理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往 教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定 理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力 和创新能力。 关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数 1 基本定理与性质的证明 引理 设 t 为行标排列 q1q2qn 与列标排列 p1p2pn 的逆序 数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则 t 的奇偶性 不变。 证明 根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应
2、的对换，则行标排列 的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序 数之和的奇偶性不变。 定理 1 n 阶行列式也可定义为 证明 由定义 1 和引理即可证得。 性质 1 行列式与它的转置行列式相等 (由定理 1 即可证得)。 (根据性质 1 知对行成立的性质对列也成立) 性质 2 行列式等于它的任一行 (列)的各元素与其对应的代数余 子式乘积之和。 证明 利用定理 1 和代数余子式的定义即可证得。 性质 3 如果行列式中有两行 (两列)元素对应相等，则此行列式 等于零。 证明 (利用递推方法来证) 设行列式中第 k 行和第 j 行的元素对 应相等，由性质 2 可知 又 Ais=(-
3、1)i+s(s=1，2， ，n) ，根据性质 2，M i+s 又可以展开成 n- 1 项的和，每一项都是一实数与 n-1 阶行列式的乘积，以此类推， Mi+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即 (mi 为实数，Di 为含有原行列式中 k 行和 j 行的二阶行列式)，这个 二阶行列式的两行就是原 n 阶行列式中的 k 行 j 行对应的元素，由 于这 2 行对应元素相等，根据二阶行列式的定义可知 Di=0，所以 Mi+s=0，因此 D=0，证毕。 性质 4 行列式的某行 (列)的每个元素与另一行(或列)的对应元 素的代数余子式乘积之和为零。 证明 设 D1= 有性质 2 可知 =
4、0 性质 5 行列式的某一行 (列)中所有元素都乘以同一数 K，等于 用数 K 乘以此行列式。 证明 设 D= 的第行的所有元素都乘以数 K， 得 行列式 A，根据定理 1， A= 证毕。 性质 6 行列式中如果有两行 (列)对应元素成比例，则此行列式 等于零。 证明 利用性质 5 和性质 3 即可证得。 性质 7 行列式的某一列 (行)的元素都是 2 数之和，设 D= ，则 D 等于下列 2 个行列式之和: 证明 由定理 1 知: =D1+D2 ，证毕。 性质 8 把行列式的某一列 (行)的各元素乘以同一数然后加到另 一列( 行) 对应的元素上去，行列式值不变。 由性质 5 可知 =0，所以
5、 D =D，证毕。 性质 9 互换行列式的两行 (列)，行列式变号。 证明 由性质 8、性质 7，根据性质 3 可证。 2 结论 n 阶行列式的性质 1、 2、5 、7 只运用定理 1 证明，化繁为简。 以往教材，性质 3 和性质 9 必有一个性质用逆序数的有关概念来证， 非常抽象，本文改进了行列式的定义后，性质 3 运用性质 2 证得， 性质 9 运用性质 3、7 、8 证得，化难为易;同时，也提升了我们学习 的逻辑思维能力、推理能力、创新能力。充分体现了非数学专业的 大学数学除了具有为专业课提供使用工具的功能，还应该有训练科 学思维，激发学生创新热情的素质教育的功能。 参考文献: 1齐成辉。求解行列式的方法和技巧J 。陕西师范大学学报:自然科 学版，2003 ，31(1):27-30 。 2王朝旺。行列式的归纳定义极其性质的证明J。北京联合大学学 报，2005(3):12-15。 3程伟健。一个行列式的计算与推广J 。高等数学研究，2005(1): 61-65。 4马菊侠。关于 Hadamard 矩阵 Kronecker 积的构造和正规性J 。陕 西师范大学学报:自然科学版，2003，31(4):23-27 。 5倪淑琪。论行列式的计算方法J 。安庆师范学院学报:自然科学版， 2001，7(4):33-37 。
