1、1 2013 期末数学复习（解答题） 1.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中 AA1=AD=1，E 为 CD 中点. （）求证：B 1EAD 1； （）在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的行；若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由. （）若二面角 A-B1EA1的大小为 30，求 AB 的长. 2 2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E 是 CD 的中点.来 源%:*中#国教育出版网 （）证明：CD平面 PAE； （）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB
2、与平面 ABCD 所成的角相 等，求四棱锥 P-ABCD 的体积. 解法 1（如图（1） ） ，连接 AC，由 AB=4， 3BC，905.ABC,得5D又 是的中点，所以 .DAE,PB平 面 平 面 所以 .P 而 ,AE是 平 面 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE. （）过点作 ,.BGCDAEFG分 别 与 相 交 于 连 接 由（）CD平面 PAE 知，平面 PAE.于是 BP为直线与平面 PAE 所成的角，且 . 由 PA平 面 知， P为直线 与平面 CD所成的角.4,2,BGAF 由题意，知 ,AF 因为 sinsin,B所以 .P 由 90/,DACDCG知 ， 又
3、所以四边形 BCDG是平行四边形， 故 3.B于是 2. 在 RtG中， 4,ABF所以 22 16855, .ABG 于是 85.PABF 又梯形 CD的面积为 1(3)416,2S所以四棱锥 PABCD的体积为 852.VPA 3 解法 2：如图（2） ，以 A 为坐标原点， ,BADP所在直线分别为 xyz轴 ， 轴 ， 轴 建立 空间直角坐标系.设 ,Ph则相关的各点坐标为：(4,0)(,)(430)(,5)(2,40)(,).ABCEh （）易知 ,2,.DAP 因为8CE 所以 .CDAP而 ,AE是平面PA 内的两条相交直线，所以 .E平 面 ()由题设和（）知， ,CAP 分别
4、是 平 面 ， BC平 面 的法向量，而 PB 与E平 面 所成的角和 PB 与 BD平 面 所成的角相等，所以cos,cos, .PACDPBCB即 由（）知， (4,20)(,)APh由 (4,0)h 故2216.165h 解得 8h. 又梯形 ABCD 的面积为 1(53)4162S，所以四棱锥 PABCD的体积为 1863VPA. 4 3.已知数列 的前 n 项和 Sn满足: 为常数,且 )(n )a(1)(nnaSa0,1a*N (1)求数列 的通项公式;n (2)设 ，若数列 为等比数列,求 的值。2bnb 4.（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ，且nanS . （）
5、求 ；)(14NnaSn 21, （）设 ，求数列 的通项公式。|log3bnb 4.解：（1）由已知 ，即 ， 3 分14aS31,41a 又 ，即 ； 6 分42aS 9,)22（ （2）当 时， ，n )(4)(11nnnn 即 ，易知数列各项不为零（注：可不证不说） ，13 对 恒成立，1na2 是首项为 ，公比为- 的等比数列， 10 分31 ，nnn)()(1 ，即 . 12 分alog|l33b 5.在 中,角 A、 B、 C 的对边分别为 、 、 ，已知向量 、BC ac)cos,(BAm 5 ，且 ),2(abcnnm （1）求角 的大小；A （2）若 ，求 面积的最大值4B
6、C 解：（1） 由正弦定理n 0cos)2(),()cos,( BaAbcaBA 可得 ，即 整理可得0sicosi2Csinosiin2BAC （5 分）0nsiA 0 ， 0， ；（7 分） （2）由余弦定理可得,si 21cosA32 ，即 ，故 （9 分）故 ABC 的 面 积 为bcao22 bcb3616 当 且 仅 当 时 , ABC 面 积 取 得 最 大 值 34sin1AS 434 6.设函数 22()cos()sinfxxx （I）求函数 f的最小正周期； （II）设函数 ()gx对任意 R，有 ()(2gx，且当 0,2x时，1()2gxf ； 求函数 在 ,0上的解析
7、式。 解： 211cos()sincosin(cos)42fxxxx1sin2x （I）函数 f的最小正周期 T （2）当 0,2x时， 1()()sin2gxfx 当 时， 0, 1()sin()sigxxx 当 ,2时， ,)2 1()si()sinxxx 得：函数 ()g在 ,0上的解析式为 1sin2(0)()xgx 7.甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校 2012 年自主招生高考前自主招生的程序 6 为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自 主招生入选资格因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为 0.5， 0.6，0.
