1、4-3 拉普拉斯變換解微分方程 Laplace 變換之解題過程 : 一、常係數微分方程 解初始值問題 02/y (*) )(,1)0(/y (1) 在(*)式等號兩邊做拉普拉斯變換 L2/y L 0 利用線性性質，得 L /- L /-2 L 則 2sL)(ty- sys)0(/L 2)0(ftL 0)(ty 代入初始條件，得 L t之代數方程2s L )(sL 2)(L 1)(sty - (a) (2) 解代數方程 (a)，得 L )(ty21s 困 難 簡 單 L 1L 的線性 ODEty L 之代數方程或低階 ODE)(sty ODE 的解 )(ty L )(sty (3) 在上式兩邊做
2、反拉普拉斯變換，得 )(ty L -1 L )(ty= L -1 21s 利用 13212sss 及 L ate= ， 得初始值問題的解為 )(ty L -1 2s + L -1 1s31 tet 解初始值問題 ty2sin/ , (*)1)0()(/ (1) 在(*)式等號兩邊做拉普拉斯變換 Ly/ L t2sin 利用拉普拉斯變換的微分性質以及 L 2iast，得2s L y)0(/ys L 42 代入初始條件，得 L t之代數方程)1(2s Ly 12s- (b) (2) 解代數方程 (b)，得 L y 413251)4(168222 3 ssss (3) 在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得
3、初始值問題的解為 ttttyin3i5co2)( (由 L 2inast，L 2coast) 解解初始值問題 0)4(y, (*) 0)(,)(1)(/ y (1) 在(*)式等號兩邊做拉普拉斯變換 L )4(y- L L 0)( 利用拉普拉斯變換的微分性質，得 4s L )()()0(/23 ysy L 0 代入初始條件，得 L t之代數方程)1(4s L 2s - (c) (2) 解代數方程 (c)，得 L 12124ssy (3) 在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得初始值問題的解為 ()sinhi2yttt (由 L 2sinat以及 L )sinh2at 註：Laplace transfo
4、rm 方法的好處在於能直接解出答案而不必去猜特別解及求微分方程的一般 解 定理 設 )(tf在上片段連續, | )(tf| atKe, M, ,a , M 為常數, 則 LNnsFtn , (D) 其中 0)()(dtfesFst (用數學歸納法) (1)若 n=1 時, 0/ )()(dtfedsFt = 0)(dtftesL )(tf， 則(D) 式成立。 (2)假設 n=k 時， (D)式成立 即 )(sLkL )(tfk成立 要證 n=k+1 時，(D)式成立。)(1sFk)(sk/ = 0)(dtfedst =0)()(dtftetks= L )(1tfk， 則(D)式成立。 得證。
5、 二、非常係數線性微分方程 Bessel 定義: 微分方程 0)(2/2yptyt ， 稱為 p 階之 Bessel 方程(Bessels equation of order p)， (p 0) 求 0 階之 Bessel 方程 02/2ytyt， t 0(B) 之一般解。 將(B)式除以 t， 0/ty (1) 在上式等號兩邊做拉普拉斯變換，得 L /t+ L /+ Lt= 0 利用上一個定理，得 ds L /y+ L /)(/sF 利用拉普拉斯變換的微分性質，得 0)()0()0()( /2 sFysysFds 代入初始條件，得可分離方程 )(1/2s (2) 解上式，得 21)()scF
6、 由二項式定理，上式可改寫 21)()sskkCc)(20 1202)!(!)(kksc ， 21)!( !2.642)1.(53)1(!(21.k kkkCk (3) 在上式兩邊做反拉普拉斯變換，由 L 1!nst ，及取 c =1，得 0 階之 Bessel 方程之一解)(1ty L 1)(sF kkt20)!(1)(0tJ 其中 )(0tJ稱為第一類的 0 階之 Bessel 函數 (Bessel function of the first kind of order 0)。 另一線性獨立解為 12202 )!(ln)(nntHtJty， 其中 Hn. (第五章 級數解中會介紹解 )(2ty如何求得) 故 0 階的 Bessel 方程之一般解為 )()(21tyctt 另外，定義 12010 )!()(2ln( )(l)nntHtJryttY 稱為第二類的 0 階之 Bessel 函數 (Bessel function of the second kind of order 0)， 其中 Euler 常數 = limn572.lH 0 階的 Bessel 方程之一般解亦可表為 )()()(021tYctJty。