8、4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为 0.6，0.5，0.75 （1 ）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率； （2 ）设甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格的人数为 ，求随机变量 的期望 7.解：（1）分别记甲，乙，丙通过审核为事件 ， ， ，记甲，乙，丙三人中只有一1A23 人通过审核为事件 ，则B123123()()()PPA 4 分0.54.605.60.54.08 （2 ）分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件 ，则,CDE ，5 分.3PCDE 的可能取值为 0、1、2 、3 ， ， ()4,2(1)30341,P 10 分37897 故随机变量 的
9、数学期望为 .1204.890.279E 分 8.（本题 12 分）现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择， 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出 点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. （1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率； （2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3）用 X， Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 | X Y|，求随机变量 的分布列与数学期望 E . 8.解：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的
10、概率为 ，去参加乙游戏的概率为 13 .设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i0,1,2,3,4)，则 P(Ai) 23 C i 4 i.i4( 13)(23) （1）这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)C 2 2 .24( 13)(23) 827 （2）设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 B A3 A4， 由于 A3与 A4互斥，故 P(B) P(A3) P(A4)C 3 C 4 .34( 13)(23) 4(13) 19 所以，这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . 19 （3） 的
11、所有可能取值为 0,2,4. 7 由于 A1与 A3互斥， A0与 A4互斥，故 P( 0) P(A2) ， 827 P( 2) P(A1) P(A3) ， 4081 P( 4) P(A0) P(A4) . 1781 所以 的分布列是 0 2 4 P 827 4081 1781 随机变量 的数学期望 E 0 2 4 827 4081 1781 14881 9.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 :C 21(0)xyab 的离心率为 63，椭圆短轴的一个端点与两个焦 点构成的三角形的面积为 523 （）求椭圆 的方程； （）已知动直线 (1)ykx与椭圆 C相交于 A、 B两点 若线段 AB中点
12、的横 坐标为 12，求斜率 的值；若点 7(,0)3M，求证： M为定值 9.【答案】解：（）因为 21xyab 满足 22abc， 63ca ，2 分152b 。解得 25,3ab，则椭圆方程为 2153xy 4 分 （） （1）将 (1)ykx代入 2153y 中得22(3)630k 6 分 8 422236(1)35480kk122x 7 分 因为 AB中点的横坐标为 1，所以 2613k ，解得 3k8 分 （2）由（1）知 212xk ， 215xk 所以 12121277(,)(,)()33MAByxy 9 分127()3xkx221249()kk 10 分2 22576(1)()
13、33k 12 分 10.（本题 12 分）如图所示，已知椭圆 和抛物线 有公共焦点 , 的中心和1C2)01(FC 的顶点都在坐标原点，过点 的直线 与抛物线 分别相交于 两点2C)0,4(Ml BA （1）写出抛物线 的标准方程； （2）若 ，求直线 的方程；MBA21l （3）若坐标原点 关于直线 的对称点 在抛物线 上，直线 与椭圆 有公共点，求OlP2Cl1C 椭圆 的长轴长的最小值. 1C 10.解：（1） (2)设 9 （3） 椭圆设为 消元整理得 11.（本题满分 12 分)已知 1x是函数 的一个极值点 (aR) 2xfxae （）求 a的值； （）当 1x， 20,时，证明：
14、 12|ff （）解： ， -2 分 由已知得 ，解得 . 当 时， ，在 处 取得极小值所以 . -4 分 （）证明：由（）知， ， . 当 时， ， 在区间 单调递减； 当 时， ， 在区间 单调递增. 所以在区间 上， 的最小值为 .- 8 分 又 ， ， 10 所以在区间 上， 的最大值为 . -10 分 对于 ，有 所以 . -12 分 12.（本小题满分 12 分） 已知：函数 )1ln(2)(xaxf ，其中 Ra （）若 是 的极值点，求 的值； （）求 )(xf的单调区间； （）若 在 0,)上的最大值是 0，求 a的取值范围 【答案】 （）解： (1),(1,)xfx 依题
15、意，令 (2)0f， 解得 13a 经检验， 时，符合题意 4 分 （）解： 当 0时， ()1xf 故 )(xf的单调增区间是 ,；单调减区间是 )0,( 5 分 当 a时，令 ()fx，得 10，或 2xa 当 10时， 与 的情况如下：x1(,)x112(,)x2x2(,)()f 00x 1()fx 2()fx 所以， ()f的单调增区间是 ,a；单调减区间是 ,1和 ,)a 当 1a时， x的单调减区间是 ),( 当 时， 20， )fx与 f的情况如下：x2(1,221(,)x1x1(,) 11 ()fx00 2()fx 1()fx 所以， ()fx的单调增区间是 1,a；单调减区间
16、是 ,a和 (,) 当 0a时， )(f的单调增区间是 (0)；单调减区间是 0 综上，当 时， x的增区间是 ,，减区间是 ),1(； 当 1时， ()f的增区间是 1()a，减区间是 和 ,)a； 当 a时， x的减区间是 ,； 当 时， ()f的增区间是 (10)；减区间是 1(,)和 (0,) 8 分 （）由（）知 a时， )(xf在 ,)上单调递增，由 )(f，知不合题 意 当 10a时， )(xf在 0,)的最大值是 1()fa， 由 ()f，知不合题意 当 时， (xf在 ,)单调递减， 可得 )f在 0,上的最大值是 0)(f，符合题意 所以， (x在 )上的最大值是 时， a
17、的取值范围是 1,) 12 分 13.（本小题满分 12 分）设函数 32()(0)fxxm （）求函数 f(x)的单调区间； （）若函数 f(x)在 x1，1内没有极值点，求 a 的取值范围； （）若对任意的 a3,6，不等式 在 x2,2上恒成立，求 m 的取值范()1fx 围. 【答案】解：（） f( x)=3x2+2ax a2=3(x )(x+a),3 又 a0，当 x 时 f( x)0；3 12 当 a0 的解集； （II）若关于 x的不等式 f(x) 2 的解集是 R，求 m的取值范围 【答案】解：（I）由题设知： 5|2|1|x， 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集： 52
18、1x ，或 521x，或 521x， 解得函数 )(f的定义域为 ),3(),(； （5 分） （II）不等式 f(x) 2 即 2|1|mx， Rx时，恒有 3|)()| xx ， 不等式 2|1| 解集是 R， 32m， 的取值范围是 1,( （10 分） 17.（本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点, x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线cos2sin:aC)0( ，已知过点 )4,2(P的直线 l的参数方程为：tyx24 ， 直线 与曲线 分别交于 两点.lCNM, （）写出曲线 和直线 的普通方程；（）若 |,|PNM成等比数列,求 a的l 值 15 【答案】解：（） 2,2yax. 5 分 （）直线 l的参数方程为 ty24 （ 为参数）, 代入 2yax, 得到 2()8()0tat， 7 分 则有 1212(4),4t t. 因为 |MNP，所以 2112()()ttt. 解得 1a.
